高中数学考得差-高中数学概率知识加例题
高中数学直线与圆精选题目(附答案)
一、两直线的位置关系
1.求直线斜率的基本方法
(1)定义法:已知直线的倾斜角为
α
,且α
≠90°,则斜率
k
=tan
α
.
y
2
-
y
1
(2)公式法:已知直线过两点
P
1
(x
1
,
y
1
),
P
2
(
x<
br>2
,
y
2
),且
x
1
≠
x
2
,则斜率
k
=.
x
2
-
x
1
2.判断两直线平行的方法
(1)若
不重合的直线
l
1
与
l
2
的斜率都存在,且分别为
k
1
,
k
2
,则
k
1
=
k
2
?
l
1
∥
l
2
.
(2)若不重合的
直线
l
1
与
l
2
的斜率都不存在,其倾斜角都为90°,则
l
1
∥
l
2
.
3.判断两直线垂直的方法 (1)若直线
l
1
与
l
2
的斜率都存在,且分别为k
1
,
k
2
,则
k
1
·
k<
br>2
=-1?
l
1
⊥
l
2
.
(2)
已知直线
l
1
与
l
2
,若其中一条直线的斜率不存在,另一
条直线的斜率为
0,则
l
1
⊥
l
2
.
1
.已知两条直线
l
1
:
ax
-
by
+4=0和l
2
:(
a
-1)
x
+
y
+
b
=0,求满足下列条
件的
a
,
b
的值.
(1)
l
1
⊥
l
2
且
l
1
过点(-3,
-1);
(2)
l
1
∥
l
2
,且坐标原点到这两
条直线的距离相等.
[解]
(1)∵
l
1
⊥
l
2
,
∴
a
(
a
-1)-
b
=0,①
又
l
1
过点(-3,-1),
∴-3
a
+
b
+4=0.②
?
a
=2,
解①②组成的方程组得
?
?
b
=2.
(2)∵
l<
br>2
的斜率存在,
l
1
∥
l
2
,
∴直线
l
1
的斜率存在.
∴
k
1
=
k
2
,即=1-
a
.③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,
l
1
∥
l
2
,
∴
l
1
,
l
2
在
y
轴上的
截距互为相反数,
a
b
4
即=-(-
b
).④
b<
br>?
a
=2,
由③④联立,解得
?
?
b
=-2
?
a
=
2
,
3
或
?
?
b
=2.
经检验此时的
l
1
与
l
2
不重合,故所求值为
?
a
=2,
?
?
b
=-2
注:
已知两直线
l
1
:
A
1
x
+
B
1
y
+
C
1
=0和
l
2
:
A
2
x
+
B
2
y
+
C
2
=0 <
br>(1)对于
l
1
∥
l
2
的问题,先由
A1
B
2
-
A
2
B
1
=0解出其中的字
母值,然后代回原
方程检验这时的
l
1
和
l
2
是否
重合,若重合,舍去.
(2)对于
l
1
⊥
l
2
的
问题,由
A
1
A
2
+
B
1
B
2<
br>=0解出字母的值即可.
2.直线
ax
+2
y
-1=0与直
线2
x
-3
y
-1=0垂直,则
a
的值为( )
A.-3
C.2
4
B.-
3
D.3
?
a
=
2
,
3
或
?
?
b
=2.
解析:选D
由2
a
-6=0得
a
=3.故选D.
3.已知直线
x+2
ay
-1=0与直线(
a
-1)
x
+
ay
+1=0平行,则
a
的值为
( )
C.0
或0
D.-2
解析:选A 当
a
=0时,两直线的方程化为
x
=1和
x
=1,显然重合,不符
合题意;当
a
≠
0时,
a
-1
1
=
a
3
,解得
a
=.故选A.
