高一数学 圆 最值问题知识讲解

高数圆
题
值一学 最问

一、直线过定点问题与圆有关的最值问题
1：已知直线
L:2m x?y?8m?3?0
和圆
C:x
2
?y
2
?6x?12y ?20?0
；
（1）
m?R
时，证明
L
与
C
总相交。 （2）
m
取何值时，
L
被
C
截得弦长最短，求此弦长。







2、已知C：（x－1）
2
＋(y－2)
2
=25，直线l：（2m＋1）x＋（m＋1）y－7m－ 4＝0(m∈R)．
（1）求证：不论m取什么实数时，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及这时直线l的方程．








二、两圆相交弦的问题
1．已知圆C
1
:x
2
+y
2
+2x+2y-8=0与C
2:x
2
+y
2
-2x+10y-24=0相交于A,B两点。
（1）求公共弦
AB
所在的直线方程；（2）求圆心在直线
y??x
上，且经 过
A,B
两点的圆的方程；
（3）求经过
A,B
两点且面积最小的圆 的方程。









三、切线问题

1、（1）圆C：x
2
＋y
2
-x-y＝0的外部有一点P（-1，-1），求由点P向圆引切线的长度．















（2）在直线2x＋y＋3＝0上求一点P，使由P向圆x
2
＋y
2
－4x＝0引得的切线长长度为最小．






2.（1）若实数x，y满足
?
x?2
?< br>2
?y
2
?3
，则
y
x
的最大值是



（2）已知实数x、y满足
(
x?
2)2
?
(
y?
1)
2
?
1
，求
z?
y?1
x
的最大值与最小值。



3.一束光线从点A（－1，1）出发经x轴反射到圆C：（x－2）
2
＋（y－3）2
＝1的最短路程是________________.




4.若直线
y??x?b
与曲线
x??1?y
2
恰有一个公共点，则
b
的取值范围是__________.

5. 如图，已知圆
O:x
2
?y
2
?1< br>和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且
满
A
O
x
足
PQ?PA
，
P

（1）求实数a，b间满足的等量关系
（2）求线段PQ长的最小值（3）若以P为圆心所做 的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程。






6.已知P是直线
3x?4y?8?0
上的动点，PA，PB是 圆
C:x
2
?y
2
?2x?2y?1?0
的两条切线，A，B是切点，求四边形PACB的面积的最小值






7.。圆C：
x
2
?y
2
?4x?14y?45 ?0
及点
Q
?
?2,3
?
（1）若点
P
?
m,m?1
?
在圆C上，求直线PQ
的斜率（2）若M是圆C上任一点，求< br>MQ
最大值和最小值（3）若点
N
?
a,b
?
在圆上 ，求
?
?
b?3
a?3
的最大
值






四、两点距离公式
0、圆
x
2
?y
2
?2
上的点到直线
3x?4y?25?0
的距离的最 小值为________________.




1.已知圆 x
2
＋y
2
-2x-4y+4＝0上一点P（x,y）,求P到原点的最小距 离。





2 .已知x,y满足圆 x
2
＋y
2
-2x-4y+4＝0,求
x
2
?y
2范围。




3.已知x,y满足圆 x
2
＋y
2
-2x-4y+4＝0,求
(x?2)
2
?(y?2)2
范围。




4.已知x,y满足圆 x
2
＋y
2
-2x-4y+4＝0,求x
2
＋y
2
+2x+2y范围。

5.已知圆
C:
?
x?3
?
2
?
?
y?4
?
2
?1
，点A（-1，0），B（1，0），点P为圆上一动点，求
d?PA
2
?PB
2
的最大值和最小值及对应的P点坐标







五、弦长公式或根与系数关系
1、曲线x
2
＋y
2
＋x－6y＋3＝0上两点P、Q满足（1）关于直线kx－y＋4＝0对 称，（2）OP⊥OQ，求直线PQ的方
程．







六、其他
1、集合A＝｛（x，y）|x
2
＋y2
=4｝，B＝｛（x，y）|（x－3）
2
＋（y－4）
2
= r
2
｝，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个
元素，则r的值是_________ _______.



2、若过定点
M(?1,0)
且斜率为
k
的直线与圆
x
2
?4x?y
2
?5?0
在第一象限内的部分有交点，则
k
的
取值范围是( )
A.
0?k?5
B.
?5?k?0
C.
0?k?13
D.
0?k?5





3、圆x
2
＋y
2
＋2x＋4y－3＝0上到 直线x＋y＋1＝0的距离为

2 的点有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个



< br>4、以点
A(?3,0)、B(0,?3)、C(
15
,
24
)
为顶点的三角形与圆
x
2
?y
2
77
?R
2
(R?0)
没有公共点，则圆半径R
的取值范围是（ ）
A．< br>(0,
310389
310
10
)?(
7
,??)< br> B．
(
10
,
389
7
)
C．
(0,
22
3
)?(3,??)
D．
(
22
3
,3)






5. 已知与圆
C:x
2
?y
2
?2x?2y? 1?0
相切的直线l交x轴，y轴于A，B两点，且
OA?a,OB?b(a?2,b?2)< br>，（1）求证：
?
a?2
??
b?2
?
?2
（2）求线段AB的中点的轨迹方
程（3）求
?AOB
面积的最小值