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高中数学 圆的标准方程教案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 06:07
tags:高中数学圆

高中数学的学科认识-推荐高中数学资料书

2020年9月21日发(作者:方畅熙)


第四章 圆与方程

4.1.1 圆的标准方程

三维目标:
知识与技能:1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法:进一步培养学生能用解析法研究几何问题 的能力,渗透数形结合思想,通过圆的标准方
程解决实际问题的学习,注意培养学生观察问题、发现问题 和解决问题的能力。
情感态度与价值观:通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
教学重点
:圆的标准方程
教学难点
:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程。
教学过程:
1、情境设置

在直角坐标系中,确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的 基本图形,确定它的要素又
是什么呢?什么叫圆?在平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一个二元一 次方程来表示,那么,
原是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什么特征呢?
探索研究:
2、探索研究:
确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为A (a,b),半径为r。(其中a、b、r都是常数,
r>0)设M(x,y)为这个圆上任意一点,那 么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},
由两点间的距离公式让学生写出 点M适合的条件
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r

化简可得:
(x?a)?(y?b)?r


引导 学生自己证明
(x?a)?(y?b)?r
为圆的
222
-5
64
222
A
2
M
5
-2
-4
方程,得 出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究
例(1):写出圆心为
A(2,?3)
半径长等于 5的圆的方程,并判断点
M
1
(5,?7),M
2
(?5,?1)< br>是否在这
第 1 页 共 16 页


个圆上。
分析探求:可以从计算点到圆心的距离入手。
探究:点
M(x
0
, y
0
)
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的关系的判断方法:
(1)
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
>
r
,点在圆外
( 2)
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2< br>=
r
,点在圆上
(3)
(x
0
?a)
2< br>?(y
0
?b)
2
<
r
,点在圆内
例(2):
?ABC
的三个顶点的坐标是
A(5,1),B(7,?3), C(2,?8),
求它的外接圆的方程
师生共同分析:从圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
可知,要确定圆的标准方程, 可用
2
2
2
待定系数法确定
a、b、r
三个参数.(学生自 己运算解决)
例(3):已知圆心为
C
的圆
l:x?y?1?0
经 过点
A(1,1)

B(2,?2)
,且圆心在
l:x?y?1?0
上,求圆心

C
的圆的标准方程.
师生共同分析: 如图确定一个 圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为
C
的圆经过点
A(1,1)

B(2,?2)
,由于圆心
C
与A,B两点的距离相等,所以圆心
C
在险段AB的垂直平分线m上,又圆心
C
在直线
l
上,因此圆心
C
是直线
l
与直线m的交点,半径长
4
等于
CA
或< br>CB

-5
l
2
A
(教师板书解题过程。)


总结归纳:(教师启发,学生自己比较、归纳)比较例(2)、
例(3) 可得出
?ABC
外接圆的标准方程的两种求法:
①、根据题设条件,列出关于
a、b、r
的方程组,解方程组得到
a、b、r
得值,写出圆的标准方程.
根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆的标准方程.
m
5
-2
C
B
-4
-6
提炼小结

1、 圆的标准方程。
2、 点与圆的位置关系的判断方法。
3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。
作业
:课本
p
130
习题4.1第2、3、4题
教学反思:

第 2 页 共 16 页


4.1.2圆的一般方程

三维目标:

知识与技能
: (1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数
特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径.掌握方程x+y+Dx+Ey
+F=0表示圆的条件.
22
(2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的 标准方程.
能用待
定系数法求圆的方程。

(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
过程与方法:通过对
方程x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0表示圆的条件的探究
,培养学生探索 发现及分析解
决问题的实际能力


情感态度价值观:渗透数形结合、化归与 转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,
勇于探索。

教学重点:
圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件
确定方程中的系数,D 、E、F.
教学难点

对圆的一般方程的认识、掌握和运用

王新敞
教 具:多媒体、实物投影仪

王新敞
教学过程:
课题引入

问题:求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程。
利用圆的标准方程 解决此问题显然有些麻烦,得用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问
题有没有其它的解决方 法呢?带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方
程。
探索研究:
请同学们写出圆的标准方程:
(x-a)+(y-b)=r,圆心(a,b),半径r.
把圆的标准方程展开,并整理:
第 3 页 共 16 页
222

< p>
x
2
+y
2
-2ax-2by+a
2
+b2
-r
2
=0.

