高中数学高考专题之 圆与方程

专题38 圆与方程
【高考地位】
圆的方程是高考中的热点问 题之一，解决这类问题主要以方程思想和数形结合的方法来处理，求圆的
方程或找圆心坐标和半径的常用 方法是待定系数法及配方法，还应注意恰当运用平面几何知识对其进行求
解，在高考中通常是以易题出现 ，主要以选择题、填空题形式考查，其试题难度属中档题.
【方法点评】
类型一 求圆的方程
使用情景：确定一个圆的方程
解题模板：第一步 根据已知条件恰当设出圆的方程的形式；
第二步 结合题意列出方程求出圆的方程对应的参数；
第三步 得出结论.
例1 以
( a,1)
为圆心，且与两条直线
2x?y?4?0
与
2x?y?6?0
同时相切的圆的标准方程为（ ）
22
A．
(x?1)?(y?1)?5
B．
(x?1)?(y?1)?5

22
[来源:学科网]

C．
(x?1)?y?5
D．
x?(y?1)?5

【变式演练1】已知圆心
?
2,?3?
，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）
A．
x?y?4x?6y?8?0
B．
x?y?4x?6y?8?0

C．
x?y?4x?6y?0
D．
x?y?4x?6y?0

【变式演练2】与圆
x?y?4x?6y?3 ?0
同圆心，且过
?
1,?1
?
的圆的方程是（ ）
22
2222
2222
2222
A．
x?y?4x?6y?8?0< br> B．
x?y?4x?6y?8?0

C．
x?y?4x?6y?8?0
D．
x?y?4x?6y?8?0

【变式演练3】已知圆
C
与直线
x?y?0
及
x?y?4?0
都相切，圆心在直线
x?y?0
上，则圆
C
的方程
为
A．
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?2
B．
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?2

C．
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?2
D．
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?2


2222
2222
2222
2222

类型二 与圆有关的最值问题
使用情景：求与圆有关的最值问题
解题模板：第一步 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义进行分析 ；
第二步 运用数学结合及转化的数学思想进行求解；
第三步 得出结论.
例2 已知实数x、y满足方程x
2
＋y
2
－4x＋1＝0. 求：(1)
(2)
y?x
的最小值；(3）
x?y
的最大值和最小值.
【变式演练4 】已知圆
C
1
：
(x?1)?(y?1)?1
，圆
C
2
：
(x?4)?(y?5)?9
，点
M
、
N
分 别是圆
C
1
、
圆
C
2
上的动点，
P
为
x
轴上的动点，则
|PN|?|PM|
的最大值是（ ）
A．
25?4
B．9 C．7 D．
25?2

【变式演练5】已知圆
C:x?3
2222
22
y
的最大值和最小值；
x
??
2
?
?
y?1
?
?1
和两点
A
?
?t,0
?
, B
?
t,0
??
t?0
?
，若圆
C
上存在 点
P
，使
2
得
?APB?90
0
，则
t< br>的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
22
(x?a)?(y?a) ?4
上有且仅有两个点到原点的距离为2，那么实数
a
的取值范围【变式演练6】如果 圆
为( )
[来源:]

A.
(?22,0)
B.
(0,22)

C.
(?22,0)?(0,22)
D.
(?22,?1)?(1,22)

类型三 与圆有关的轨迹问题
使用情景：与圆有关的轨迹问题
解题模板：第一步 结合题意恰当的选择求圆有关的轨迹问题的方法如直接法、定义法、几何法和代入法
等；
第二步 得出结论.
例3 点
P(4,?2)
与圆
x?y?4
上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ）
A．
(x?2)?(y?1)?1

B．
(x?2)?(y?1)?4

22
22
22

C．
(x?4)?(y?2)?4

D．
(x?2)?(y?1)?1

22
22
0
?
的连线的斜率之积为
?1
，则点
P
的轨迹方程是（ ） 【变式 演练7动点
P
与定点
A
?
?1，0
?
，B
?
1，
A．
x
2
?y
2
?1

B ．
x
2
?y
2
?1
?
x?0
?

C．
x
2
?y
2
?1
?
x??1
?

D．
y?1?x
2

【变式演练8】点
P?
4,?2
?
与圆
x?y?4
上任一点连结的线段的中点的轨迹 方程（ ）
22
A．
?
x?2
?
?
?y?1
?
?1
B．
?
x?2
?
?< br>?
y?1
?
?4

C．
?
x?4
?
?
?
y?2
?
?4
D．
?x?2
?
?
?
y?1
?
?1
【高考再现】
1. 【2017天津，文12】设抛物线
y
2
?4x
的焦点为F， 准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴
的正半轴相切于点A.若
?FAC?120 ?
，则圆的方程为 .
2.【2016高考山东文数】已知圆M：
x
2+y
2
-2ay=0(a>0)
截直线
x+y=0
所得线段的长 度是
22
，则圆
2
（x-1）+(y-1)
2
=1
的位置关系是（ ） M与圆N：
2222
2222
[来源学_科_网Z_X_X_K]