2
a
2
二、直线方程
1.直线方程的五种形式
名称
点一般
方程 常数的几何意义 适用条件
y
-
y
0
=
k
(
x
-(
x
0
,
y
0
)是直线上的一个定点,直线不垂直于
x
轴
斜
式
情况
斜截式
一般
x
0
)
y
=
kx
+
b
y
-
y
1
x
-
x
1
=
y
2
-
y
1
x
2
-
x
1
xy
+=1
ab
Ax
+
By
+
C
=0
A
,
B
不同时为0
k
是斜率
k
是斜率,
b
是直线在
y
轴上的
截距
(
x
1
,
y
1
),(
x
2
,
y
2
)是直线上的
两个定点
直线不垂直于
x
轴
直线不垂直于
x
轴
和
y
轴
直线不垂直于
x
轴
和
y
轴,且不过原
点
任何情况
两
点
情况
式
截距式
a
,
b
分别是直线在
x
轴,
y
轴
上的两个非零截距
一般式
A
,
B
,
C
为系数
2.常见的直线系方程
(1)经过两条直线
l
1
:
A1
x
+
B
1
y
+
C
1
=0,
l
2
:
A
2
x
+
B
2
y
+
C
2
=0交点的直线系方
程为
A
1
x<
br>+
B
1
y
+
C
1
+
λ
(<
br>A
2
x
+
B
2
y
+
C
2<
br>)=0,其中
λ
是待定系数.在这个方程中,
无论
λ
取什么实
数,都不能得到
A
2
x
+
B
2
y
+
C
2
=0,因此它不能表示直线
l
2
.
(2)平行直线
系方程:与直线
Ax
+
By
+
C
=0(
A
,
B
不同时为0)平行的直线系
方程是
Ax
+
By
+
λ
=0(
λ
≠
C
).
(3)垂直直线系方程:
与直线
Ax
+
By
+
C
=0(
A
,
B
不同时为0)垂直的直线系
方程是
Bx
-
Ay
+
λ
=0.
4.过点
A
(3,-1)作直线
l
交
x
轴于点
B
,交直线
l
1
:
y
=2
x
于点
C
,若|
BC
|
=2|
AB
|,
求直线
l
的方程.
[解]
当直线
l
的斜率不存在时,直线
l
:
x
=3,
∴
B
(3,0),
C
(3,6).
此时|
BC<
br>|=6,|
AB
|=1,|
BC
|≠2|
AB
|,
∴直线
l
的斜率存在.
设直线
l
的方程为
y+1=
k
(
x
-3),
显然
k
≠0且
k
≠2.
1
令
y
=0,得
x
=3+,
k
<
br>1
??
∴
B
?
3+,0
?
,
k<
br>??
?
y
=2
x
,
由
?
?
y
+1=
kx
-3,
得点
C
的横坐标
x
C
=
3
k
+1
.
k
-2
∵|<
br>BC
|=2|
AB
|,∴|
x
B
-
x
C
|=2|
x
A
-
x
B
|,
?
3
k
+11
??
1
?
--3
?
=2??
, ∴
?
?
k
-2
k
??
k?
∴
3
k
+1123
k
+112
--3=或-
-3=-,
k
-2
kkk
-2
kk
31
解得k
=-或
k
=.
24
∴所求直线
l
的方程为
3
x
+2
y
-7=0或
x
-4
y
-7=0
.
注:
求直线方程时,要根据给定条件,选择恰当的方程,常用以下两种方法求解:
(1)直接法:直接选取适当的直线方程的形式,写出结果;(2)待定系数法:先以
直线满足的某个
条件为基础设出直线方程,再由直线满足的另一个条件求出待定
系数,从而求得方程.
5.已
知直线
l
1
:3
x
-2
y
-1=0和
l<
br>2
:3
x
-2
y
-13=0,直线
l
与l
1
,
l
2
的距
离分别是
d
1
,
d
2
,若
d
1
∶
d
2
=2∶
1,求直线
l
的方程.
解:由直线
l
1
,
l2
的方程知
l
1
∥
l
2
,又由题意知,直线<
br>l
与
l
1
,
l
2
均平行(否
则d
1
=0或
d
2
=0,不符合题意).
设直线
l
:3
x
-2
y
+
m
=0(
m
≠-1且
m
≠-13),由两平行直线间的距离公式,
得
d
1
=
|
m
+1||
m
+13|
,
d
2=,又
d
1
∶
d
2
=2∶1,所以|
m
+1|=2|
m
+13|,解得
m
1313
=-25或
m
=-9.
故所求直线
l
的方程为3
x
-2
y-25=0或3
x
-2
y
-9=0.
6.已知直线
l
:3
x
-
y
+3=0,求:
(1)点
P
(4,5)关于
l
的对称点;
(2)直线x
-
y
-2=0关于直线
l
对称的直线方程.
解:设
P
(
x
,
y
)关于直线
l
:3
x
-
y
+3=0的对称点为
P
′(
x
′,
y
′).
∵
k
PP
′
·
k
l
=-1,即
y
′-
y
×3=-1.①
x
′-
x
又
PP
′的中点在直线3
x
-
y
+3=
0上,
∴3×
x
′+
xy
′+
y
2
-<
br>2
+3=0.②
-4
x
+3
y
-9
?
x
′=,
?