D??2a,E??2b,F?a
2
?b
2
?r
2

x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0


这个方程是圆的方程.
反过来给出一个形如x
2
+y
2
+ Dx+Ey+F=0的方程,它表示的曲线一定是圆吗?
把x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0
配方得
D< br>2
E
2
D
2
?E
2
?4F
(x?) ?(y?)?

(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示
224
圆?
22
(1)当 D+E-4F>0时,方程②表示
(1)当
D
2
?E
2
?4 F?0
时,表示以(-
E
D
,-)为
2
2
圆心,< br>1
D
2
?E
2
?4F
为半径的圆;
222
(2)当
D?E?4F?0
时,方程只有实数解
x??
DE
D

y??
,即只表示一个点(-,
2
22
-E
);
2
(3)当
D?E?4F?0
时,方程没有实数解,因 而它不表示任何图形

22
王新敞
综上所述,方程
x?y?Dx?E y?F?0
表示的曲线不一定是圆
22
王新敞
22
只有当
D?E?4F?0
时,它表示的曲线才是圆,我们把形如
x?y?Dx?Ey?F?0
的表示
2
圆的方程称为圆的一般方程
?
x?1
?
?y?4

22
2
王新敞
我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳)
(1)①x和y的系数相同,不等于0.
②没有xy这样的二次项.
第 4 页 共 16 页
22


(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的
方程就确定了.
(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆
的标准方程 则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。
知识应用与解题研究:
例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径。
?
1
?
4x
2
?4y
2
?4x?12y?9?0

22
?
2
?
4x?4y?4x?12y?11?0
学生自己 分析探求解决途径:①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程
的判断方法求解。 但是,要注意对于
?
1
?
4x
2
?4y
2
?4x?12y?9?0
来说,这里的
9
D??1,E?3,F?而不是D=-4,E=12,F=9
.
4
例2:求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。
分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而条件恰给< br>出三点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程
王新敞
解:设所求的圆的方程为:
x?y?Dx?Ey?F?0


A(0,0),B(11,),C(4,2)
在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐 标代入上面的方程,
可以得到关于
D,E,F
的三元一次方程组,
22
?
F?0
?

?
D?E?F?2?0

?
4D?2E?F?20?0
?
解此方程组,可得:
D??8,E? 6,F?0

王新敞
∴所求圆的方程为:
x?y?8x?6y?0

22
王新敞
r?
1
DF
D
2
?E
2
?4F?5

??4,???3

22
2
王新敞
得圆心坐标为(4,-3).
第 5 页 共 16 页


或将
x
2
?y
2
?8x?6y?0左边配方化为圆的标准方程,
(x?4)
2
?(y?3)
2
?2 5
,从而求出圆
的半径
r?5
,圆心坐标为(4,-3)

学生讨论交流,归纳得出使用待定系数法的一般步骤:
①、根据提议,选择标准方程或一般方程;
②、根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组;
③、解出a、b、r或D、E、F,代入标准方程或一般方程。
王新敞
2
例 3、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆上
?
x?1
?
? y?4
运动,求线段AB
2
的中点M的轨迹方程。
2
分析:如图点 A运动引起点M运动,而点A在已知圆上运动,点A的坐标满足方程
?
x?1
?
?y?4

2
建立点M与点A坐标之间的关系,就可以建立点M的坐标满足的条件, 求出点M的轨迹方程。
解:设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是
3
?
且M是线段AB的重点,所以
?
x
0
,y
0
?
.由于点B的坐标是
?
4,
x?
x
0
?4y?3< br>,y?
0
,

22
于是有x
0
?2x?4,y
0
?2y?3
因为 点A在圆
?
x?1
?
?y
2
?4
上运动,所以点A 的坐标满足方程
?
x?1
?
?y
2
?4
,即
22
?
x
0
?1
?
?
x
0
?1
?

