高中数学-圆的标准方程、圆的一般方程练习

高中数学-圆的标准方程、圆的一般方程练习

自主广场
我夯基 我达标
1.下列方程中表示圆的是( )
2222
A.x+y-2x+2y+2=0 B.x+y-2xy+y+1=0
2222
C.x+2y-2x+4y+3=0 D.x+y+4x-6y+9=0
思路解析:题中的4个选项都是二元二次方程，一个二元二次方程是 否表示圆，要判断它是
22
否同时满足以下这三个条件：(1)x、y项的系数相等且不为零， 即A=C≠0;(2)没有xy项，
22
即B=0;(3)D+E-4F＞0.根据这三个条件 对每一个方程进行判断.因为选项A中
22
D+E-4F=4+4-8=0，所以选项A不正确 ；因为选项B中有-2xy项，所以选项B也不正确；因
为选项C中两个平方项的系数一个等于1，另一 个等于2，不满足A=C的条件，所以选项C
也不正确；选项D同时满足这三个条件，所以选项D是正确 的.因此，选D.
答案：D
22
2.已知方程x+y-2kx+2k+3=0表示圆,则k的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(3,+∞)
C.(-∞,-1)∪(3,+∞) D.

?

22
思路解析:利用D+E-4F＞0就可求得k∈(-∞,-1)∪(3,+∞).
答案：C
3.已知圆C的方程为f(x，y)=0，点A(x
0
，y
0
)是圆外的一点，那么方程f(x，y)-f(x
0
，y
0
)= 0
表示的曲线是( )
A.与圆C重合的圆 B.过点A与圆C相交的圆
C.过点A且与圆C同心的圆 D.可能不是圆
思路解析:此题所给出的圆的方程是一个抽象的方程，实际上，我们只学习了两种圆的方程，
完 全可以分别用两种方程来分析这道题.这里还基于一个结论：圆外的点的坐标代入圆的方
程后，方程就变 成了不等式.因为点A(x
0
，y
0
)是圆外的一点，所以f(x
0
，y
0
)＞0，由方程f(x，
222
y)-f(x
0，y
0
)=0,得f(x，y)=f(x
0
，y
0
)， 不妨设圆C的方程f(x，y)=0为方程(x-a)+(y-b)-r=0，
222
则方程f (x，y)=f(x
0
，y
0
)即为(x-a)+(y-b)=r+f(x< br>0
，y
0
)，此方程表示的正是过点A且与
圆C同心的圆.因此，选C .
答案：C
22
4.圆(x+2)+y=5关于原点(0，0)对称的圆的方程为( )
2222
A.(x-2)+y=5 B.x+(y-2)=5
2222
C.(x+2)+(y+2)=5 D.x+(y+2)=5
思路解析:求圆关于某点或直线的对称图形的方程,主要是求圆心关于点或直 线的对称点.求
出圆心(-2,0)关于(0,0)的对称点为(2,0).
答案：A 5.设P(x，y)是曲线x+(y+4)=4上任意一点，则
(x?1)?(y?1)
的 最大值为( )
22
22
A.
26
+2 B.
26
C.5 D.6
思路解析:此题的解题关键是要能从观察式子
(x?1)?(y?1)
的特征中产生联想，即 这
个式子的几何意义是什么.
1
22

因为式子
(x?1)
2
?(y?1)
2
的几何意义是点P(x，y)与点(1，1)之 间的距离，又因为P(x，
y)是曲线x+(y+4)=4上任意一点，所以
(x?1)
2
?(y?1)
2
的最大值即为在圆x+(y+4)=4
2222
上求一点，使这个点到点(1，1)的距离最大.
22
如图2-3-(1,2)-4所示，| CB|即为所求，而|CB|=|CA|+|AB|，圆x+(y+4)=4的圆心坐标为
A(0，-4 )，半径为2，即|AB|=2，而|AC|=
26
，所以|CB|=
26
+ 2，即
(x?1)
2
?(y?1)
2
的最大值为
26
+2.
因此，选A.

