高中数学圆的方程专题复习(1)

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本章考试要求
内容：圆与方程
考试内容
圆的标准方程与一般方程
直线与圆的位置关系
两圆的位置关系
用直线和圆的方程解决简单的
问题
空间直角坐标系
空间两点间的距离公式
要求层次
A B C
√
√
√




√
√
√


圆与方程
空间直角坐标
系
一、圆的方程
【知识要点】
1.
圆心为
C(a,b)
，半径为
r
的圆的标准方程为：
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
(r?0)

a?b?0
时，圆心在原点的圆的方程为：
x
2
?y
2?r
2
.

22
D?E?4F
DE
??
，
2.
圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
，圆心为点
?< br>?,?
?
，半径
r?
2
2
??
2
其 中
D
2
?E
2
?4F?0
.

3.圆系方程：过圆
C
1
：
x
2
?y
2
? D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与圆
C
2
：
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0

交点的圆系方程是
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
?
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?
?0
（不含圆
C
2
）,
当
?
??1
时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程.

【互动探究】
考点一 求圆的方程

问题1． 求满足下列各条件圆的方程：
?
1
?
以两点
A(?3,?1)，
B(5,5)
为直径端点的圆的方程是

?
2
?
求经过
A(5,2)
，
B(3, ?2)
两点，圆心在直线
2x?y?3
上的圆的方程；




?
3
?
过点
A
?
4,1?
的圆
C
与直线
x?y?1?0
相切于点
B
?
2,1
?
，则圆
C
的方程是?




考点二 圆的标准方程与一般方程
问题2．方程
x
2
?y
2
?ax?2ay?2a
2
?a?1?0
表示圆，则
a
的取值范围是






考点三 轨迹问题
问题3.点
P
?
4,?2
?
与圆
x
2
?y
2
?4
上任一点连线的中点轨迹方 程是

问题4．设 两点
A
?
?3,0
?
，
B
?
3,0
?
，动点
P
到点
A
的距离与到点
B
的距离的比为
2
，求
P
点的轨迹.






二、直线和圆、圆与圆的位置关系

【知识要点】
1.
直线与圆的位置关系
将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别< br>为
△
，圆的半径为
r
，圆心
C
到直线
l的距离为
d
,则直线
圆的位置关系满足以下关系：

2.
直线截圆所得弦长的计算方法：
位置关系 相切 相交 相离
几何特征
d?r

d?r

d?r

式
与
代数特征
△?0

△?0

△?0

利用垂径定理和勾股定理：
AB?2r
2
?d
2
（其中r
为圆的半径，
d
直线到圆心的距离）.

3.
圆与 圆的位置关系：①设两圆的半径分别为
R
和
r
，圆心距为
d
，则两圆的位置关系满足关系：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
R?r?d?R?r

d?R?r

0?d?R?r

几何特征
d?R?r

d?R?r

代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
②设两圆
C
1
:x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1?0
，
C
2
:x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
，若两圆相交，则两圆的公共弦 所在的直线方程
是

4.
相切问题的解法：
①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解
②利 用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为
?1
（或一条直线存在斜率，另一条不存在）
③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即
??0
来求解.
特殊 地,已知切点
P(x
0
,y
0
)
,圆
x
2
?y
2
?r
2
的切线方程为 .
圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的切线方程为

【互动探究】
考点一 直线与圆的位置关系
问题1:
?
1?
已知圆
C:x
2
?y
2
?4x?0
，
l
过点
P(3,0)
的直线，则



A.
l
与
C
相交
B.
l
与
C
相切
C.
l
与
C
相离
D.
以上三个选项均有可能
2
?
2
?
直线
l
：
mx?y?1?m与圆
C
：
x
2
?
?
y?1
?
?1
的位置关系是
A.
相离
B.
相切
C.
相交
D.
无法确定，与
m
的取值有关.


