高中数学圆与方程精选题目(附答案)

高中数学圆与方程精选题目（附答案）

1．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为( )
A．(－3,4,5)
C．(3，－4，－5)
B．(－3，－4,5)
D．(－3,4，－5)
解析：选A 纵、竖坐标相同．故点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为(－3,4,5)．
2．已知圆O以点(2，－3)为圆心，半径等于5，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是( )
A．在圆内
C．在圆外
B．在圆上
D．无法判断
解析：选B 点M(5，－7)到圆心(2，－3)的距离d＝?5－2?
2
＋?－7 ＋3?
2
＝5，故点M
在圆O上．
3．直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)
2
＋y
2
＝3截得的弦长等于( )
A.2
C．22
B．2
D．4
|－1＋0－1|
＝2，所
1
2
＋1
2
解析：选B 由题意，得圆心为(－1,0)，半径r＝3，弦心距d＝
以所求的弦长为2r
2
－d
2
＝2，选B.
4．若点P(1,1)为圆x
2
＋y
2< br>－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为( )
A．2x＋y－3＝0
C．x＋2y－3＝0
B．x－2y＋1＝0
D．2x－y－1＝0
解析：选D 由题意，知圆的标准方程为(x－3)
2
＋y
2
＝9， 圆心为A(3,0)．因为点P(1,1)
为弦MN的中点，所以AP⊥MN.又AP的斜率k＝
1－0
1
＝－，所以直线MN的斜率为2，
2
1－3
所以弦MN所 在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
5．已知圆M：x
2
＋y
2
＝2与圆N：(x－1)
2
＋(y－2)
2
＝3，那 么两圆的位置关系是( )
A．内切
C．外切
B．相交
D．外离
解析：选B ∵圆M：x
2
＋y
2
＝2的圆心为M(0, 0)，半径为r
1
＝2；
圆N：(x－1)
2
＋(y－2)
2
＝3的圆心为N(1,2)，半径为r
2
＝3；
|MN|＝ 1
2
＋2
2
＝5，且3－2＜5＜2＋3，
∴两圆的位置关系是相交．
6．(2016·全国卷Ⅱ)圆x
2
＋y
2
－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，
则a＝( )
4
A．－
3
3
B．－
4

C.3 D．2
解析：选A 因为圆x
2
＋y
2
－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax
＋y －1＝0的距离d＝
|a＋4－1|
4
＝1，解得a＝－.
3
a< br>2
＋1
7．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x
2
＋(y－3)2
＝1内切，则此圆的方程为( )
A．(x－4)
2
＋(y－6)
2
＝6
C．(x－4)
2
＋(y－6)
2
＝36
B．(x±4)
2
＋(y－6)
2
＝6
D．(x±4)
2
＋(y－6)
2
＝36
解析：选D ∵半径长为 6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6.再由a
2
＋3
2
＝ 5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)
2
＋(y－6)
2
＝3 6.
8．经过点M(2,1)作圆x
2
＋y
2
＝5的切线，则切线 方程为( )
A.2x＋y－5＝0
C．2x＋y－5＝0
B.2x＋y＋5＝0
D．2x＋y＋5＝0
解析：选C ∵M(2,1)在圆上，∴切线与MO垂直．
1
∵k
MO
＝，∴切线斜率为－2.又过点M(2,1)，
2
∴y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
9．把圆x
2
＋y
2
＋2x－4y－a
2
－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y－4＝0
相切，则实数a的值为( )
A．－3
C．－3或3
B．3
D．以上都不对
解析：选C 圆的方程可变为(x＋1)
2
＋(y－2)
2
＝a
2
＋7，圆心为(－1,2)，半径为a
2
＋7，
|－1×3－4×2－4|
由题意得＝a
2
＋7－1，解 得a＝±3.
22
?－3?＋4
10.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的 位置时，拱顶离水
面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为( )
A．14米
C.51米
B．15米
D．251米
解析：选D 如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥
的顶点的水平切线为x轴，以 过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，
建立平面直角坐标系．
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，
则由已知可得A(6，－2)，
设圆的半径长为r，则C(0，－r)，
即圆的方程为x
2
＋(y＋r)
2
＝r
2
.

