高中数学必修二-圆的方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题
类型一：圆的方程
例1 求过两点
A(1,4)
、
B(3,2)
且圆心在直线
y?0
上的圆的 标准方程并判断点
P(2,4)
与圆的关
系．
解法一：（待定系数法）
解法二：（直接求出圆心坐标和半径）




例2 求 半径为4，与圆
x?y?4x?2y?4?0
相切，且和直线
y?0
相切的圆 的方程．
说明：圆相切有内切、外切两种．







例3 求经过点
A(0,5)
，且与直线
x ?2y?0
和
2x?y?0
都相切的圆的方程．
分析：欲确定圆的方程．需 确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点
A
，故只需确定圆心坐标．又
圆与两已知直线 相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．










例4、 设圆满足：(1)截
y
轴所得弦 长为2；(2)被
x
轴分成两段弧，其弧长的比为
3:1
，在满足条件
(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线
l：x?2y?0
的距离最小的圆的方程．
分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个
条件的圆 有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线
的距离公式，通 过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方
程．



22
1

类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程
4
?
与圆
O
相切的切线． 例5 已知圆
O：x?y?4
，求过点
P
?
2，
22









说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．
本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．
例6 两圆
C
1
：x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与
C
2
：x?y?D
2
x? E
2
y?F
2
?0
相交于
A
、
B
两
点，求它们的公共弦
AB
所在直线的方程．
分析：首先求
A、
B
两点的坐标，再用两点式求直线
AB
的方程，但是求两圆交点坐标的 过程
太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．






例7、过圆
x?y?1
外一点
M(2,3)
，作这个圆的两条切线
MA
、
MB
，切点分别是
A
、
B
，求
直线
AB
的方程。





练习：
1．求过点
M(3,1)
，且与圆
( x?1)?y?4
相切的直线
l
的方程．



2、过坐标原点且与圆
x?y?4x?2y?
22
22
2222
22
5
?0
相切的直线的方程为
2
22
3、已知 直线
5x?12y?a?0
与圆
x?2x?y?0
相切，则
a
的值为 .
类型三：弦长、弧问题
例8、求直线
l:3x?y? 6?0
被圆
C:x?y?2x?4y?0
截得的弦
AB
的长.


22
2

22
例9、直线
3x?y?2 3?0
截圆
x?y?4
得的劣弧所对的圆心角为

22< br>例10、求两圆
x?y?x?y?2?0
和
x?y?5
的公共弦长
22





类型四：直线与圆的位置关系 < br>22
例11、已知直线
3x?y?23?0
和圆
x?y?4
， 判断此直线与已知圆的位置关系.



例12、若直线
y?x?m
与曲线
y?


例13 、圆
(x?3)?(y?3)?9
上到直线
3x?4y?11?0
的距离为1 的点有几个？
分析：借助图形直观求解．或先求出直线
l
1
、
l< br>2
的方程，从代数计算中寻找解答．

练习1：直线
x?y?1与圆
x?y?2ay?0(a?0)
没有公共点，则
a
的取值范围是

22
练习2：若直线
y?kx?2
与圆
(x?2)?(y ?3)?1
有两个不同的交点，则
k
的取值范围
4?x
2
有 且只有一个公共点，求实数
m
的取值范围.
22
22
是 .

22
3、 圆
x?y?2x?4y?3?0
上到直线
x?y?1?0
的距离为
2
的点共有（ ）．
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

?4
?
作直线
l
，当斜率为何值时，直线
l
4、 过点
P
?
?3，
y
?
x?1
?
?
?
y?2
?
?4
有公共点，如图所示． 与圆
C：
22





O
x
E
3
P

类型五：圆与圆的位置关系
例14、判断圆
C
1
:x?y?2x? 6y?26?0
与圆
C
2
:x?y?4x?2y?4?0
的位置关系 ，


2222
例15：圆
x?y?2x?0
和圆
x?y?4y?0
的公切线共有 条。
2222
练习
1： 若圆
x?y?2mx?m?4?0
与圆
x?y?2x?4my?4m?8?0
相切，则实数
m
的取
值集合是 .