（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离
3.【2016高考北京文数】圆
(x ?1)?y?2
的圆心到直线
y?x?3
的距离为（ ）
A.1 B.2 C.
2
D.2
2

4. [2016高考新课标Ⅲ文数]已知直线
l
：
x?3y?6?0
与圆
x?y?12
交于
A,B
两点，过
A,B
分别
作
l
的垂线与
x
轴交于
C,D
两点，则
|CD|?
_ ____________.
5. 【2016高考浙江文数】已知
a?R
，方程< br>ax?(a?2)y?4x?8y?5a?0
表示圆，则圆心坐标是
_____，半径是 ______.
6. 【2016高考天津文数】已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点
M( 0,5)
在圆C上，且圆心到直线
2x?y?0

222
22
22

的距离为
45
，则圆C的方程为__________.
5
,则圆C7. 【2016高考新课标1文数】设直线y=x+2a与圆C：x
2< br>+y
2
-2ay-2=0相交于A,B两点,若
的面积为 .
【反馈练习】
1．【2018重庆市第一中学模拟】若圆
x?y?2x?6y? 6?0
有且仅有三个点到直线
x?ay?1?0
的距离
为1，则实数
a
的值为（ ）
A.
?1
B.
?
22
23
C.
?2
D.
?

42
22
2．【2018重庆第一中学模拟】直线
mx ?y?2?0
与圆
x?y?9
的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
3. 【2018河北衡水第一中学模拟】圆
C
1
:
?
x?1
?
?
?
y?2< br>?
?4
与圆
C
2
:
?
x?3
??
?
y?2
?
?4
的公切线
的条数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4．【2018四川（大教育 联盟）】若无论实数
a
取何值时，直线
ax?y?a?1?0
与圆
x ?y?2x?2y?b?0
都相交，则实数
b
的取值范围为（ ）
A.
?
??，2
?
B.
?
2，??
?
C.
?
??，?6
?
D.
?
?6，??
?

5．【2018吉林舒兰第一高级中模拟】直线< br>3x?y?m?0
与圆
x?y?2x?2?0
相切，则实数
m
等于
( )
A.
22
22
2222
3
或
?3
B.
?3
或
33
C.
?33
或
33
D.
?33
或
3

22
6．【2018海南海口市第一中 学模拟】设直线
y?x?2a
与圆
C：x?y?2ay?2?0
相交于A、B 两点，
若
AB?23
,则圆
C
的面积为（ ）
A.
4
?
B.
2
?
C.
9
?
D.
22
?

7．【2018重庆 市第一中学模拟2】在平面直角坐标系
xOy
中，点
A
?
0,3?
，直线
l
：
y?2x?4
与直线
m
：
y?x?1
的交点为圆
C
的圆心，设圆
C
的半径为1．
（1）过点
A
作圆
C
的切线，求切线的方程；

（2）过点
A
作斜率为
?
1
的直 线
l
交圆于
A
，
B
两点，求弦
AB
的长．
2
8．【2018黑龙江佳木斯 市第一中学模拟】圆
C
经过
A
?
?2,4
?
、B
?
3,?1
?
两点，但圆
C
不过原点，且它在
x
轴上截得的弦长等于6，求圆的方程．
9．已知圆
C
过两点
M
?
?3,3
?
，
N
?
1,?5
?
，且圆心
C
在直线
2x? y?2?0
上．
（Ⅰ）求圆
C
的标准方程；
[来源:]

（Ⅱ）直线
l
过点
?
?2,5
?
且与圆
C
有两个不同的交点
A
，
B
，若直线
l
的斜率k
大于0，求
k
的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在直线
l
使得弦
AB
的垂直平分线过点
P
?
3,?1?
，若存在，求出直线
l
的
方程；若不存在，请说明理由．
1 0．【2018陕西黄陵中学模拟】已知圆x
2
＋y
2
－4ax＋2ay＋2 0a－20＝0.
(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；
(2)若该圆与圆x
2
＋y
2
＝4相切，求a的值．
11 .已知点
P
在圆
x?y?8x?4y?11?0
上，点
Q
在 圆
x?y?4x?2y?1?0
上，则
PQ
的最小值
是______ ____．
12. 已知圆
O:x?y?r(r?0)
与直线
3x?4y?15?0
相切. （1）若直线
l
2
y??2x?5
与圆
O
交于
M,N
两点，求
MN
；
（2）设圆
O
与
x
轴的负半轴的交点为
A
，过点
A
作两条斜率分别为
k
1< br>,k
2
的直线交圆
O
于
B,C
两点，且
22 2
2222
k
1
,k
2
?-3
，试证明直线
BC
恒过一定点，并求出该定点的坐标.
[来源:Z&xx&]

13. 【2018吉林舒兰市第一高级中学模拟2】已知圆心为
C
的圆经过
A
?2,4
?
、
B
?
3,5
?
两点，且圆心
C
在
直线
2x?y?2?0
上．
（1）求圆心为
C
的圆的方程；
（2）若直线
y?kx?3
与圆总有公共点，求实数
k
的取值范围．