高中数学圆与方程讲义

专题二 圆与方程
一．基本知识点

【1】圆的定义
（1）在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.
（2）确定一个圆的要素是圆心和半径.
【2】圆的方程
（1）圆的标准方程：

(x?a)?(y?b)?r
，其中圆心为A(a,b),
半径为r；
（2 ）圆的一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?0
D
2
?E
2
?4F?0

22
222
??
D
??
E
?
D
2
?E
2
?4F
?
注：上述方程配方得：
?
x?
?
?
?
y?
?
?

2
??
2
?
4
?
【3】求圆的方程的一般步骤为：
（1） 根据题意选择标准方程或者一般方程；
（2） 根据条件列出关于
a,b,r
或者
D,E,F
的方程组；
（3） 解出
a,b,r
或者
D,E,F
代入标准方程或者一般方程.
【4 】点
M(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b )?r
的关系：
22
2
（1）若
(x
0
?a)? (y
0
?b)
>
r
则点M在圆外；
222
（2） 若
(x
0
?a)?(y
0
?b)?r
，则点M在圆上；
22
222
22
2
（3）若
(x
0
?a) ?(y
0
?b)
<
r
，则点M在圆内.
【5】直线
l
：
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置
关系：
（1）若圆心A到直线
l
的距离
d?
相离；
222
Aa?Bb?C
A?B
22
?r
，则直线与圆

（2）若圆心A到直线
l
的距离
d?
相交；
（3）若圆心A到直线
l
的距离
d?
相切；
【6】圆与圆的位置关系：
Aa?Bb?C
A?B
22
?r
，则直线与圆
Aa?Bb?C
A?B
22
?r
，则直线与圆
设两圆的连心线长为
l
，则判别圆与圆的位置关系的依据有以
下几点：
（1）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
相离；
（2）当
l?r
1
?r
2< br>时，圆
C
1
与圆
C
2
外切；
（3）当|r
1
?r
2
|?l?r
1
?r
2
时 ，圆
C
1
与圆
C
2
相交；
注：当圆
C< br>1
:
?
x?a
1
?
?
?
y?b1
?
?r
1
2
与圆
22
C
2
:
?
x?a
2
?
?
?
y?b
2
?
?r
2
2
相交与A、B两点时，上述方程相减即
得直线AB方程.

二．例题分析
【例1】写出以
A
?
2,?3
?
为圆心，半径等于5的圆的标准方程，并判
断点
M
1?
5,?7
?
，点
M
2
?5,?1
是否在这个 圆上.




【例2】三角形ABC的三个顶点的坐标分 别是
A
?
5,1
?
,
B
?
7,?3?
，
22
??
C
?
2,?8
?
，求它 外接圆方程.

【变式1】已知三角形AOB的顶点坐标分别是
A
?
4,0
?
,
B
?
0,3
?
，
O
?
0,0
?< br>，求三角形AOB的外接圆的标准方程



【例3】写出下列圆的标准方程：
（1）圆心在
C
?
?3,4?
，半径长是
5
；
（2）圆心在
C
?
8,? 3
?
，且经过点
M
?
5,1
?
.



【例4】.若斜率为1的直线经过
?
2,0
?
且与圆
?
x?4
?


2
?y
2
?r
2
(r?0)
相切，求圆的标准方程.
【变式1】（2010年天津） 已知圆C的圆心是直线
y?x?1
与x轴的
交点，且圆C与直线x+y+3=0相切， 求圆C的标准方程.


【变式2】已知过点
M
?
?3, ?3
?
的直线
l
被圆
x?y?4y?21?0
所
2 2
截得的弦长为
45
，求直线
l
的方程.



【变式3】已知直线
l:4x?3y?35?0
与圆心在原点的圆C相切，
求圆C的方程.

【例5】（2008年天津）．已知圆
C
的圆心与点
P(?2，1)
关于直线
y?x?1
对称．直线
3x?4y?11?0
与圆
C
相交于
A，B
两点，且
AB? 6
，求圆
C
的方程.



【例6】圆C的圆心 在x轴上，并且过点
A
?
?1,1
?
和
B
?
1,3
?
，分别
求圆C的标准方程和一般方程





【变式1】方程
x?y?4mx?2y?5m?0
表示圆的条件是 （ ）
A





22
【例7】已知圆
C
1
:x?y?2x?8y?8?0
，
22
圆
C
2
:x?y?4x?4y?2?0
，试判断圆C
2
与
C
1
的位置关系.
22
1
11
?m?1
B
m?1
C
m?
D
m?
或
m?1

4
44




【例8】已知两圆
x?y ?10
和
?
x?1
?
?
?
y?3
?
?20
相交于A、
22
22
B两点，求直线AB的方程.

【例9】（2009年天津）若圆
x?y?4
与圆
22
x
2
?y
2
?2ay?6?0 (a?0)
的公共弦长为
23
，求
a
的值



22
【变式1】已知圆
C
1
:x?y?2x?ay?3? 0
和圆
C
2
:x
2
?y
2
?4x?2y? 9?0
的公共弦长为
26
，求实数
a
的值.


【变式2】直线
3x?y?23?0
和圆
x?y?4
得的劣弧所对的
圆心角为 .



【例10】已知圆
C:
?
x?1
?
?
?
y?2< br>?
?25
及直线
22
22
l:
?
2m?1< br>?
x?
?
m?1
?
y?7m?4
?
m?R< br>?

（1）证明不论m取何值时，直线
l
与圆C相交；
（2）求直线
l
被圆C截得的弦长最短长度及此时的直线方程.





【变式1】若直线
x?y?a?0
与圆
x< br>2
?
?
y?1
?
?1
有公共点，求
a
的取值范围.

2