222：求与圆
x?y?5
外切于点
P(?1,2)
，且半径为
25
的圆的方程.
222222






类型六：圆中的对称问题
例16、圆
x?y?2x?6y?9?0
关于直线
2x?y?5?0
对称的圆的方程是

22
3
?
发出的光线
l
射到
x
轴上，被
x
轴反射，反射 光线所在例17、自点
A
?
?3，
的直线与圆
C：x?y?4x?4 y?7?0
相切
（1）求光线
l
和反射光线所在的直线方程．
（2）光线自
A
到切点所经过的路程．









类型七：圆中的最值问题
22
22
y
M
A C
N
G
O
B
x
A’
图
例18、圆
x?y?4x?4y?10? 0
上的点到直线
x?y?14?0
的最大距离与最小距离的差是 22
例20：已知
A(?2,0)
，
B(2,0)
，点
P
在圆
(x?3)?(y?4)?4
上运动，则
PA?PB
的最小< br>22
值是 .

4

练习：
22
1：已知点
P(x, y)
在圆
x?(y?1)?1
上运动.
（1）求
y?1
的 最大值与最小值；（2）求
2x?y
的最大值与最小值.
x?2
2222、已知点
A(?2,?2),B(?2,6),C(4,?2)
，点
P
在圆
x
2
?y
2
?4
上运动，求
PA?PB?PC
的最
大值和最小值.





类型八：轨迹问题
例21、基础训练：已知点
M
与两个定点
O(0 ,0)
，
A(3,0)
的距离的比为


22
例2 2、已知线段
AB
的端点
B
的坐标是（4，3），端点
A
在 圆
(x?1)?y?4
上运动，求线段
AB
1
，求点
M的轨迹方程.
2
的中点
M
的轨迹方程.



例23、如图所示，已知圆
O：x?y?4
与
y
轴的正方 向交于
A
点，点
B
在直线
y?2
上运动，过
22< br>B
做圆
O
的切线，切点为
C
，求
?ABC
垂 心
H
的轨迹．

分析：按常规求轨迹的方法，设
H(x,y)，找
x,y
的关系非常难．由于
H
点随
B
，
C
点运动
而运动，可考虑
H
，
B
，
C
三点坐 标之间的关系．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应
注意分析与动点相关联的点，如相关联点 轨迹方程已知，可考虑代入法．






5

例24、已知圆的方程为
x?y?r
，圆内 有定点
P(a,b)
，圆周上有两个动点
A
、
B
，使
PA?PB
，
求矩形
APBQ
的顶点
Q
的轨迹方程．









练习：
22
1、由动点
P
向圆
x?y?1
引两条 切线
PA
、
PB
，切点分别为
A
、
B
，< br>?APB
=60
0
，则动点
P
222
的轨迹方程是 .

练习巩固：设
A(?c,0),B(c,0)(c?0)
为两定点，动 点
P
到
A
点的距离与到
B
点的距离的比为定值
a( a?0)
，求
P
点的轨迹.




2 、已知两定点
A(?2,0)
，
B(1,0)
，如果动点
P
满足
PA?2PB
，则点
P
的轨迹所包围的面积等于




22
4、已知定点
B(3,0)
，点
A
在圆
x?y?1
上运动，
M
是线段
AB上的一点，且
AM?
1
MB
，
3
问点
M
的轨迹是什么？






6

22
例5、已知定点
B(3,0)
，点
A
在圆
x?y?1
上运动，
?AOB
的平分线交
AB
于点
M
，则点
M
的
轨迹方程是 .

22
练习巩固：已知直线
y?kx?1
与圆
x?y? 4
相交于
A
、
B
两点，以
OA
、
OB为邻边作平行四
边形
OAPB
，求点
P
的轨迹方程.






类型九：圆的综合应用
例25、 已 知圆
x?y?x?6y?m?0
与直线
x?2y?3?0
相交于
P< br>、
Q
两点，
O
为原点，且
22
OP?OQ
， 求实数
m
的值．







例26、已知对于圆
x?(y?1)?1
上任一点
P(x,y)
，不 等式
x?y?m?0
恒成立，求实数
m
的
取值范围．







例27 有一种大型商品，
A
、
B
两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回
的费 用是：每单位距离
A
地的运费是
B
地的运费的3倍．已知
A
、
B
两地距离为10公里，顾客选
择
A
地或
B
地购 买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求
A
、
B
两地的售货区 域的
分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．

22

7