高一数学专题 圆与方程

圆与方程
典题温故

1 ．圆O
1
：x
2
＋y
2
－2x＝0与圆O
2
：x
2
＋y
2
－4y＝0的位置关系是（ ）
A．外离
【答案】B
【解析】圆O
1
(1,0)，
r
1
? 1
，圆O
2
(0,2)，
r
2
?2
，
O< br>1
O
2
＝
?
1?0
?
?
?
0?2
?
?5?1?2
，
且
5?2?1
，故两圆相交，故选B．
2．已知P(3,0)是圆x
2
＋y
2
－8x－2y＋12＝0内一点，则过点P的最短弦所在直线方程是
________，过点P的最长弦所在直线方程是________．
【答案】x＋y－3＝0，x－y－3＝0
【解析】点P为弦的中点，即圆心和点P的连线与 弦垂直时，弦最短，圆心坐标为
C(4,1)
，
22
B．相交 C．外切 D．内切
k
PC
?
1?0
?1
，此时最短弦所在直线方程 为
y??1(x?3)
，化简为
x?y?3?0
，
4?3
过圆心即弦为直径时最长，此时直线方程为
y?x?3
，即
x?y?3?0
．

经典集训

一、选择题
1．若直线
3x?4y?b?0
与圆
?
x?1
?
?
?
y?1
?
? 1
相切，则
b
的值是（ ）
A．
?2
或
12
B．
2
或
?12
C．
2
或
12
D．
?2
或
?12

22
2．过点P(－2,4)作圆O： (x－2)
2
＋(y－1)
2
＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直 线l平行，
则直线l与m间的距离为（ ）
A．4 B．2
8
C．

5
D．
12

5
3．过 圆x
2
＋y
2
＝4外一点M(4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直 线方程是（ ）
A．4x－y－4＝0 B．4x＋y－4＝0 C．4x＋y＋4＝0 D．4x－y＋4＝0
4．直线l：ax－y＋b＝0，圆M：x
2
＋y
2
－2ax＋2by＝0，则l与M在同一坐标系中的图形可
能是（ ）
1

A．(x－1)
2
＋y
2
＝4

B．(x－1)
2
＋y
2
＝2 C．y
2
＝2x

D．y
2
＝－2x

5．设A为圆(x－1)
2
＋y
2
＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是（ ）
6．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，
5
为半径
的圆的方程为（ ）
A．x
2
＋y
2
－2x＋4y＝0
C．x
2
＋y
2
＋2x－4y＝0
B．x
2
＋y
2
＋2x＋4y＝0
D．x
2
＋y
2
－2x－4y＝0
7．若x、y满足x< br>2
＋y
2
－2x＋4y－20＝0，则x
2
＋y
2< br>的最小值是（ ）
A．
5?5
B．
5?5
C．
30?105
D．无法确定
8．直线y＝x＋b与曲线
x?1?y< br>2
有且只有一个公共点，则b的取值范围是（ ）
A．
b?2

C．－1
二、填空题
9．已知圆C
1
：x< br>2
＋y
2
－6x－7＝0与圆C
2
：x
2
＋ y
2
－6y－27＝0相交于A、B两点，则线段AB
的中垂线方程为_______ ___________．
10．过点
A1,2
的直线l将圆(x－2)
2
＋y
2
＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直
线l的斜率k＝__ _____．

三、简答题
11．已知三条直线l
1
：x－2y ＝0，l
2
：y＋1＝0，l
3
：2x＋y－1＝0两两相交，先画出图形，
再求过这三个交点的圆的方程．






2



B．－1b??2

D．－1b??2

??

12．已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)
2
＋ (y－4)
2
＝9．
（1）求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交；
（2）m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值．
























3

13．已知圆C：x
2
＋y
2
＋2x－4y＋3＝0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．
（2）从圆C外一点P( x
1
，y
1
)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝ |PO|，
求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．








4

【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】C
22
（1,1）< br>（x?1）?（y?1）?1
，∴圆心坐标为【解析】∵圆的标准方程为，半径为1，
∵直线
3x?4y?b?0
与圆
?
x?1
?
?
?< br>y?1
?
?1
相切，
22
（1,1）
∴圆心到直线
3x?4y?b?0
的距离等于圆的半径，
即
3?1?4?1?b
3?4
22
?
7?b
5
?1
，解得
b?2
或
b?12
，故选C．
2．【答案】A
【解析】根据题意，知点P在圆上 ，∴切线l的斜率
k??
114
???
．
1?4
3kOP
2?2
∴直线l的方程为
y?4?
4
?
x?2?
．即4x－3y＋20＝0．
3
又直线m与l平行，∴直线m的方程为4x－3y＝0．
故直线l与m间的距离为
d?
3．【答案】A
【解析】设两切线切点分别为 (x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)，则两 切线方程为x
1
x＋y
1
y＝4，
x
2
x＋y
2
y＝4．
又M(4，－1)在两切线上，∴ 4x
1
－y
1
＝4，4x
2
－y
2
＝4．
∴两切点的坐标满足方程4x－y＝4，故选A．
4．【答案】B
【解析】由直线的斜率a与在y轴上的截距b的符号，可判定圆心位置，
又圆过原点，故选B．
5．【答案】B
【解析】由题意知，圆心(1,0)到P点 的距离为
2
，所以点P在以(1,0)为圆心，以
2
为半
径的圆上， 所以点P的轨迹方程是(x－1)
2
＋y
2
＝2，故选B．
6．【答案】C
【解析】由(a－1)x－y＋a＋1＝0得a(x＋1)－(x＋y－1)＝0，
所以直线 恒过定点(－1，2)，所以圆的方程为(x＋1)
2
＋(y－2)
2
＝5，
5