5
由①②得
?
3
x
+4
y
+3
?
?
y
′=
5
. ④
③
(1)把
x
=4,
y
=5代入③④得
x
′=-2,
y
′=7,
∴
P
(4,5)关于直线
l
的对称点
P
′的坐标为(-2,7).
(2)用③④分别代换
x
-
y
-2=0中的
x
,
y
,得关于
l
的对
称直线方程为
-4
x
+3
y
-93
x
+4
y
+3
--2=0,
55
化简得7
x
+
y
+22=0.
三、圆的方程
(1)圆的标准方程:(
x
-
a
)
2
+(
y
-
b
)
2
=
r
2
(2)圆的
一般方程:
x
2
+
y
2
+
Dx
+
Ey
+
F
=0
(3)若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交
点,求圆的方程
时可用相应的圆系方程加以求解:
①过两圆
C
1
:
x
2
+
y
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
=0,
C
2
:
x
2
+
y
2
+
D
2
x
+
E
2
y
+
F
2
=0交点的
圆系方程为
x
2
+
y
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
+
λ
(
x
2
+
y
2
+
D
2
x
+
E
2
y
+
F
2
)=0(
λ
为参数,
λ
≠
-1),该方程不包括圆
C
2
;
②过圆
C<
br>:
x
2
+
y
2
+
Dx
+
E
y
+
F
=0与直线
l
:
Ax
+
By
+
C
=0交点的圆系方程
为
x
2
+
y
2
+
Dx
+
Ey
+
F
+
λ
(
Ax
+
By
+
C
)=0(
λ
为参数,
λ
∈R).
7.在平面直角坐标系中,已知△
ABC
的三个顶点的坐标分别为
A
(-3,0),
B
(2,0),
C
(0,-4),经过这
三个点的圆记为
M
.
(1)求
BC
边的中线
AD
所在直线的一般式方程;
(2)求圆
M
的方程.
[解] (1)法一:由
B
(2,
0),
C
(0,-4),知
BC
的中点
D
的坐标为(1,-
2).
又
A
(-3,0),所以直线
AD
的方程为
y
-0
-2-0
=
x
+3
1+3
, 即中线
AD
所在直线的一般式方程为
x
+2
y
+3=0
.
法二:由题意,得|
AB
|=|
AC
|=5,
则△
ABC
是等腰三角形,
所以
AD
⊥
BC
.
因为直线
BC
的斜率
k
BC
=2,
1
所以直线
AD
的斜率
k
AD
=-,
2
1
由直线的点斜式方程,得
y
-0=-(
x
+3), 2
所以直线
AD
的一般式方程为
x
+2
y
+3
=0.
(2)设圆
M
的方程为
x
2
+
y
2
+
Dx
+
Ey
+
F
=0.
将
A
(-3,0),
B
(2,0),
C
(0,-4)三点的坐标分别代
入方程,得
?
?
4+2
D
+
F
=0,
?<
br>16-4
E
+
F
=0,
9-3
D
+
F
=0,
D
=1,
?
?
5
解得
?
E
=,
2
?
?
F
=-6.
5
所以圆
M
的方程是
x
2
+
y
2
+
x
+
y
-6=0.
2
注:
利用待定系数法求圆的方程
(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关,可设圆的标准方程,依
据已知条件
列出关于
a
,
b
,
r
的方程组,从而求
出
a
,
b
,
r
的值.
(2)若已知条件没有明确
给出圆的圆心或半径,可选择圆的一般方程,依据
已知条件列出关于
D
,
E<
br>,
F
的方程组,从而求出
D
,
E
,
F
的值.
8.以线段
AB
:
x
+
y
-2=0(0
≤
x
≤2)为直径的圆的方程为( )
A.(
x
+1)+(
y
+1)=2
B.(
x-1)
2
+(
y
-1)
2
=2
C.(
x
+1)
2
+(
y
+1)
2
=8
D.
(
x
-1)
2
+(
y
-1)
2
=8
22
解析:选B 直径的两端点分别为(0,2),(2,0),∴圆心为(1
,1),半径为2,
故圆的方程为(
x
-1)
2
+(
y-1)
2
=2.
9.已知圆
C
经过点
A
(2
,-3),
B
(-2,-5),且圆心在直线
l
:
x
-2<
br>y
-3
=0上,求圆
C
的方程.
