高中数学圆与方程知识点

高中数学圆与方程知识点分析
1. 圆的方程：（1）标准方程：
(x?a)
（2）圆的一般方程：
x
圆心（-
2
2
?(y?b)
2
?r
2
（圆心为A(a,b),半径为r） ?y
2
?Dx?Ey?F?0
（
D
2
?E
2< br>?4F?0
）
DE1
D
2
?E
2
?4F
，-）半径
22
2
2. 点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离
d
与
r
在大小关系判断
3. 直线与圆的位置关系判断方法
（1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。 d=r 为相切，d>r为相交， d适用于已知直线和圆的方程判断二者关系，也适用于其中有参数，对参数谈论的问题。利 用
这种方法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长，以及当直线与圆相离时，圆上的
点 到直线的最远、最近距离等。
（2）代数法：由直线与圆的方程联立得到关于x或y的一元二次方程, 然后由判别式△来判断。△=0为相
切，△>0为相交，△<0为相离。利用这种方法，可以很简单的求 出直线与圆有交点时的交
点坐标。
4．圆与圆的位置关系判断方法
（1）几何法：两圆的连心线长为
l
，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
1）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
相离；2）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
外切；
3）当
|r
1
?r
2
|?l?r
1
?r
2
时，圆C
1
与圆
C
2
相交；4）当
l?|r
1
?r
2
|
时，圆
C
1
与圆
C
2
内切；
5）当
l?|r
1
?r
2
|
时，圆
C
1
与圆
C
2
内含；
（2）代数法：由两圆的方程联立得到关于x或y的一元二次方程, 然后由判别式△来判断。△=0为外切或内切，△>0为相交，△<0为相离或内含。若两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线
方程。
5. 直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系
题型一 求圆的方程
例1.求过点A( 2,0)，圆心在(3, 2)圆的方程。

变式 1
求过三点
A（0，0），B（1，1），C（4，2）
的圆的方程，并求这个圆的半 径长和圆心坐标。
22
解：设所求的圆的方程为：
x?y?Dx?Ey?F?0
（也可设圆的标准方程求）
∵
A(0,0),B(11，）,C(4,2)
?
在圆上，所以它们的坐标是方程的解 .把它们的坐标代入上面的方程，可以
得到关于
D,E,F
的三元一次方程组. ?
F?0
?
?
D?E?F?2?0
?
4D?2E?F? 20?0
即
?

解此方程组，可得：
D??8,E?6,F?0

王新敞
22
x?y?8x?6y?0
∴所求圆的方程为：
王新敞

r?
1
2
D
2
?E
2
?4F?5
；
?
DF
?4,???3
22

王新敞
得圆心坐标为（4，-3）.

变式2（01年全国卷.文）过点A (1,-1)、B (-1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（ C ）
22
A.(x?3)
2
?(y?1)
2
?4

B.(x?3)?(y?1)?4

C.(x?1)
2
?(y?1)
2
?4

D.(x?1)
2
?(y?1)
2
?4

变式3.求圆心在直线
2x?y?7?0
上的圆C与y轴交于两点A(0,-4), B(0,-2)圆的方程。
解：圆心在线段AB的垂直平分线y =-3上，代入直线2x-y-7=0 得x=2

变式4．求与x轴相切，圆心在直线3 x-y=0上，且被直线y=x截得的弦长等于
27
的圆的方程.

变式5
．
求圆
x
2
?y
2
?4x?12y?39?0关于直线3x-4y+5=0 的对称圆方程.



题型二 求轨迹方程与切线方程
例1.一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是
1的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程
2

变式1.已知点P（10，0），Q 为圆
x
2
?y
2
?16
上一点动点，当Q在圆上运动时，求 PQ的中点M的轨迹
方程。
解：设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x
0
,y
0
). < br>因为M是PQ的中点,所以
?
x?
?
10?x
0
,< br>?
(*)
??
x
0
?2x?10.
2
即
??
?
?
y?
0 ?y
0
,
?
y
0
?2y.
?
2
?
又因为Q(x
0
,y
0
)在圆x
2
+y
2
=16上,所以x
0
2
+y
0
2
=16.将(*) 代入得
(2x-10)
2
+(2y)
2
=16.
故所求的轨迹方程为(x-5)
2
+y
2
=4.

变式2.由动点P向
x
2
?y
2
?1
引两 条切线PA、PB,切点分别为A、B,
?APB?60
o
,求动点P的轨迹方程.
解：设P(x,y)
因为
?APB?60
o
,所以
?OPA?30
o

又因为
OA?AP
，所以
OP?2OA?2
，即
x
2
?y
2
?2
化简得
x
2
?y
2
?4

故所求的轨迹方程为
x
2
?y
2
?4

例2.
已知圆的方程是x
2
+y
2
=r
2
,求经过圆上一点M(x
0
,y
0
)的切线方程.
解:
设P(x,y)为所求切线上的任意一点,当点M不在坐标轴上时,由OM⊥MP得
k
OM·k
MP
=-1
,即
y
0
·
y
0?y
=-1,整理得
x
0
x+y
0
y=r
2< br>.可以验证,当点M在坐标轴上时,P与M重合,同样适合上式,故所求
x
0
? x
x
0
的切线方程是x
0
x+y
0
y=r.