将点A的坐标代入上述方程可得r＝10，
所以圆的方程为x
2
＋(y＋10)
2
＝100，
当水面下降1米后，水面弦的端点为A′，B′，
可设A′(x
0
，－3) (x
0
>0)，代入x
2
＋(y＋10)
2
＝100，解得 x
0
＝51，
∴水面宽度|A′B′|＝251米．
11．过点(3,1 )作圆(x－1)
2
＋y
2
＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB 的方程为
( )
A．2x＋y－3＝0
C．4x－y－3＝0
B．2x－y－3＝0
D．4x＋y－3＝0
解析：选A 设点P(3,1 )，圆心C(1,0)．已知切点分别为A，B，则P，A，C，B四点
1
1
2，?
，半径长为共圆，且PC为圆的直径．故四边形PACB的外接圆圆心坐标为
?
?
2
?
2
?3－1?
2
＋?1－0?
2
＝
1
55
y－
?
2
＝.① .故此圆的方程为(x－2)2
＋
?
?
2
?
42
圆C的方程为(x－1)< br>2
＋y
2
＝1.②
①－②得2x＋y－3＝0，此即为直线AB的方程．
12．已知在平面直角坐标系xOy中 ，圆C的方程为x
2
＋y
2
＝－2y＋3，直线l经过点(1,0)
且与直线x－y＋1＝0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为( )
A．1 B.2 C．2 D．22
解析：选A 由题意，得圆C的标准方程为x
2< br>＋(y＋1)
2
＝4，圆心为(0，－1)，半径r
＝2.因为直线l经过点( 1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率为－1，方程为y
|0－1－1|
－ 0＝－(x－1)，即为x＋y－1＝0.又圆心(0，－1)到直线l的距离d＝＝2，所以
2
|0＋0－1|
1
弦长|AB|＝2r
2
－d
2
＝24－ 2＝22.又坐标原点O到弦AB的距离为＝，所以
22
11
△OAB的面积为×22 ×＝1.故选A.
2
2
13．已知圆M与直线x－y＝0及x－y＋4＝0都相切， 圆心在直线y＝－x＋2上，则圆
M的标准方程为____________________．
解析：由圆心在y＝－x＋2上，设圆心为(a,2－a)，
∵圆M与直线x－y＝0及x－y＋4＝0都相切，
∴圆心到直线x－y＝0的距离等于圆心到直线x－y＋4＝0的距离，
即
|2a－2||2a＋2|
＝，解得a＝0，
22
|2a－2|
＝2，
2

∴圆心坐标为(0,2)，r＝

∴圆M的标准方程为x
2
＋(y－2)
2
＝2.
答案：x
2
＋(y－2)
2
＝2
14．已知空间直角坐标 系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点
的坐标为(3,2,1)，M点的坐标为( 4,3,1)，则B点的坐标为______________．
x＋3y＋2z＋1
解析： 设B点的坐标为(x，y，z)，则有＝4，＝3，＝1，解得x＝5，y＝4，
222
z＝1 ，
故B点的坐标为(5,4,1)．
答案：(5,4,1)
15．圆O：x2
＋y
2
－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线l：3x＋4y＋8＝0的距离 的最大值
是________．
解析：∵圆O的标准方程为(x－1)
2
＋ (y－1)
2
＝1，圆心(1,1)到直线l的距离为
|3×1＋4×1＋8|
＝3>1，∴动点Q到直线l的距离的最大值为3＋1＝4.
3
2
＋4
2
答案：4
16．(2016·全国卷Ⅰ)设直 线y＝x＋2a与圆C：x
2
＋y
2
－2ay－2＝0相交于A，B两点，< br>若|AB|＝23，则圆C的面积为________．
解析：圆C：x
2
＋ y
2
－2ay－2＝0化为标准方程为x
2
＋(y－a)
2
＝a
2
＋2，
所以圆心C(0，a)，半径r＝a
2
＋2，因为| AB|＝23，点C到直线y＝x＋2a，即x－y
＋2a＝0的距离d＝
|0－a＋2a|< br>|a|
?
23
?
2
＋
?
|a|
?< br>2
＝a
2
＋2，解得a
2
＝2， ＝，由勾股定理得
?
2
?
?
2
?
22
所以r＝2，所以圆C的面积为 π×2
2
＝4π.
答案：4π
17．(本小题满分10分)已知正四棱锥P- ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，G是PD
的中点，求|BG|.
解：∵正四棱锥P- ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，
∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于 AB，
BC所在的直线分别为y轴、x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
正四棱锥的顶点 B，D，P的坐标分别为B(2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0,1)．
1
－1，－1，
?
∴G点的坐标为G
?
2
??< br>∴|BG|＝
173
3
2
＋3
2
＋＝.
4 2
18．(本小题满分12分)已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆O：x
2
＋ y
2
－3x＝0的公共
弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．

