高中数学圆的方程(基础)知识梳理

圆的方程
【考纲要求】
1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，
2.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.
3.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；
4.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．
【知识网络】
圆的标准方程
圆的方程
圆的一般方程
简单应用
点与圆的关系

【考点梳理】
考点一：圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
，其中
?
a，b
?
为圆心，r
为半径.
要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时
a?0，b?0
，圆的方程就是
x?y?r
.有关图形特征
与方程的转化：如：圆心在x轴上：b= 0；圆与y轴相切时：
|a|?r
；圆与x轴相切时：
|b|?r
；与坐标< br>轴相切时：
|a|?|b|?r
；过原点：
a?b?r
.
( 2)圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r?
圆心为
?
a，b
?
，半径为
r
，它显现了圆的几何特点.
222
222
22 2
(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要 a、
b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.
考点二：圆的一般方程
22
当
D?E?4F?0
时，方程
x?y?Dx?Ey?F?0
叫做圆的一般方程.
?
?
22
?
DE
?
,?
?
为圆心，
2
??
2
1D
2
?E
2
?4F
为半径.
2
D
? ?
E
?
D
2
?E
2
?4F
?
22
要点诠释：由方程
x?y?Dx?Ey?F?0
得
?
x?
?
?
?
y?
?
?

2
??
2
?
4
?
(1)当
D?E?4F?0
时，方程只有实数解
x ??
22
22
DEDE
,y??
.它表示一个点
(?,?)
.
2222

(2)当
D?E?4F?0
时，方程没 有实数解，因而它不表示任何图形．
(3)当
D?E?4F?0
时，可以看出方程表 示以
?
?
考点三：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为
(x?a )?(y?b)?r
，圆心为
C
?
a，b
?
，半径为
r
，则有
222
22
22
1
?
DE
?
,?
?
为圆心，
D
2
?E
2
?4F
为半径的圆.
2
?
2
?
2
(1)若点
M
?
x
0
，y
0
?
在圆上
?|CM|?r?
?
x
0
?a
?
?
?
y
0
?b< br>?
?r

2
22
(2)若点
M
?
x
0
，y
0
?
在圆外
?|CM|?r?
?
x
0
?a
?
?
?
y
0
?b
?
?r

2
22
(3)若点
M
?
x
0，y
0
?
在圆内
?|CM|?r?
?
x
0?a
?
?
?
y
0
?b
?
?r

2
22
考点四：几种特殊位置的圆的方程
条件
圆心在原点
过原点
圆心在x轴上
圆心在y轴上
圆心在x轴上且过原点
圆心在y轴上且过原点
方程形式
标准方程 一般方程
x
2?y
2
?r
2
?
r?0
?

(x?a )
2
?(y?b)
2
?a
2
?b
2
x
2
?y
2
?r
2
?0
?
r?0?

x
2
?y
2
?Dx?Ey?0

(x?a)
2
?y
2
?r
2
?
r?0
?< br>
x
2
?(y?b)
2
?r
2
?
r ?0
?

(x?a)
2
?y
2
?a
2?
a?0
?

x
2
?(y?b)
2
? b
2
?
b?0
?

x
2
?y
2
?Dx?F?0

x
2
?y
2
?Ey?F?0

x
2
?y
2
?Dx?0

x
2
?y
2
?Ey?0

x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

与x轴相切
(x?a)
2
?(y?b)
2
?b
2

?
D
?
E
2
?4F?0
?

x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

与y轴相切
(x?a)
2
?(y?b)
2
?a
2

2
?4F?0
?

要点诠释：
圆的标准方程与一般方程的转化：标准方程
【典型例题】
类型一：圆的标准方程
例1. 已知圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0，且这个圆经过点A(6，1)，求该圆的方程.
【思路点拨】已知圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0，因此可设圆的标准方程，利用待定系数法解 决
问题.
展开
配方
一般方程.

?r?|a|
解析：设圆心为
?
a，
?
，
?
?
a
?
3
?
2
?
a
?
?
?
6?a
?
?
?
1?
?
?a< br>2

?
3
?
?a?3或a?111
2
∴圆心 为(3，1)(111，37)
22222
∴圆的方程为(x-3)+(y-1)=9或(x -111)+(y-37)=111.
总结升华：圆心或半径的几何意义明显，则可设标准方程.
举一反三：
【变式1】若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线
4x-3y= 0
和
x
轴都相切，则该圆的标准方程
是（ ）
A.
(x?2)?(y?1)?1
B.
(x?2)?(y?1)?1