2
变式：
从点P(4,5)向圆(x－2)
2
＋y
2< br>=4引切线,求切线方程.
解:
把点P(4,5)代入(x－2)
2
＋y
2
=4,得(4－2)
2
＋5
2
=29＞4,所以点P 在圆(x－2)
2
＋y
2
=4外.设切线斜率为k,
则切线方程为y －5=k(x－4),即kx－y＋5－4k=0.又圆心坐标为(2,0),r=2.因为圆心到切线的距离等 于半
径,即
|2k?0?5?4k|
k
2
?1
=2,k=< br>21
.
20
所以切线方程为21x－20y＋16=0.当直线的斜率不存在 时还有一条切线是x=4.
题型三 直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系
例1.(20 06江苏高考)圆(x-1)
2
+(y+
3
)
2
=1的切线 方程中有一个是( C )
A.x-y=0 B.x+y=0 C.x=0 D.y=0
变式
:(2006上海高考)已知圆 x
2
-4x-4+y
2
=0的圆心是点P,则点P到直线x-y-1=0的距 离是
___________.答案：
变式
2
：
2

2


例2.判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程.
(1)(x+2)< br>2
+(y-2)
2
=1与(x-2)
2
+(y-5)
2
=16,
(2)x
2
+y
2
+6x-7=0与x
2
+y
2
+6y-27=0.
解:(1)根据题意,得两圆的半径分别为 r
1
=1和r
2
=4,两圆的圆心距
d=
[2?(?2)< br>2
?(5?2)
2
=5.
因为d=r
1
+r
2
,所以两圆外切.
(2)将两圆的方 程化为标准方程,得(x+3)
2
+y
2
=16,x
2
+( y+3)
2
=36.
故两圆的半径分别为r
1
=4和r
2
=6,
两圆的圆心距 d=
(0?3)
2
?(3?0)
2
?32
.
因为 |r
1
-r
2
|＜d＜r
1
+r
2
,所以 两圆相交.

变式1 已知圆C
1
:x
2
+y2
+2x-6y+1=0,圆C
2
:x
2
+y
2
-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方
程及公共弦长.
解:设两圆交点为 A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
), 则A、B两点坐标满足方程组
22
?
?
x?y?2x?6y?1?0,?
22
?
?
x?y?4x?2y?11?0.
(1)
( 2)

①-②,得3x-4y+6=0.
因为A、B两点坐标都满足此方程,所以3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程.
易知圆C
1
的圆心(-1,3),半径r=3.
又点C
1
到直线的距离为d=
|?1?3?4?3?6|
9
=.
22
53?(?4)
55
所以AB=2
r
2
?d
2
? 23
2
?(
9
)
2
?
24
,即两圆的公共 弦长为
24
.
5
题型四 求关于弦长问题
例4.已知直线l:y =2x－2,圆C:x
2
＋y
2
＋2x＋4y＋1=0,请判断直线l与圆C 的位置关系,若相交,
则求直线l被圆C所截的线段长.
解法一：由方程组
?
y?2x?2,
x?,
解得
?
?
x??1,

?
5
?
22
或
??
?
x?y?2x?4x?1?0.
4
?
y??4,
?
?
?
y??
5
?
3
即直线l与圆C的交点坐标为(
348
,－)和(－1,－4),则截得 线段长为
5
.
555
112
,-),
55
解法二：由方程组(略)消去y,得5x
2
＋2x－3=0,
设直线与圆交点为A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则AB中点为(-
2
?
64
x
1
?y1
??,
2
=
?
所以
?
得(x-x), 12
5
?
25
?
x?x??
3
,
12
?
5
?
则所截线段长为|AB|=(1+k
2
)(x
1
-x
2
)
2
=
8
5
5
. < br>解法三：圆心C为(－1,－2),半径r=2,设交点为A、B,圆心C到直线l之距d=
2< br>5
5
,所以
|AB|48
?r
2
?d
2?5
.则所截线段长为|AB|=
5
.
255
变式1：

已知过点M(-3,-3)的直线l被圆x
2+y
2
+4y-21=0所截得的弦长为
45
,求直线l的方程. 解：将圆的方程写成标准形式有x
2
+(y+2)
2
=25,所以圆心为 (0,-2),半径为5.因为直线l被圆
22
x
2
+y
2
+4y-21=0所截得的弦长为4
5
,所以弦心距为
5?(25)
=
5
,圆心到直线的距离
为
5
,由于直线过点M(-3,-3),所以可设直 线l的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.
根据点到直线的距离公式,圆心到 直线的距离为
5
,因此d=
|2?3k?3|
k?1
2
=< br>5
,两边平方整理得

2k
2
-3k-2=0,解得k=
变式2：
11
,k=2.所以所求的直线l的方程为y+3=(x+3)或y+3= 2(x+3),即x+2y+9=0或2x-y+3=0.
22
题型五.求距离最大最小值
例1.已知点P(x,y)是圆
(x?3)?(y?4)?9
上的任一点，求x
2
＋y
2
最小值与最大值。
解：依题意，圆心为（1，2），半径r=3.
22

设圆心（1， 2）到原点距离为d=
3
2
?4
2
?5
, x
2
＋y
2
最小值为(d-r)
2
=

4, 最大值为(d+r)
2
=64
变式1：求圆x
2
+ y
2
+4x-2y+4=0上的点到直线y=x-1的最近距离和最远距离.
解:圆方程化为(x+2)
2
+(y-1)
2
=1,
圆心 (-2,1)到直线y=x-1的距离为d=
|?2?1?1|
1?(?1)
22=2
2
,
所以所求的最近距离为2
2
-1,最远距离为2
2
+1.