解:设圆
C
的方程为(
x
-
a
)
2
+(
y
-
b
)
2
=
r
2
.
?
由题意,得
?
-2-
a
+
?
a
-2
b
-3=0,<
br>2
2
2-
a
2
+-3-
b
-5-
b
2
=
r
2
,
2
=
r
2
,
?
a
=-1,
解得
?
b
=-2,
?
r
=10.
2
所以圆
C
的方程为
(
x
+1)+(
y
+2)=10.
10.求以圆
C
1
:
x
2
+
y
2
-12
x
-2
y
-13=0和圆
C
2
:
x
2
+
y
2
+12
x
+16
y
-25=0
的公共弦为直径
的圆
C
的方程.
解:联立两圆的方程得方程组
?
x
+<
br>y
-12
x
-2
y
-13=0,
?
22?
x
+
y
+12
x
+16
y
-25=
0,
22
2
相减得公共弦所在直线的方程为4
x
+3
y
-2=0.
?
4
x
+3
y
-2=0,
再由
?
22
?
x
+
y
-12
x
-2
y
-13=0<
br>
解得两圆交点坐标为(-1,2),(5,-6).
1
∵所求圆以公共弦为
直径,∴圆心
C
是公共弦的中点(2,-2),半径长为
2
5+1
2
+-6-2
2
=5.
∴圆
C
的方程为(
x
-2)
2
+(
y
+2)
2<
br>=25.
四、直线与圆的位置关系
1.直线与圆位置关系的判断方法
(1
)几何法:设圆心到直线的距离为
d
,圆的半径长为
r
.若
d
<
r
,则直线和圆
相交;若
d
=
r
,则直线和圆
相切;若
d
>
r
,则直线和圆相离.
(2)代数法:联立直线方程
与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二
次方程,其判别式为
Δ
.
Δ<
br>=0?直线与圆相切;
Δ
>0?直线与圆相交;
Δ
<0?直
线
与圆相离.
2.过圆外一点(
x
0
,
y
0
)与圆
相切的切线方程的求法
①当切线斜率存在时,设切线方程为
y
-y
0
=
k
(
x
-
x
0
),化
成一般式
kx
-
y
+
y
0
-
kx
0
=0,利用圆心到直线的距离等于半径长,解出
k
;
②当切线斜率存在时
,设切线方程为
y
-
y
0
=
k
(
x
-
x
0
),与圆的方程(
x
-
a
)
2<
br>+(
y
-
b
)
2
=
r
2
联
立,化为关于
x
的一元二次方程,利用判别式为0,求出
k
.
当切
线斜率不存在时,可通过数形结合思想,在平面直角坐标系中作出其图
象,求出切线的方程.
3.圆中弦长的求法
(1)直接求出直线与圆或圆与圆的交点坐标,再利用两点间的距离公式求解.
(2)利用圆
的弦长公式
l
=1+
k
|
x
1
-
x
2
|=1+
k
·
中
x
1
,
x
2
为两交点的横坐标).
(3)利用垂径定理:分别以圆心到直线的距离
d
、
圆的半径
r
与弦长的一半为
2
线段长的三条线段构成直角三角形,故有
l
=2
r
2
-
d
2
.
4.圆与圆的位置关系:
(1)利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系.
(2)若圆
C
1
:
x
2
+
y
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
=0与圆<
br>C
2
:
x
2
+
y
2
+
D<
br>2
x
+
E
2
y
+
F
2
=0
相交.
则两圆方程相减后得到的新方程:(
D
1
-
D
2<
br>)
x
+(
E
1
-
E
2
)
y
+(
F
1
-
F
2
)=0表示的
是两圆公共
弦所在直线的方程.
11.(1)直线
x
+
y
-2=0与圆(x
-1)
2
+(
y
-2)
2
=1相交于
A
,
B
两点,则|
AB
|
=( )
22
x
1
+
x
2<
br>2
-4
x
1
x
2
(其
l
(2)若直
线
x
-
my
+1=0与圆
x
2
+
y
2
-2
x
=0相切,则
m
的值为( )
A.1
C.±3
B.±1
(3)已知圆
C
:(
x
-3)
2
+(
y
-4)
2
=4,直线
l
过定点
A
(1,0).
①若
l
与圆
C
相切,求
l
的方程;
②若
l
与圆
C
相交于
P
,
Q
两点,且|
PQ
|=22,求此时直线
l
的方程.
[解析] (1)∵圆心(1,2
)到直线
x
+
y
-2=0的距离
d
=
2
,
∴|
AB
|=
2
2
?