图2-3-(1,2)-4
答案：A
22
6.程x+y+x-2y+m=0表示圆时，m∈___________.
2 222
思路解析:如果方程x+y+x-2y+m=0表示圆，则D+E-4F＞0一定成立.根据这个 条件可以把
题意转化为不等式，从而求出m的取值范围.
22
因为方程x+y+x-2y+m=0表示圆，所以1+4-4m＞0，
55
.所以m∈(-∞,).
44
5
答案：(-∞, )
4
解得m＜
7.直线3x+4y-12=0和两坐标轴围成的三角形的外接圆的方程是___ ____________.
思路解析:直线与两坐标轴的交点是A、B，AB为圆的直径，即AB的 中点为圆心，AB长的一
半为圆的半径.
答案：(x-2)+(y-
2
3
2
25
)=
2< br>4
22
8.已知圆M：(x+cosθ)+(y-sinθ)=1，直线l：y=kx， 下面四个命题：
A.对任意实数k与θ，直线l和圆M相切
B.对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点
C.对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切
D.对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切
其中真命题的代号是____________.(写出所有真命题的代号)
思路解析:圆心 坐标为(-cosθ，sinθ)，圆的半径为1，圆心到直线的距离为
d=
|?kcos?
?sin
?
|
1?k
2
?
1?k
2
|sin(
?
?
?
)|
1?k
2
=|si n(θ+φ)|≤1,
2

故选B、D.
答案：BD
我综合 我发展
9.求圆心在直线y=-4x上,并且与直线l：x+y-1=0相切于点(3,-2)的圆的方程.
思路分析:已知圆心在y=-4x上，所以可设圆心为(a,-4a)，利用圆心到直线l：x+y-1 =0的
距离等于圆心到点(3，-2)的距离等于半径，就可以求出圆的方程.
解：依题意, 设圆心为(a,-4a),则其到直线x+y-1=0的距离及其到点(3，-2)的距离都等于半
径的 长度.应用两点间的距离公式及点到直线的距离公式,可得圆心到点(3，-2)的距离
=
(a ?3)
2
?(2?4a)
2
,圆心到直线l的距离=
|a?4a?1 |
1?1
22
|a?4a?1|
1?1
22
，即得
(a?3)
2
?(2?4a)
2
=，对这个式子两边平方并化简得a=1.于 是容易计算得
22
到此圆的圆心为(1,-4),半径长为22,于是得到此圆的方程为(x- 1)+(y+4)=8.
10.求过点A(-1,3),B(4,2),且在x轴、y轴上的四个截距之和是14的圆的方程.
思路分析:本题所给的条件是过两个定点和截距三个条件，考虑到知道三点就可以求出圆的
方程 ，所以考虑应用圆的一般式并结合根与系数的关系解决这个问题.
22
解：设圆的一般式方程为x+y+Dx+Ey+F=0，①
22
??
(?1)?3?D?3E?F?0,
由题意可知
?

22?
?
4?2?4D?2E?F?0.
令①中的y=0，可得x+Dx+F=0，圆 在x轴上的截距之和为-D；
2
令①中的x=0，可得y+Ey+F=0，圆在y轴上的截距之和为-E.
结合以上的方程组可以解得D=-4,E=-10,F=16.
22
所以我们得到此圆的方程为x+y-4x-10y+16=0.
11.设A、B 两点是圆心都在直线3x-2y+5=0上的相交两圆的两个交点,且A的坐标是(-4,5),
求点B 的坐标.
思路分析:解本题要充分利用平面几何的知识.注意到两圆相交，则意味着两交点关于连心线
对称,即B点应为点A关于直线3x-2y+5=0的对称点.
解：设B(x，y),因AB 垂直于直线l：3x-2y+5=0，且A(-4，5)，故直线AB的方程为
y-5=
?2
2
(x+4).
3
2
?
y?5??(x?4)131
?
解方程组
?
得交点P(
?,
).
3
1313
?
3x?2y?5?0,
?
又由中点坐标公式得
1x?4315?y
?,?
.
132132
503
,y??
. 解得x=
1313
503
∴B(
,?
).
1313
?
3

12.已知实数x、y满足方程x+y-4x+1=0.
(1)求
22
x
的最大值和最小值;
y
22
(2)求x+y的最大值和最小值.
思路分析:方程x+y-4x+ 1=0表示圆心(2,0),半径为
3
的圆;
22
22
y
的 几何意义是圆上一点与
x
原点连线的斜率,x+y表示圆上一点到原点距离的平方,故可借助于 平面几何知识,利用数
形结合来求解.
解：(1)原方程化为(x-2)+y=3,表示以点 (2,0)为圆心,以
3
为半径的圆.
22
设
|2k?0|
y
?3
,解得=k,即y=kx,当直线与圆相切时,斜率k取最大值和最小值,此时有2
x
k?1
k=±
3
.
故
y
的最大值为
3
,最小值为-
3
.
x
22
(2)x+y表示圆上一点到原点距离的平方,由平面几何知识知原点与圆心的连线与圆的 两个
交点处取得最大值和最小值.
222222
又圆心到原点的距离为2,故(x+ y)
max
=(2+
3
)=7+4
3
,(x+y)
min
=(2-
3
)=7-4
3
.
4