2
?y
0
2
?4

?y
0
?4

2
2
y
6
4
把①代入②,得
A
2
M
B
5
p
130

2
-5
O
-2
-4
x
?
2x?4?1
?
?
?
2y?3
?
?4,
22
2
3
??
3
??
整理,得
?
x-
?
?
?
y??
?1

2
??
2
??
?
33
?
所以,点M的轨迹是以
?

?
为圆心,半径长为1的圆

?
22
?

课堂练习:课堂练习
p
130
第1、2、3题
第 6 页 共 16 页


小结 :
1.对方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
的讨论(什么时候可以表示圆)

王新敞
2.与标准方程的互化

3.用待定系数法求圆的方程

4.求与圆有关的点的轨迹。
王新敞
王新敞
课后作业:
p
130
习题4.1第2、3、6题
教学反思:














一、教学目标
4.2.1 直线与圆的位置关系
第 7 页 共 16 页


1、知识与技能
(1)理解直线与圆的位置的种类;
(2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离;
(3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
2、过程与方法
设直线< br>l

ax?by?c?0
,圆
C

x
2?y
2
?Dx?Ey?F?0
,圆的半径为
r
,圆心
( ?
DE
,?)
2
到直线的距离为
d
,则判别直线与圆的位置 关系的依据有以下几点:
(1)当
d?r
时,直线
l
与圆
C
相离;
(2)当
d?r
时,直线
l
与圆
C
相切;
(3)当
d?r
时,直线
l
与圆
C
相交;
3、情态与价值观
让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的位置关系,培养学生数形结合的思想.
二、教学重点、难点:
重点:直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.
难点:用坐标法判直线与圆的位置关系.
三、教学设想
问 题 设计意图 师生活动
1.初中学过的平面几何中,启发学生由师:让学生之间进行讨论、交
直线与圆的位 置关系有几类? 图形获取判断直流,引导学生观察图形,导入新课.
线与圆的位置关生:看图,并说出自己的看法.
系的直观认知,引
入新课.
2.直线与圆的位置关系有哪得出直线与师:引导学生利用类比、归纳
几种呢? 圆的位置关系的的思想,总结直线与圆的位置关系

几何特征与种类. 的种类,进一步深化“数形结合”
的数学思想.
第 8 页 共 16 页
2


问 题

设计意图

师生活动
生:观察图形,利用类比的方
法,归纳直线与圆的位置关系.
3 .在初中,我们怎样判断直
线与圆的位置关系呢?如何用直
线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢?
4.你能说出判断直线与圆的
位置关系的两种方法吗?
使学生回忆师:引导学生回忆初中判断直
初中的数学知识,线与圆的位置关系的思想过程.
培养抽象概括能
力.
抽象判断直
线与圆的位置关
生:回忆直线与圆的位置关系
的判断过程.
师:引导学生从几何的角度说
明判断方法和通过直线与圆的方程
系的思路与方法. 说明判断方法.
生:利用图形,寻找两种方法
的数学思想.
5.你能两种判断直线与圆的
位置关系的数学思想解决例1的问
题吗?
体会判断直
线与圆的位置关
系的思想方法,关
注量与量之间的
关系.
6.通过学习教科书的例1,你
能总结一下判断直线与圆的位置
关系的步骤吗?
使学生熟悉
判断直线与圆的
位置关系的基本
步骤.
生:阅读例1.
师;分析例1,并展示解答过
程;启发学生概括判断直线与圆的
位置关系的基本步骤, 注意给学生
留有总结思考的时间.
生:交流自己总结的步骤.
师:展示解题步骤.
7.通过学习教科书上的例2,
你能说明例2中体现出来的数学思
进一步深化
“数形结合”的数
师:指导学生阅读并完成教科书上
的例2,启发学生利用“数形结合”
师:指导学生阅读教科书上的
例1.
生:新闻记者教科书上的例1,
并完成教科书第136页的练习题2.
第 9 页 共 16 页