|0?20|
4?3
22
?4
，故选A．

即x
2
＋y
2
＋2x－4y＝0，故选C．
7．【答案】C
【解析】配方得(x－1)
2
＋(y＋2)
2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5，
所以
x
2
?y
2
的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即
5?5
，
故可求x
2
＋y
2
的最小值为
30?105
．故选C．
8．【答案】D
【解析】如图，由数形结合知，故选D．


二、填空题
9．【答案】x＋y－3＝0
【解析】AB的中垂线即为圆C
1
、圆C
2
的连心线
C
1
C
2
．
又C
1
(3,0)，C
2
(0,3)，所以C
1
C
2
所在直线的方程为x＋y－3＝0．
10．【答案】
2

2< br>【解析】点
A1,2
在圆(x－2)
2
＋y
2
＝4内 ，当劣弧所对的圆心角最小时，l垂直于过点
??
A1,2
和圆心M(2,0)的直线 ．∴
k??
??
1
k
AM
??
2?1
0? 2
?
2
．
2

三、简答题
1
?
9
2
?
11．【答案】如图，
?
x?
?
?
?
y?1
?
?
．
2
?
4
?
2
【解析】
6

l
2
平行于x轴，l
1
与l< br>3
互相垂直．三交点A，B，C构成直角三角形，经过A，B，C三点的
圆就是以AB为 直径的圆．
?
x?2y?0
?
x??2
解方程组
?
，得
?
，所以点A的坐标是(－2，－1)．
?
y?1?0
?< br>y??1
?
2x?y?1?0
?
x?1
解方程组
?< br>，得
?
，所以点B的坐标是(1，－1)．
y?1?0y??1
??
?
1
?
线段AB的中点坐标是
?
?,?1
?
，
?
2
?
又
AB?
?
?2?1
?22
19
?
?
?1?1
?
?3
，所求圆的标准 方程是
(x?)
2
?(y?1)
2
?
．
245
12．【答案】（1）证明见解析；（2）m为
?
时，最小值为
27< br>．
2
【解析】（1）证明：直线l变形为m(x－y＋1)＋(3x－2y)＝0．
?
x?y?1?0
?
x?2
令
?
，解得
?
，
3x?2y?0y?3
??
如图所示，故动直线l恒过定点A(2,3)．
7

而
AC?
?
2 ?3
?
2
?
?
3?4
?
?2?3
(半径)．
2
∴点A在圆内，故无论m取何值，直线l与圆C总相交．
（2）由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC垂直直线l时，弦长最小，
m? 34?35
2
此时k
l
·k
AC
＝－1，即
??? 1
，∴
m??
，最小值为
23?
m?23?22
5
故m为
?
时，直线l被圆C所截得的弦长最小，最小值为
27
．
2
??
2
2
?27
．
?
33
?
13．【答案】（1）
y?2?6x
或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0；（2）?
?,
?
．
?
105
?
??
【解析 】（1）将圆C整理得(x＋1)
2
＋(y－2)
2
＝2．
①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y＝kx，
∴圆心到切线的距离为
∴
y?2?6x
；
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x＋y－a＝0，
∴圆心到切线的距离 为
|?k?2|
k?1
2
?2
，即k
2
－4k－2 ＝0，解得
k?2?6
．
??
|?1?2?a|
2
?2< br>，即|a－1|＝2，解得a＝3或－1．
∴x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0，
综上所述，所求切线方程为
y?2?6x
或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．
（2）∵|PO|＝|PM|，
2
＋y
2
＝(x＋1)
2
＋(y
－2)
2
－2，即2x
－4y＋3＝0，
∴x
111111
??
即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．
8

当|PM|取最小值时，即|OP|取得最小值，此时直线OP⊥l，
∴直线OP的方程为：2x＋y＝0，
3
?
x??
?
?< br>2x?y?0
?
10
解得方程组
?
，得
?
，
2x?4y?3?0
3
?
?
y?
?
5
?< br>?
33
?
∴P点坐标为
?
?,
?
．
?
105
?


9