高中数学-圆的方程知识点

圆与方程知识点
、标准方程
x a 2 y b 2 r
2

i. 求标准方程的方法一一关键是求出圆心
a
, b
和半径
r
2.
理解） 条件
特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能
方程形式 圆心在原点
过原点
圆心在
x
轴上
圆心在
y
轴上
圆心在
x
轴上且过原点
圆心在
y
轴上且过原点
x
2

x
a
x
a
2
b
2

y b
y b
2
与
x
轴相切
b
2

b 0
a a 0
2
2
与
y
轴相切
2 2
与两坐标轴都相切

x
a y b a a b 0
2 2
二、一般方程
22
x


y

Dx Ey F
2 2
0 D
2

E
2

4F 0
0
表示圆方程则
1.
Ax By Cxy Dx Ey F
A B 0
C
0


A B 0
C
0
F D
2
E
2
4AF 0

D
DEF
AAA
2 2
E
4 0
2.求圆的一般方程一般可采用待定系数
3.
D
2
E
2
4F
三、点与圆的位置关系
1. 判断方法：点到圆心的距离
d
与半径
r
的大小关系
0
常可用来求有关参数的范围
d r
点在圆内；
d r
点在圆上；
d r
点在圆外
2. 涉及最值：
1

（1）圆外一点
B
，圆上一动点
P
，讨论


















PB
的最值
PB
.
PB
BN
BM
BC
BC
min
max
的最值
PA
min
AN
AM
r
AC

PA
max
AC
A

思考：过此
A
点作最短的弦？（此弦垂直
四、直线与圆的位置关系

AC
)

i.判断方
（
d
为圆心到直线的距
法

离）

（1）相
离
没有公共点
（2）相
只有一个公共点

切
（

3）相交
有两个公共点
这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围
2. 直线与圆相切
（1）知识要点
①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线
长等 问题：直线
I
与圆
C
相切意味着什么？ 圆心
C
到直线
I
的距离恰好等于半径
r
（2）常见题型一一求过定点的切线方程
① 切线条数：点在圆外一一两条；点在圆上一一一
条;
② 求切线方程的方法及注意点 i）点在圆外

点在圆内一一无
ii ）点在圆上
1
）
若点
X
）
2
在圆
x
, y
。
y
2
r
2
上，则切线方程为
2
X
o
X y
o
y r
2
如定点
p
X
D
, y
0

，圆：
x
第一步：设切线
|
方程
y y
。
特别注意：以上解题步骤仅对
k
存在有效,
如：过点
P 1,1
作圆
x
2


r
，
[
X
o
X
o
第二步:
通过
d
y
o
k
，从而得到切线方程
k
不存在时，应补上
0
的切线,
求切线方程.答案：
3x 4y 1 0
和
x 1
4x
6y 12
2
会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目


2） 若点
x
。，
y
0
在圆
x a
2
r
上，则切线方程为
2

x
0

a x a y
0
byb r
2

碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果 .
由上 述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是一一判断点与圆的位置关系，得出切线的 条数
2
③求切线长：利用基本图形，

AP

22
CP r
AP



Jcpf r
2

AC r
求切点坐标：利用两个关系列出两个方程



3. 直线与圆相交
（1） 求弦长及弦长的应用问题
垂径定理及勾股定理一一常用
弦长公式：
|
浙~
k
2
|x-
i
x
?
J 1 k
2

k
AC
k
AP
1
x-
i
x
2

2

4
X
J
X
2
（暂作了解，无需掌握）
（2） 判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.
（3） 关于点的个数问题
2 2
2

0
的距离为1，则半径
r
的取值范围是 例：若圆
X 3 y 5 r
上有且仅有两个点到直线
4x 3y 2
__________________ . 答案：
4,6
4. 直线与圆相离
五、对称问题（举例）
2 2 2
1.若圆
X
y m 1
X
2my m 0
，关于直线
X
y 1 0
，则实数
m
的值为 .
1
时，
D E 4F
y

答
3（注意：
m
案:
22
0
，故舍去）

变
2
已知点
A
是圆
C
：
x
式:
2

ax 4y
5 0
上任意一点，
A
点关于直线
X



2y 1 0
的对称点在圆
C
上，则实数
a

2.圆
X
1

,2
y 3
小
2
1
关于直线
X
y
0
对称的曲线方程是

2 2 2 2
变式
:已知圆
C
:
X
4
1


y 2

1
与圆
C
2

:
X
2 y 4 1
关于直线
l
对称，则直线
l
的方程为
2 2
3.圆
X
3 y 1
六、最值问题
1
关于点
2,3
对称的曲线方程是 ______________________ .
方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程
1.已知实数
X
，
y
满足方程
X
2
y
2
4
X
1 0
，求：
（1） —^ 的最大值和最小值；一一看作斜率
X
5
（2）
y
X
的最小值；一一截距（线性规划）
（3）
X
2
y
2
的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
3