22
C.
(x?2)?(y?1)?1
D.
(x?3)?(y?1)?1

22
2222
解析：依题意，设圆心 坐标为
(a,1)
，其中
a?0
，则有
方程是
(x?2)? (y?1)?1
，选A.
22
|4a?3|
?1
，由此解得
a?2
，因此所求圆的
5
类型二：圆的一般方程
例2.求过三点A(1， 12)，B(7，10)，C(-9，2)的圆的方程，并求出圆的圆心与半径，作出图形.
【思路点拨】因为圆过三个定点，故可以设圆的一般方程来求圆的方程.
解:设所求的圆的方程为
x?y?Dx?Ey?F?0
，
22
?< br>1?144?D?12E?F?0,
?
依题意有
?
49?100?7D ?10E?F?0,

?
81?4?9D?2E?F?0.
?
解得D =-2，E=-4，F=-95.
于是所求圆的方程为x
2
+y
2
-2x-4y-95=0.
将上述方程配方得(x-1)
2
+(y-2)
2
=100.
于是，圆的圆心D的坐标为(1，2)，半径为10，图形如图所示.

总结升华： 求过三个定点的圆的方程往往采用待定系数法来求解.利用圆经过不在同一直线上的三点的
条件，由待定 系数法求出圆的一般式方程，并由此讨论圆的几何性质，这是解题的捷径.
对于由一般式给出的圆的方 程，研究其几何性质(圆心与半径等)时，常可用配方法或公式法加以求解.

如由公式可 得
r?
举一反三：
1
(?2)
2
?(?4)
2< br>?(?4)
2
?4(?95)?10
.
2
【变式1】圆与< br>y
轴相切，圆心
P
在直线
x?3y?0
上，且直线
y ?x
截圆所得弦长为
27
，求此圆
的方程。
【答案】：设圆方程为：
(x?a)?(y?b)?r

222
< br>∵且圆心
(a,b)
在直线
x?3y?0
上，∴
a?3b
∵圆与
y
轴相切，∴
r?|a|?3|b|

222
故圆方程为
(x?3b)?(y?b)?9b
，又因为直线
y?x
截 圆得弦长为
27
，
则有
(
|3b?b|
2
)?( 7)
2
?9b
2
，解得
b??1

2
22 22
故所求圆方程为：
(x?3)?(y?1)?9
或
(x?3)?(y?1 )?9
。
【变式2】求经过点
M(1,2)
、
N(3,4)
且在
x
轴上截得的弦长为6的圆
C
的方程。
【答案】：方法一：设圆心
(a,b)
，半径长
r
，
由垂 径定理可以得到圆
C
与
x
轴两交点为
P(a?3,0)
、< br>Q(a?3,0)
,
由
M(1,2)
、
N(3,4)
得
k
MN
?1
且MN的中点坐标
(2,3)
，
则
MN
的垂直平分线方程为
y?3??(x?2)
，PQ的垂直平分线方程为
x?a
。
解方程组：
?
?
x?a
得圆心
C(a,5?a)
.
y?3??(x?2)
?
22
由
|CP|?|CM|
得
3?(5?a)
=
(a?1)
2< br>?(3?a)
?
，解出
a
1
??6
,
a2
?4
.
2
22
当
a
1
??6时，圆心
C
1
(?6,11)
,
r
1
?130
, 圆
C
的方程为：
(x?6)?(y?11)?130

2
22
当
a
2
?4
时，圆心
C
2
(4,1)
,
r
2
?10
，圆
C
的方程为
(x?4)?(y?1)?10

故所求圆的方程为：
(x?6)?(y?11)?130
或
(x?4)?(y?1)?10
.
方法二：设所求圆为
x?y?Dx?Ey?F?0
.
令
y?0
得
x?Dx?F?0
, 在x轴上截得弦长为：
2
22
2222
|x
1
?x
2
|?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?D< br>2
?4F?6
.
将
M(1,2)
、
N(3,4)
代入圆方程可得方程组：
?
D?2E?F?5?0
?
D
1
??8
?
D
2
?12
??
?
3D?4E?F?25?0
E??2
，解 出 或
?
?
1
?
E
2
??22

?
D
2
?4F?36?0
?
F?7
?
F?27?
1
?
2
?

