非师范财管与高中数学是否对口-高中数学必修四典型难题
高中数学圆的方程典型题型归纳总结
类型一:巧用圆系求圆的过程
在解
析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。
常用
的圆系方程有如下几种:
⑴以为圆心的同心圆系方程
⑵过直线与圆的交点的圆系方程
⑶过两圆和圆
的交点的圆系方程
此圆系方程中不包含圆,直接应用该圆系方程,必须检验圆是否满足题意,谨防漏解。
当时,得到两圆公共弦所在直线方程
例1:已知圆
,求实数的值。
与直线相交于两点,为坐标原点,若
分析:此题最易想到设出
思想,联立方程,
由根与系数关系得出关于
,不难得出在以
,由得到,利用设而不求的
的方程,最后验证
得解。倘若充分挖掘本题的几何关系
刚好为直线与圆的交点,选取过直线与圆交点为直径的圆上。而的圆系方程,可极大地简化运算过程。
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解:过直线与圆的交点的圆系方程为:
,即
………………….①
依题意,在以为直径的圆上,则圆心()显然在直线上,则
,解之可得
又满足方程①,则 故
例2:求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。
解:圆和的公共弦方程为
,即
过直线与圆的交点的圆系方程为
,即
依题意,欲使所求圆面积最小,只需圆半径最小,则两圆的公共弦必为所求圆的直径,圆心
必在公共弦所在直线上。即,则代回圆系方程得所求圆方程
例3:求证:m为任意实数时,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过一定点P,并求P点坐标。
分析:不论m为何实数时,直线恒过定点,因此,这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
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解:由原方程得
m(x+2y-1)-(x+y-5)=0,①
?x?2y?1?0
?
x?9
解得
??
x?y?5?0
?
?
y??4
, 即
∴直线过定点P(9,-4)
注:方程①可看作经过两直线交点的直线系。
例4已知圆
C
:(
x
-1)
2
+(
y
-2)
2
=25,直线
l
:(2
m
+1)
x
+(
m
+1)
y
-7
m
-4=0(
m
∈R).
(1)证明:不论
m
取什么实数,直线
l
与圆恒交于两点;
(2)求直线被圆
C
截得的弦长最小时
l
的方程.
剖析:直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得.
(1)证明:
l
的方
程(
x
+
y
-4)+
m
(2
x
+
y
-7)=0.
∵
m
∈
R
,∴
2
x
+
y
-7=0,
x
=3,
得
x
+
y
-4=0,
y
=1,
即
l
恒过定点
A
(3,1).
∵圆心
C
(1,2),|
AC
|=
5
<5(半径), <
br>∴点
A
在圆
C
内,从而直线
l
恒与圆
C相交于两点.
(2)解:弦长最小时,
l
⊥
AC
,由
k
AC
=-
∴
l
的方程为2
x
-
y
-5=0.
评述:若定点
A
在圆外,要使直线与圆相交则需要什么条件呢?
1
,
2
思考讨论
类型二:直线与圆的位置关系
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例5、若直线
y?x?m
与曲线
y?
解:∵曲线
y?
4?x
2
有且只有一个公共点,求实数
m
的取值范围.
4?x
2
表示半圆
x
2
?y
2
?4(y?0)<
br>,∴利用数形结合法,可得实数
m
的取值范围是
?2?m?2
或
m?22
.
变式练习:1.若直线y=x+k与曲线x=
解析:利用数形结合.
答案:-1<k≤1或k=-
2
例6 圆
(
x
?
3)
2
?
(
y?
3)
2
?
9<
br>上到直线
3x?4y?11?0
的距离为1的点有几个?
分析:借助图形直观
求解.或先求出直线
l
1
、
l
2
的方程,从代数计算中寻找
解答.
解法一:圆
(
x?
3)
2
?
(
y
?
3)
2
?
9
的圆心为
O
1
(3,3)<
br>,半径
r?3
.
设圆心
O
1
到直线
3x?
4y?11?0
的距离为
d
,则
d?
1?y
2
恰有
一个公共点,则k的取值范围是___________.
3?3?4?3?11
3?4
22
?2?3
.
如图,在圆
心
O
1
同侧,与直线
3x?4y?11?0
平行且距离为1的直线<
br>l
1
与圆有两个交点,这两个交
点符合题意.
又
r?d?3?2?1
.
∴与直线
3x?4y?11?0
平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.
∴符合题意的点共有3个.
解法二:符合题意的点是平行于直线
3x?4y?11?
0
,且与之距离为1的直线和圆的交点.设所求
直线为
3x?4y?m?0
,
则
d?
m?11
3?4
22
?
1
,
第 4 页 共 8
页
∴
m?11??5
,即
m??6
,或
m??16
,也即
l
1
:3x?4y?6?0
,或
l
2:3x?4y?16?0
.
设圆
O
1
:
(
x
?
3)
2
?
(
y?
3)
2
?
9<
br>的圆心到直线
l
1
、
l
2
的距离为
d
1
、
d
2
,则
d
1
?
3?3?4?3
?6
3?4
22
?3
,
d
2
?
3?3?4
?3?16
3?4
22
?1
.
∴
l
1
与
O
1
相切,与圆
O
1
有一个公共点;
l
2
与圆
O
1
相交,与圆
O
1
有两个公共点.即符合题
意的点共3
个.