2
?
2
1-
??
=2,故选D.
?
2
?
2
(
2)由
x
2
+
y
2
-2
x
=0,得圆心坐
标为(1,0),半径为1,因为直线与圆相切,
所以圆心到直线的距离等于半径,即
答案:(
1)D (2)C
(3)解:①若直线
l
的斜率不存在,则直线
l
:
x
=1,符合题意.
若直线
l
的斜率存在,设直线
l<
br>的方程为
y
=
k
(
x
-1),
即
kx
-
y
-
k
=0.
由题意知,圆心
(3,4)到直线
l
的距离等于2,即
此时直线
l
的方程为3
x
-4
y
-3=0.
综上可得,所求直线
l
的方程是<
br>x
=1或3
x
-4
y
-3=0.
②由直线
l
与圆
C
相交可知,直线
l
的斜率必定存在,且不为0,设直线l
的方程为
k
0
x
-
y
-
k
0
=0,圆心(3,4)到直线
l
的距离为
d
,
因为|<
br>PQ
|=24-
d
2
=22,所以
d
=2,
|3
k
0
-4-
k
0
|
即=2,解得
k
0
=1或
k
0
=7,
k
2
0
+
1
所以所求直线
l
的方程为
x
-
y
-1=0或7<
br>x
-
y
-7=0.
注:
研究直线与圆位置关系综合问题时
易忽视直线斜率
k
不存在情形,要注意作
出图形进行判断.
12.由直线<
br>y
=
x
+1上的一点向圆
x
2
-6
x
+
y
2
+8=0引切线,则切线长的最
小值为( )
A.1
B.22
D.3
|3
k
-4-
k|3
=2,解得
k
=,
2
4
k
+1
|
1-0+1|
=1,解得
m
=±3.
1+
m
2
解析:选C 切线长的最小值在直线
y
=
x
+1上的点与圆心距离最小时取得,
圆心(3,0)到直线的距离为
d
=<
br>值为
d
2
-
r
2
=8-1=7.
13.<
br>P
是直线
l
:3
x
-4
y
+11=0上的动
点,
PA
,
PB
是圆
x
2
+
y
2
-2
x
-2
y
+1
|3-0+1|
=22,圆的半
径为1,故切线长的最小
2
=0的两条切线,
C
是圆心,那么
四边形
PACB
面积的最小值是( )
B.22
D.23
解析:选C 圆的标准方程为(
x
-1)
2
+
(
y
-1)
2
=1,圆心
C
(1,1),半径
r<
br>=
1
1.根据对称性可知四边形
PACB
的面积等于2
S△
APC
=2××|
PA
|×
r
=|
PA|=
2
|
PC
|
2
-
r
2
=
|
PC
|
2
-1.要使四边形
PACB
的面积最小,则只需
|
PC
|最小,最小值
为圆心
C
到直线
l
:3x
-4
y
+11=0的距离
d
=
|3-4+11|10
==2,所以四边形
22
5
3+4
PACB
面积的最小值为
4-1=3.
14.已知圆
C
:
x
2
+
y
2
-2
x
+4
y
-4=0.问是否存在斜率为1的直线
l
,使
l
被圆
C
截得的弦
AB
满足:以
AB
为直径的圆经过原点.
解:假设存在且设
l
:
y
=
x
+
m
,圆
C
化为(
x
-1)
2
+(
y
+2)
2
=9,圆心
C
(1,
-2),则
过圆心
C
垂直弦
AB
的直线为
y
+2=-
x
+1,
?
y
=
x
+
m
,
解方程组?
?
y
+2=-
x
+1
?
m
+1
m
-1
?
,
?
, 得<
br>AB
的中点
N
的坐标为
?
-
22
??
由于以
AB
为直径的圆过原点,所以|
AN
|=|
ON
|
.
又|
AN
|=|
CA
|
2
-|
CN<
br>|
2
=
|
ON
|=
?
m
+3
?
2
?
, 9-2×
?
?
2
?
?
m
+1
?
2
?
m
-1
?
2
?
-
?
+
??
.
2
??
2
??
?
3+
m
?
2
?m
+1
?
2
?
m
-1
?
2
?
=
?
-
?
+
??
, 所以9-2×
?2
??
2
??
2
??
解得
m
=1或<
br>m
=-4.
所以存在直线
l
,其方程为
x
-
y
+1=0和
x
-
y
-4=0,并可以检验,这时
l与圆是相交于两点的.
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