所求圆方程为
x?y?8x ?2y?7?0
或
x?y?12x?22y?27?0
.
【变式3】根据下列条件分别写出圆的方程：
(1)圆过三个点(2，2)，(5，3)，(6，0)；
(2)圆过三个点
O(0,0),M(1,1),N(4,2)
.
思路点拨：已知圆过三个点，且圆心、半径不明确，故可用一般方程来求解.
2222
?
D??8
?
22
解析：(1)设圆的方程为：
x?y?Dx?E y?F?0
，解得：
?
E??2

?
F?12
?
∴ 所求圆方程为：
x?y?8x?2y?12?0
；
(2)设所求的圆的方程为：
x?y?Dx?Ey?F?0

∵
O( 0,0),M(1,1),N(4,2)
在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的 方程，可以得
到关于
D,E,F
的三元一次方程组，
22
22?
F?0
?
即
?
D?E?F?2?0

?4D?2E?F?20?0
?
解此方程组，可得：
D??8,E?6,F?0.
∴所求圆的方程为：
x?y?8x?6y?0
.
22
r?
1
DF
D
2
?E
2
?4F?5
；
??4,???3
.
22
2
得圆心坐标为(4，-3).
总结升华：
(1)圆的一般方程的形式要熟悉，并且能和圆的标准方程的形式区分开；
(2)在求解圆的方程时要分析设哪种形式更简单.
类型三：点与圆的位置关系
例 3.写出以点A(2，-3)为圆心，5为半径的圆的标准方程，并判断点M(5，-7)，N(2，-1)与该 圆的位
置关系.
【思路点拨】求点与圆之间的距离是关键.
解析：圆的标准方程为
?
x?2
?
?
?
y?3
?
?25

22
|MA|?
|NA|?
?
2?5
?
2
?
?
?3?7
?
2
?
2?2
?
2
?
?
?3?1
?
2
?5?r
，∴点M在圆上；
?2?r
，∴点N在圆内.
总结升华：判断点与圆的位置关系就是判断点到圆心的距离与半径的大小关系.
举一反三：
【变式1】已知圆的方程为
?
x?5
?
?
?
y?6
?
?10
，试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上、
22

圆内还是圆外？
解析：分别计算点到圆心的距离：
|CM|?
|CN|?
|CQ|?
?
6?5
?
2
?
?
9?6
?
2
?
3?5
?
2
?
?< br>3?6
?
2
?
5?5
?
2
?
?3?6
?
2
?10;
?13?10;

?3?10;
所以，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内.
类型四：与圆有关的轨迹问题
例4.已知点
Q(10,0)
，点P是圆x?y?16
上的动点，求线段
PQ
中点M的轨迹方程.
【思路点拨】本题关键是找出点M与点P之间的联系（实际是坐标间的关系）．
22
?
x
1
?10?2x
?
x
1
?2x?10
解析：设
P(x
1
,y
1
)
，
M(x,y)
，则
?
，所以
?

y?2yy?2y
?
1
?
1
22
又因为点
P(x
1
,y
1
)< br>在圆上，所以
x
1
?y
1
?16

即
(2x?10)?(2y)?16
，整理得
(x?5)?y?4

所以线段
PQ
中点M的轨迹方程为
(x?5)?y?4
.
5
4
3
2
1
–6–5–4–3–2–1
O
–1–2
–3
–4
–5
–6
–7
2222
22y
P
M
11
Q
x
.
例5【2015 广东高考】. 已知过原点的动直线 错误！未找到引用源。 与圆 错误！未找到引用源。 相
交于不同的两点 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。．
(1) 求圆 错误！未找到引用源。 的圆心坐标；
(2) (2)求线段 错误！未找到引用源。 的中点 错误！未找到引用源。 的轨迹 错误！未找到引用源。 的
方程；
(3) (3)是否存在实数 错误！未找到引用源。，使得直线 错误！未找到引用源。 与曲线 错误！未找到
引用源。 只有一个交点？若存在，求出 错误！未找到引用源。 的取值范围；若不存在，说明理由．
【解析】(1) 把圆 错误！未找到引用源。 的方程化为标准方程得 错误！未找到引用源。，
错误！未找到引用源。 圆 错误！未找到引用源。 的圆心坐标为 错误！未找到引用源。．
(2) 设 错误！未找到引用源。，
错误！未找到引用源。 为过原点的直线 错误！未找到引用源。 与圆 错误！未找到引用源。 的交点，
且 错误！未找到引用源。 为 错误！未找到引用源。 的中点，
错误！未找到引用源。 由圆的性质知 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。．
又 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，
错误！未找到引用源。 由向量的数量积公式得 错误！未找到引用源。．
易知直线 错误！未找到引用源。 的斜率存在，错误！未找到引用源。 设直线 错误！未找到引用源。 的
方程为 错误！未找到引用源。，
当直线 错误！未找到引用源。 与圆 错误！未找到引用源。 相切时，错误！未找到引用源。，解得 错
误！未找到引用源。．