想方法吗? 学思想. 的数学思想解决问题.
生:阅读教科书上的例2,并完成
第137页的练习题.
问 题
8.通过例2的学习,你发现
了什么?
设计意图
明确弦长的
运算方法.
师生活动
师:引导并启发学生探索直线
与圆的相交弦的求法.
生:通过分析、抽象、归纳,
得出相交弦长的运算方法.
9.完成教科书第136页的练
习题1、2、3、4.
巩固所学过
的知识,进一步理
解和掌握直线与
圆的位置关系.
师:引导学生完成练习题.
生:互相讨论、交流,完成练
习题.
10.课堂小结:
教师提出下列问题让学生思考:
(1)通过直线与圆的位置关系的判断,你学到了什么?
(2)判断直线与圆的位置关系有几种方法?它们的特点是什么?
(3)如何求出直线与圆的相交弦长?
作业:习题4.2A组:1、3.
教学反思:



4.2.2 圆与圆的位置关系
一、教学目标
1、知识与技能
第 10 页 共 16 页


(1)理解圆与圆的位置的种类;
(2)利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长;
(3)会用连心线长判断两圆的位置关系.
2、过程与方法
设两圆的连心线长为
l
,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1 )当
l?r
1
?r
2
时,圆
C
1
与圆C
2
相离;
(2)当
l?r
1
?r
2
时,圆
C
1
与圆
C
2
外切;
(3)当
|r
1
?r
2
|?l?r
1
?r
2
时,圆
C
1
与圆
C
2
相交;
(4)当
l?|r
1
?r
2
|
时,圆
C
1
与圆
C< br>2
内切;
(5)当
l?|r
1
?r
2
|< br>时,圆
C
1
与圆
C
2
内含;
3、情态与价值观
让学生通过观察图形,理解并掌握圆与圆的位置关系,培养学生数形结合的思想.
二、教学重点、难点:
重点与难点:用坐标法判断圆与圆的位置关系.
三、教学设想
问 题
1.初中学过的平面几何中,
圆与圆的位置关系有几类?
设计意图
结合学生已
有知识以验,启发
学生思考,激发学
生学习兴趣.
2.判断两圆的位置关系,你
有什么好的方法吗?

引导学生明
确两圆的位置关
系,并发现判断和
解决两圆的位置
教师 引导学生阅读教科书中的
相关内容,注意个别辅导,解答学
生疑难,并引导学生自己总结解题< br>的方法.
师生活动
教师引导学生回忆、举例,并
对学生活动进行评价;学生回顾知
识点时,可互相交流.
第 11 页 共 16 页


问 题

设计意图
关系的方法.
师生活动
学生观察图形并思考,发表自己的
解题方法.
3.例3
你能根据题目,在同一个直角
坐标系中画出两个方程所表示的
圆吗 ?你从中发现了什么?
4.根据你所画出的图形,可
以直观判断两个圆的位置关系.如
何把这些直观的事实转化为数学
语言呢?
培养学生“数教师应该关注并发现有多少学
形结合”的意识. 生利用“图形”求,对这些学生应
该给予表扬.同时强调,解析几何
是一门数与形结合的学科.
进一步培养
学生解决问题、分
析问题的能力.
利用判别式
来探求两圆的位
置关系.
师:启发学生利用图形的特征,
用代数的方法来解决几何问题.
生:观察图形,并通 过思考,
指出两圆的交点,可以转化为两个
圆的方程联立方程组后是否有实数
根,进而 利用判别式求解.
师:指导学生利用两个圆的圆
心坐标、半径长、连心线长的关系
来判别两个圆的位置.
生:互相探讨、交流,寻找解
决问题的方法,并能通过图形的直
观性,利用平面直角坐 标系的两点
间距离公式寻求解题的途径.
5.从上面你所画出的图形,
你能发现解决两个圆的位置的其
它方法吗?
进一步激发
学生探求新知的
精神,培养学生
6.如何判断两个圆的位置关
系呢?
从具体到一
般地总结判断两
个圆的位置关系
的一般方法.
师:对于两个圆的方程,我们
应当如何判断它们的位置关系呢?
引导学生讨论、交流 ,说出各
自的想法,并进行分析、评价,补
充完善判断两个圆的位置关系的方
法.
第 12 页 共 16 页