?
3
?
过点
P
?
1,3
?
引圆
x
2
?y
2
?4x?4y?10?0
的弦，则所作的弦中最短的弦长为
A.
22

B.
4

C.8

D.
42

?
4?
求圆心为
?
1,2
?
且与直线
5x?12y?7?0
相切的圆 .

考点二 直线与圆相切的有关问题

问题2．
?
1
?
圆
x
2
?y
2
?4x?0
在点
P(1,3)
处的切线方程为

?
2
?
过点
P
?
2,3
?的圆
x
2
?y
2
?4
的切线方程是

?
3
?
过直线
x?y?22?0
上点
P
作圆
x
2
?y
2
?1
的两条切线， 若两条切线的夹角是
60?
，
则点
P
的坐标是

考点三 直线与圆相交时的弦长问题

问题3．已知圆
C< br>方程为：
x
2
?y
2
?4
.直线
l
过点
P
?
1,2
?
，且与圆
C
交于
A、
B
两点，若
AB?23
，
求直线
l
的方程.





问题4．已知直线
l
：
2mx?y?8m?3?0
和圆
C: x
2
?y
2
?6x?12y?20?0
；
?
1
?
m?R
时，证明
l
与
C
总相交；
?< br>2
?
m
取何值时，
l
被
C
截得弦长最短，求 此弦长.





考点四 圆与圆的位置关系

问题5．
?
1
?
）圆
(x?2)
2?y
2
?4
与圆
(x?2)
2
?(y?1)
2
?9
的位置关系为

A.
内切
B.
相交
C.
外切
D.
相离

?
2
?
（
2013
重庆）已知圆
C1
:
?
x?2
?
?
?
y?3
?
上的动点，则
PM?PN
的最小值为
22
?1
，圆
C< br>2
:
?
x?3
?
?
?
y?4
??9
，
M,N
分别是圆
C
1
,C
2
上 的动点，
P
为x轴
22
A.
52?4

B.
17?1

C.
6?22

D.
17


问题6．已知圆
⊙C
1
：
x
2
?y
2
?2x?2y?8?0
与
⊙C
2
：
x
2
?y
2
?2x?10y?24?0

相交于
A,B
两点，
?
1
?
求公共弦
AB
所在的直线方程；
?2
?
求圆心在直线
y??x
上，且经过
A,B
两点的圆 的方程；







【巩固训练】
1.
圆
x
2
?y
2
?4x ?6y?11?0
的圆心和半径分别是

2.
已知圆
x
2
?y
2
?2x?4y?4?0
关于 直线
y?2x?b
成轴对称，则
b?


3.
圆
(x?2)
2
?y
2
?5
关于原点
?
0,0
?
对称的圆的方程为

4.
圆
x
2
?y
2
?2x?6y?9?0
关于直线
2x?y?5?0
对称的圆的方程是


5.
两个圆
C1
：
x
2
?y
2
?2x?2y?2?0
与C
2
x
2
?y
2
?4x?2y?1?0
的公切 线有且仅有

6.
圆
x
2
?y
2
?4x ?4y?10?0
上的点到直线
x?y?14?0
的最大距离与最小距离的差是

7.
若
P(2,?1)
为圆
( x?1)
2
?y
2
?25
的弦
AB
的中点，则直线
AB
的方程是

8.
由直线
y?x?1
上的一点向圆
(x?3)
2
?y
2?1
引切线，则切线长的最小值为

9.
直线
y?x
被圆
x
2
?
?
y?2
?
?4
截得的弦长为

10.
圆
x
2
?y
2
?2x?4y?3 ?0
上到直线
x?y?1?0
的距离为
2
的点共有 个

7
（
O
为原点），求直线
l
的方程. 11.
由点
P
?
0,1
?
引圆
x
2< br>?y
2
?4
的割线
l
，交圆于
A,B
两点， 使
△AOB
的面积为
2




全国新课标卷Ⅰ] 已知点P(2，2)，圆C：x
2
＋y
2
－8y ＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB
12.
[2014·
的中点 为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

2