2.已知
AOB
中，
OB 3
，
OA 4
，
AB 5
，点
P
是
AOB
内切圆上一点，求以
PA
，
PB
，
PO

为直径的三
个圆面积之和的最大值和最小值.数形结合和参数方程两种方法均可!
2 2
3?设
P x, y
为圆
x
2

y 1 1
上的任一点，欲使不等式
y c 0
恒成立，贝
U c
的取值范围是
..答案:
2 1
（数形结合和参数方程两种方法均可!
七、
圆的参数方程
r cos


为参数
r sin
r cos
rsin
为参数
圆与圆的位置关系
八、
i.判断方法:
几何法（
(1)
d
为圆心距）
外离
r
i
r
2
r
i
相交
外切
(3)
r
i
r
i
r
i

r
2

内含
r
i
内切
(5)

2.两圆公共弦所在直线方程
圆
C
1

:
x
2

0
，圆
C
2
:
x
2

y D
2
x
2
E
2
y F
2
0
，
则
D
1

D
2


x
E
i
E
2
y
F
i
0
为两相交圆公共弦方程.
补充说明:
若

C
1
与
C
2
相切，则表示其中一条公切线方程；若
3. 圆系问题
（1）过两圆
C
1


22
x

y

D
1
x E
1
y F
,

C
1
与
c
2
相离，则表示连心线的中垂线方程
D
1
x E-
i
y F-
i
0
和
C
2

2 2
2 2
x y D
2
x E
2
y F
2
0
交点的圆系方程为
x y D
2
x E
2
y F
2

0
(
说明：1） 上述圆系不包括
C
2

； 2）当

(2 ) 过直线
Ax By C

1
时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
2 2
0
与圆
x y Dx Ey F
0
交点的圆系方程为
x
2

y
2

Dx Ey F

Ax By C 0
（3）两圆公切线的条数问题
①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相 交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线
九、轨迹方程
（1） 定义法（圆的定义）：略
（2） 直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系， 建立起动点坐标的关系式一一轨迹方程
4

22
例：过圆
x
y 1
外一点
A 2,0
作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹 方程.


2 2 2

分析：
OP AP OA


（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动






动点 主动点

特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动


2
2
例1.如图，已知定点
A 2,0
，点
Q
是圆
x

y
2
1
上的动点，


的轨迹方程.

AQ
于
M
，当
Q
点在圆上移动时，求动点
M

分析：角平分线定理和定比分点公式.



2 2
AOQ
的平分线交
例2.已知圆
0
:
x y 9
，点
A 3,0
，
求
ABC
的重心
G
的轨迹方程.
B
、
C
是圆
0
上的两个动点，
A
、
C
呈逆时针方向排列，且
BAC
3
BC
为定长且等于却
3
X
A

X
B

X
C

x
3
y
Q OE

CE
X
B

X
C

2
2
3 X
B
X
C
设
G x, y
，则
取
BC
的中点为
3
「
3
X
E

，
y
E
y
B
3
y
c
2 2
E
0C|
2
，
X
E

y
L
（ 1）
2
X
E

X
E

X
B

X
C

2
X
E

y
B
y
c
2y
E
3
X
E
y
E
3x
也
3
2
3x
2
3 -y
2
故由（1）得:

y
2
°,f ,
y

法2：（参数法）

设
B 3cos




C 3cos




设
G x, y
,3sin
2
，由

V


BOC 2 BAC
——，则
3
2
3


,3sin

，则
xs
?
0

1



5

3 3cos 3cos
x X
A
X
B

X
C

cos cos



3sin 3sin

y
A
y
B
y
c

sin sin
y
3—



4
2
3,T
，由
1


2
得：
x


参数法的本质是将动点坐标
x, y
中的
x
和
y
都用第三个变量（即参数）表示，通过消参



出
x
，
y
的范围.


（4）求轨迹方程常用到得知
识




①重心
G x, y
，





BD
③内角平分线定理:

CD




AM


④定比分点公式：
⑤韦达定理.

得到动点轨迹方程，通过参数的范围得
3
y
A
y
B
y
c
3
AB

AC

②中点
P x, y
y
% y
2
2
MB
，则
x
M

6