7.阅读例3的两种解法,解
决第137页的练习题.
巩固方法,并
培养学生解决问
题的能力.
师:指导学生完成练习题.
生:阅读教科书的例3,并完成第
137页的练习题.
师生活动
师:引导并启发学生相交弦所
在直线的方程的求法.
生:通过判断、分析,得出相
交弦所在直线的方程.
问 题
8.若将两个圆的方程相减,
你发现了什么?
设计意图
得出两个圆
的相交弦所在直
线的方程.
9.两个圆的位置关系是否可
以转化为一条直线与两个圆中的
一个圆的关系的判定呢?
10.课堂小结:
教师提出下列问题让学生思考:
进一步验证
相交弦的方程.
师:引导学生验证结论.
生:互相讨论、交流,验证结
论.
(1)通过两个圆的位置关系的判断,你学到了什么?
(2)判断两个圆的位置关系有几种方法?它们的特点是什么?
(3)如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系?
作业:习题4.2A组:4、7.
教学反思:



4.2.3 直线与圆的方程的应用
一、教学目标
1、知识与技能
第 13 页 共 16 页


(1)理解直线与圆的位置关系的几何性质;
(2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;
(3)会用“数形结合”的数学思想解决问题.
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤:
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题 中的几何元素,将平面几何问题转
化为代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.
3、情态与价值观
让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用,培养学生分析问题与解决问题的能力.
二、教学重点、难点:
重点与难点:直线与圆的方程的应用.
三、教学设想
问 题
1.你能说出直线与圆的位置
关系吗?
设计意图
启发并引导
学生回顾直线与
圆的位置关系,从
而引入新课.
2.解决直线与圆的位置关系,
你将采用什么方法?

理解并掌握
直线与圆的位置
关系的解决办法
与数学思想.
师:引导学生通过观察图形,
回顾所学过的知识,说出解决问题
的方法.
生:回顾、思考、讨论、交流,
得到解决问题的方法.
问 题
3.阅读并思考教科书上的例
设计意图
指导学生从
第 14 页 共 16 页
师生活动
师:启发学生回顾直线与圆的
位置关系,导入新课.
生:回顾,说出自己的看法.
师生活动
师:指导学生观察教科书上的


4,你将选择什么方法解决例4的
问题?
直观认识过渡到
数学思想方法的
选择.
图形特征,利用平面直角坐标系求
解.
生:自学例4,并完成练习题1、
2.
师:分析例4并展示解题过程,
启发 学生利用坐标法求,注意给学
生留有总结思考的时间.
4.你能分析一下确定一个圆
的方程的要点吗?
使学生加深
对圆的方程的认
识.
教师引导学生分析圆的方程
中,若横坐标确定,如何求出纵坐
标的值.
师: 引导学生建立适当的平面
直角坐标系,用坐标和方程表示相
应的几何元素,将平面几何问题转< br>化为代数问题.
生:建立适当的直角坐标系,
探求解决问题的方法.
5.你能利用“坐标法”解决
例5吗?
巩固“坐标
法”,培养学生分
析问题与解决问
题的能力.
6.完成教科书第140页的练
习题2、3、4.
使学生熟悉
平面几何问题 与
教师指导学生阅读教材,并解
决课本第140页的练习题2、3、4.教
代数问题的 转化,师要注意引导学生思考平面几何问
加深“坐标法”的
解题步骤.
7.你能说出练习题蕴含了什
么思想方法吗?
反馈学生掌
握“坐标法”解决
问题的情况,巩固
所学知识.
8.小结: 对知识进行师:指导学生完成练习题.
学生独立解决第141页习题
4.2A第8题,教师组织学生讨论
交流.
题与代数问题相互转化的依据.
第 15 页 共 16 页


(1)利用“坐标法”解决问
问 题
题的需要准备什么工作?
(2)如何建立直角坐标系,
才能易于解决平面几何问题?
(3)你认为学好“坐标法”
解决问题的关键是什么?
(4)建立不同的平面直角坐
标系,对解决问题有什么直接的影
响呢?
作业:习题4.2B组:1、2.
归纳概括,体会利 生:阅读教科书的例3,并完成第
设计意图
用“坐标法”解决
师生活动
教师引导学生自己归纳总结所
实际问题的作用. 学过的知识,组织学生讨论、交流、
探究.
教学反思:


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