高中数学 《圆与方程》教案(1)

圆的一般方程
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生掌握圆的一 般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的
坐标和半径；能用待定系数法，由已 知条件导出圆的方程．
(二)能力训练点
使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地 用待定系数法由已知条件导出圆的方
法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方 法和待定系数法解决实
际问题的能力．
(三)学科渗透点
通过对待定系数法的学习 为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打
下牢固的基础．
二、教材分析 < br>1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，
由 已知条件导出圆的方程．
(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆 心和半径的方
法；(2)加强这方面题型训练．)
2．难点：圆的一般方程的特点．
(解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．)
3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0．
(解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．)
三、活动设计
讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板．
四、教学过程
(一)复习引入新课
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前面，我们已讨论了圆的标准方 程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得
x2+y2-2ax-2by+a
2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家
思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的
问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．
(二)圆的一般方程的定义
1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：

(1)
(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程

半径的圆；


(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx +Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．
这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、

法．
2．圆的一般方程的定义
当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．
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(三)圆的一般方程的特点
请同学们分析下列问题：
问题：比较二元二次方程的一般形式
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．
(2)
与圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．
(3)
的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．
当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：
(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；
(2)没有xy项，即B=0；
(3)D2+E2-4AF＞0．
它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．
教师还要强调指出：
(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；
(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．
(四)应用与举例
同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样，方程x2+y2 +Dx+Ey+F=0也含有三个系数D、E、
F，因此必具备三个独立的条件，才能确定一个圆．下面 看一看它们的应用．
例1 求下列圆的半径和圆心坐标：
(1)x2+y2-8x+6y=0，
(2)x2+y2+2by=0．
此例由学 生演板，教师纠错，并给出正确答案：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心
为(0，-b )，半径为|b|，注意半径不为b．
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同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握．
例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．
解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有

解得：D=-8，E=6，F=0，
故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0．
例2小结：
1．用待定系数法求圆的方程的步骤：
(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；
(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；
(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程．
2． 关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求
圆心的坐标、半径或 需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已
知条件和圆心坐标或半径都无直接 关系，往往设圆的一般方程．再看下例：
例3 求圆心在直线 l：x+y=0上，且过两圆C1∶ x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶
x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．

(0，2)．
设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在 所求圆上，且圆心在直线l上所以得
方程组为

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故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10．
这时，教师指出：
(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程 的问题，往往设
圆的标准方程．
(2)此题也可以用圆系方程来解：
设所求圆的方程为：
x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)
整理并配方得：

由圆心在直线l上得λ=-2．
将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程 为x2+y2+6x-6y+8=0．此法到圆与圆的
位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念．

的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线．
此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：
(1)由于曲线表示的图形未知，所以只能用 轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M(x，y)，
由求曲线方程的一般步骤可求得；
(2)应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形．
(五)小结
1．圆的一般方程的定义及特点；
2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径；
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3．用待定系数法，导出圆的方程．
五、布置作业
1．求下列各圆的一般方程：
(1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)；
(2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)．
2．求经过两圆x2+y2 +6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的
圆的方程．
3．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
4．A、B、C为已知直线上的三个定点，动点P不在此直线上，且使∠ APB=∠BPC，求动
点P的轨迹．
作业答案：
1．(1)x2+y2-16x+6y+48=0
(2)x2+y2-4x-2y-20=0
2．x2+y2-x+7y-32=0
3．所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x≠3，x≠5)，轨迹是以

4．以B为原点，直线ABC为x轴建立直角坐标系，令A(-a，0)，C(c，0)(a＞0，c＞ 0)，
P(x，y)，可得方程为：
(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0．
当a=c时，则得x=0(y≠0)，即y轴去掉原点；当a≠c时，则得(x-

与x轴的两个交点．
六．板书设计
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