把相切时直线 错误！未找到引用源。 的方程代入圆 错误！未找到引用源。 的方程化简得 错误！未找
到引用源。，解得 错误！未找到引用源。．
当直线 错误！未找到引用源。 经过圆 错误！未找到引用源。 的圆心时，错误！未找到引用源。 的坐
标为 错误！未找到引用源。．
又直线 错误！未找到引用源。 与圆 错误！未找到引用源。 交于 错误！未找到引用源。 两点，错误！
未找到引用源。 为 错误！未找到引用源。 的中点，
错误！未找到引用源。．
错误！未找到引用源。 点 错误！未找到引用源。 的轨迹 错误！未找到引用源。 的方程为 错误！未
找到引用源。，其中 错误！未找到引用源。，其轨迹为一段圆弧．
(3) 法一：由题可知，直线 错误！未找到引用源。 恒过定点 错误！未找到引用源。，结合（2）可作出
图象如下图，

由（2）知，点 错误！未找到引用源。 、 错误！未找到引用源。 的横坐标为 错误！未找到引用源。，
因此，代入曲线 错误！未找到引用源。 的方程得 错误！未找到引用源。 、 错误！未找到引用源。，
结合图象，可知当 错误！未找到引用源。 介于直线 错误！未找到引用源。 和 错误！未找到引用源。 的
斜率之间时，直线 错误！未找到引用源。 与曲线 错误！未找到引用源。 只有一个交点，又 错误！未
找到引用源。，错误！未找到引用源。，所以 错误！未找到引用源。；
另外，当直线 错误！未找到引用源。 与曲线 错误！未找到引用源。 相切时，只有一个交点，又曲线 错
误！未找到引用源。 的圆心为 错误！未找到引用源。，直线方程为 错误！未找到引用源。，所以 错误！
未找到引用源。，解得 错误！未找到引用源。；
综上所述，错误！未找到引用源。 的取值范围是 错误！未找到引用源。 或 错误！未找到引用源。．
方法二：由题意知直线 错误！未找到引用源。 表示过定点 错误！未找到引用源。，斜率为 错误！未找
到引用源。 的直线，
把直线 错误！未找到引用源。 的方程代入轨迹 错误！未找到引用源。 的方程 错误！未找到引用源。，
其中 错误！未找到引用源。，
化简得 错误！未找到引用源。，其中 错误！未找到引用源。，
记 错误！未找到引用源。，其中 错误！未找到引用源。．
若直线 错误！未找到引用源。 与曲线 错误！未找到引用源。 只有一个交点，令 错误！未找到引用源。．
当 错误！未找到引用源。 时，解得 错误！未找到引用源。，即 错误！未找到引用源。，此时方程可化
为 错误！未找到引用源。，即 错误！未找到引用源。，
解得 错误！未找到引用源。，
错误！未找到引用源。 满足条件．
当 错误！未找到引用源。 时，
① 若 错误！未找到引用源。 是方程的解，则 错误！未找到引用源。，故在区间 错误！未找到引用源。
上有且仅有一个根，满足题意．
②若 错误！未找到引用源。 是方程的解，则 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，故在区
间 错误！未找到引用源。 上有且仅有一个根，满足题意．
③若 错误！未找到引用源。 和 错误！未找到引用源。 均不是方程的解，则方程在区间 错误！未找到
引用源。 上有且仅有一个根，
只需 错误！未找到引用源。．
故在区间 错误！未找到引用源。 上有且仅有一个根，满足题意．
综上所述，错误！未找到引用源。 的取值范围是 错误！未找到引用源。 或 错误！未找到引用源。．

举一反三：

【变式】【2015 唐 山一模】已知圆O：
x?y?4
，点
A
?
3,0
?
，以线段AB为直径的圆内切于圆O，记
22
点B的轨迹为
?
.
(1) 求曲线
?
的方程；
(2) 直线AB交圆O于C，D两点，当B为CD中点时，求直线AB的方程.



【解析】(1)设AB的中点为M，切点为N，连接OM，MN，
则
OM?MN?2
，取A关于y轴的对称点
A?3,0
，连接
A
'
B

'
??
?A
'
B?AB?2
?
OM?MN
?
?4

?
点B的轨迹是以
A
'
,A
为焦点，长轴长为4的椭圆.
x
2
?y
2
?1
其中
a?2,c?3,b?1
则曲线
?
的方程为
4
(2)

B
为CD的中点，
?OB?CD

?OB?AB
设B
?
x
0
,y
0
?
，则
OB?
?
x
0
,y
0
?
,AB?x
0
?3,y
0

x
0
2
?y
0
2
?1
即
x
0
x
0
?3?y
0
?0
又
4
22
解得
x
0
?,y
0
??
?k
AB
??2

33
??
??
2
?
直线A B的方程为
y??2x?3

即
2x?y?6?0
或
2x?y?6?0



??