解：设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x－2)
2
＋ (y－1)
2
＝r
2
，即x
2
＋y
2
－4 x－2y＋
5＝r
2
，圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5 ＋r
2
＝0，因为该直线
过点(5，－2)，所以r
2
＝4，则圆C 的方程为(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝4.
19．(本小题满分 12分)已知从圆外一点P(4,6)作圆O：x
2
＋y
2
＝1的两条切线， 切点分
别为A，B.
(1)求以OP为直径的圆的方程；
(2)求直线AB的方程．
解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP的中点(2,3)，
11
半径为|OP|＝
22
－3)
2
＝13.
(2)∵PA，PB是圆O：x
2
＋y
2
＝1的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴A，B两点都在以OP为直径的圆上．
22
?
?
x＋y＝1，
由
?
得直线AB的方程为4x＋6y－1＝0.
?
?
?x－2?
2
＋?y－3?
2
＝13，
?4－0?
2
＋?6－0?
2
＝13，∴以OP为直径的圆的方程为(x－ 2)
2
＋(y

20．(本小题满分12分)已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)．
(1)求周长最小的圆的方程；
(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
解：(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，
1
即以线段AB的中点(0,1)为圆心，r＝|AB|＝10为半径．
2
则所求圆的方程为x
2
＋(y－1)
2
＝10.
(2)法一：直线AB的斜率k＝
4－?－2?
＝－3，
－1－1
1
则线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x
3
即x－3y＋3＝0.

?
?
x－3y＋3＝0，由
?
?
2x－y－4＝0，
?

?
?
x＝3，
解得
?
?
y＝2，
?


即圆心的坐标是C(3,2)．
∴r
2
＝|AC|
2
＝( 3－1)
2
＋(2＋2)
2
＝20.
∴所求圆的方程是(x－3)
2
＋(y－2)
2
＝20.
法二：设圆的方程为(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝R
2
.

?1－a?
2
＋?－2－b?
2
＝R
2
，
?
?
则
?
?－1－a?
2＋?4－b?
2
＝R
2
，
?
?
2a－b－4＝ 0

a＝3，
?
?
?
?
b＝2，
?
?
R
2
＝20.


∴所求圆的方程为(x－3)
2
＋(y－2)
2
＝20.
21．(本小题满分12分)已知圆x
2
＋y
2
－4ax＋2ay＋20a－ 20＝0.
(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；
(2)若该圆与圆x
2
＋y
2
＝4相切，求a的值．
解： (1)证明：圆的方程可整理为(x
2
＋y
2
－20)＋a(－4x＋2y＋ 20)＝0，
此方程表示过圆x
2
＋y
2
－20＝0和直线－4x ＋2y＋20＝0交点的圆系．
?
x
2
＋y
2
－20＝0 ，
?
由
?
?
?
－4x＋2y＋20＝0

?
x＝4，
?
得
?
?
?
y＝－2.


∴已知圆恒过定点(4，－2)．
(2)圆的方程可化为(x－2a)
2
＋(y＋a)
2
＝5(a－2)
2
.
①当两圆外切时，d＝r
1
＋r
2
，
即2＋5?a－2?
2
＝5a
2
，
解得a＝1＋
55
或a＝1－(舍去)；
55
②当两圆内切时，d＝|r
1
－r
2
|，
即|5?a－2?
2
－2|＝5a
2
，
解得a＝1－
55
或a＝1＋(舍去)．
55
5
综上所述，a＝1±.
5
22．(本小题满分12分)(2 017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x
2
＋mx－2与x
轴交于A， B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x
1,
0)，B (x
2,
0)，则x
1
，x
2
满足x
2
＋ mx－2＝0，
所以x
1
x
2
＝－2.
又C的坐标为(0,1)，
－1－1
1
故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，
x
1
x
2
2
所以不能出现AC⊥BC的情况．
x
2
1
?
(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为
?
?2
，
2
?
，

x
2
1
x－
?
. 可得BC的中垂线方程为y－＝x
2
?
?
2
?
2
由(1)可得x
1
＋x< br>2
＝－m，
m
所以AB的中垂线方程为x＝－.
2
?x
联立
?
1
x－
?
，y－＝x
?
?< br>2
?
2
?
x＋mx－2＝0，
2
2
2
22
m
x＝－，
2

?
x＝－
2
，可得
?
1
y＝－
?
2
.
m


m
2
＋9
m
1
??
所以过A，B，C三点的圆的圆 心坐标为
?
－
2
，－
2
?
，半径r＝.
2
故圆在y轴上截得的弦长为2
弦长为定值．

m
?2
r
2
－
?
?
2
?
＝3，即过A，B ，C三点的圆在y轴上截得的