说明:对于本题,若不留心,则易发生以下误解:
设圆心
O
1
到直线
3x?4y?11?0
的距离为
d
,则
d?
∴圆
O
1
到
3x?4y?11?0
距离为1的点有两个
.
显然,上述误解中的
d
是圆心到直线
3x?4y?11?0
的距
离,
d?r
,只能说明此直线与圆有两个
交点,而不能说明圆上有两点到此直线的距离
为1.
类型三:圆中的最值问题
例7:圆
x
2
?y
2<
br>?
4
x?
4
y?
10
?
0
上的点到
直线
x?y?14?0
的最大距离与最小距离的差是
22
解
:∵圆
(
x?
2)
?
(
y?
2)
?
18
的圆心为(2,2),半径
r?32
,∴圆心到直线的距离
3?3?4
?3?11
3?4
22
?2?3
.
d?
10
2<
br>?52?r
,∴直线与圆相离,∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
(d?r
)?(d?r)?2r?62
.
例8 (1)已知圆
O
1
:
(
x?
3)
2
?
(
y?
4)
2
?
1
,
P(x,y)
为圆
O
上的动点,求
d?x<
br>2
?y
2
的最大、最小值.
(2)已知圆
O
2:
求
(
x?
2)
2
?y
2
?
1
,
P(x,y)
为圆上任一点.
最小值.
分析:(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标,可考虑用圆的参数方程或数形结合解决.
解:(1)(法1)由圆的标准方程
(
x?
3)
?
(
y?
4)
?
1
.
22
y?2
的最大、最小值,求x?2y
的最大、
x?1
第 5 页 共 8
页
?
x?3?cos
?
,
可设圆的参数方程为
?<
br>(
?
是参数).
y?4?sin
?
,
?
则
d?x
2
?y
2
?9?6cos
?
?cos
2
?
?16?8sin
?
?sin
2
?
?26?6cos
?
?8sin
?
?26?10cos(
?
?
?
)
(其中
tan
?
?
所以
d
max
?
26
?
10
?
36
,
d
min
?26?10?16
.
4
).
3
(法2)圆上
点到原点距离的最大值
d
1
等于圆心到原点的距离
d
1
加上
半径1,圆上点到原点距离的最
小值
d
2
等于圆心到原点的距离
d<
br>1
减去半径1.
所以
d
1
?
3
2
?
4
2
?
1
?
6
.
'
'
d
2
?3
2
?4
2
?1?4
.
所以<
br>d
max
?
36
.
d
min
?16
.
(2) (法1)由
(
x?
2)
2
?y
2?
1
得圆的参数方程:
?
则
?
x??2?cos
?
,
?
是参数.
y?sin
?
,
?
y
?2sin
?
?2sin
?
?2
?
?t
, .令<
br>x?1cos
?
?3cos
?
?3
2
得
si
n
?
?tcos
?
?2?3t
,
1
?
ts
in(
?
?
?
)
?
2
?
3t
<
br>?
2?3t
1?t
2
?sin(
?
?
?)?1
?
3?33?3
?t?
.
44
所以
t
max
?
3?33?3
,
t
min
?
.
44
即
y?2
3?33?3
的最大值为,最小值为.
x?
1
44
此时
x?2y??2?cos
?
?2sin
?
??2?5cos(
?
?
?
)
.
所以
x?2y
的最大值为
?2?5
,最小值为
?2?5
.
(法2)设<
br>y?2
?
k
,则
kx?y?k?2?0
.由于
P(x
,y)
是圆上点,当直线与圆有交点时,如图所示,
x?1
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两条切线的斜率分别是最大、最小值.
由
d?
?2k
?k?2
1?k
2
?
1
,得
k?
3?3
.
4
所以
y?2
3?33?3
的最大值为,最小值为.
x?
1
44
令
x?2y?t
,同理两条切线在
x
轴上的截距分别
是最大、最小值.
由
d?
?2?m
5
?
1
,得<
br>m??2?5
.
所以
x?2y
的最大值为
?2?5
,最小值为
?2?5
.
22
例9、已知对于圆
x?
(y?
1)
?
1
上任一点
P(x,y)
,不等式
x?y?m?0
恒成立,求实数
m
的取值范
围.
设圆
x<
br>2
?
(
y?
1)
2
?
1
上任一点<
br>P(cos
?
,1?sin
?
)
?
?[0,2
?
)
∴
x?cos
?
,
y?1?sin
?
∵
x?y?m?0
恒成立
∴
cos
?
?1?sin
?
?m?0
即
m??(1?cos
?
?sin
?
)
恒成立.
∴只须
m
不小于
?(1?cos
?
?sin
?)
的最大值.
设
u??(sin
?
?cos
?
)?1??2sin(
?
?
∴
u
max
?
2?
1
即
m?
?
4
)
?
1
2?1
.
第 7 页 共 8 页
说明:在这种解法中,运用了圆上的点的参数设法.一般地,把圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
上的点设为
(a?rcos?
,b?rsin
?
)
(
?
?[0,2
?)
).采用这种设法一方面可减少参数的个数,另一方面可以灵活地运
用三角公式.从代数
观点来看,这种做法的实质就是三角代换.
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