高中数学-圆的标准方程、圆的一般方程精讲精练

高中数学-圆的标准方程、圆的一般方程精讲精练
典题精讲
例1求过三点A (1,12)、B(7,10)、C(-9,2)的圆的方程,并求出圆的圆心与半径,作出图形.
思路分析:因为圆过三个定点,故可以设圆的一般式方程来求圆的方程.
22
解：设所求的圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0,依题意有
?
1 ?144?D?12E?F?0,
?
?
49?100?7D?10E?F?0,

?
81?4?9D?2E?F?0.
?

图2-3-(1,2)-1
解得D=-2,E=-4,F=-95.
22
于是所求圆的方程为x+y-2x-4y-95=0.
22
将上述方程配方得(x-1)+(y-2)=100.
于是,圆的圆心D的坐标为(1,2),半径为10,图形如图2-3-(1,2)-1所示.
绿色通道：求过三个定点的圆的方程往往采用待定系数法求解.利用圆经过不在同一直线上
的三点的条 件,由待定系数法求出圆的一般式方程,并由此讨论圆的几何性质.
对于由一般式给出的圆的方程,研 究其几何性质(圆心与半径等)时,常可用配方法或公式法
加以求解.
22
变式训练1已知圆C与圆(x-1)+y=1关于直线y=-x对称，则圆C的方程为( )
22222222
A.(x+1)+y=1 B.x+y=1 C.x+(y+1)=1 D.x+(y-1)=1
思路解析:求出圆心(1,0)关于直线y=-x的对称点为(0,-1),得到圆C的圆心.故选C.
答案：C
例2求下列圆的方程:
(1)圆心在直线y=-2x上,且与直线y=1-x相切于点(2,-1)；
(2)圆心为C(0,3),且截直线y=x+1所得弦长为4.
思路分析:利用圆的标准方程,把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解.
222
解：(1)设圆心(a,-2a),圆的方程为(x-a)+(y-2a)=r. ?
?2a?1
?
a?1,
?
a?2
?(?1)??1,
由
?
解得
?

?
r?2,
?
r? (a?2)
2
?(?2a?1)
2
,
?
∴所求圆的方程为( x-1)+(y+2)=2.
(2)设圆的方程为(x-3)+y=r,利用点到直线的距离公式可以 求得d=|
222
22
3?1?0
1?1
=
22
, 再根
据垂径定理可知r=
(22)?2?23
.
22
1

∴所求圆的方程为(x-3)+y=12.
绿色通道：在解决与圆相关的问题 时,如果涉及到圆心和半径,或者截得的弦长等问题,一般
选用圆的标准方程来解题.
变式训 练2已知圆的半径为
10
,圆心在直线y=2x上,圆被直线x-y=0截得的弦长为
42
,
求圆的方程.
222
解：设圆的方程为(x-a)+(y-b)=r ,由圆心在直线y=2x上,得b=2a.①
由圆被直线x-y=0截得的弦长为
42
,将y=x代入(x-a)+(y-b)=10,整理得
22
22
2x-2(a+ b)x+a+b-10=0.由弦长公式得
2?(a?b)
2
?2(a
2?b
2
?10)?42
.
222
化简得a-b=±2.②
解①②得a=2,b=4或a=-2,b=-4,
2222
∴所求圆的方程为(x-2)+(y-4)=10或(x+2)+(y+4)=10.
例3如图2-3-(1,2)-2所示,已知圆的内接四边形ABCD中两对角线AC、BD互相垂直, 垂足为
E,又F是BC的中点,试用坐标法证明EF⊥AD.

图2-3-(1,2)-2
思路分析:题中两对角线互相垂直,不妨就选它们为坐标轴,此时 四个顶点的坐标表示较为简
捷.
证明：建立如图2.3(1.2)2所示的直角坐标系xOy ,并设A、B、C、D的坐标分别为
(0,-a),(b,0),(0,c),(-d,0)(a、b、 c、d＞0).
bcc
,),故k
EF
=.
22b
a< br>ca
又k
AD
=
?
,故k
EF
·k
AD
=
?
.
d
bd
于是BC中点F的坐标为(
由 圆的相交弦定理得AE·EC=DE·EB,即ac=bd.
∴k
EF
·k
AD
=-1.∴EF⊥AD.
黑色陷阱：用 坐标法处理平面几何问题的关键是建立好坐标系,此题若不以两对角线为坐标
轴,处理起来相当麻烦.在 建立坐标系时,要使尽量多的点落在坐标轴上,或利用图中现有的
垂直关系.
变式训练3在△ AOB中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,点P是△AOB内切圆上的点,求
222|PA|+|PB|+|PC|的最大值与最小值.
2

图2-3-(1,2)-3
解：如图2-3-(1,2)-3建立直角坐标系,使A、B、O 三点坐标分别为(4,0)、(0,3)、(0,0).
设内切圆半径为r,则有2r+|AB|=|OA|+|OB|,∴r=1.
2222
故内切圆方程为(x-1)+(y-1)=1.化为x+y-2x-2y+1=0,①
22222
设点P(x,y),又∵|PA|+|PB|+|PC|=3x+3y-8x-6y +25,②
22
由①知x+y-2y=2x-1,代入②得
222
|PA|+|PB|+|PC|=3(2x-1)-8x+25
=-2x+22.
∵x∈[0,2],
222
∴|PA|+|PB|+|PC|最大值为22,最小值为18.
例4判断下列方程是否表示圆，如果是,求出圆心和半径；如果不是,请说明理由.
22
(1)x+y+4x-2y+12=0；
22
(2)x+y-11x+3y-30=0；
22
(3)3x+2y+3x-3y+5=0.
思路解析:本题首先要观察各题目二 次项系数是否相等,判定方程是否满足表示圆的条件,再
依据公式得出圆心和半径.
2222
答案：(1)x+y+4x-2y+12=0可以转化为(x+2)+(y-1)=-7,所以该方程不 是圆的方程.
(2)在x+y-11x+3y-30=0中,-
22
3
22
D11
E
=,-=-,D+E-4F=250＞0,所以该方程表示圆心为
2
22
2
(
3
11
,-),半径为
510
的 圆.
2
2
22
(3)在3x+2y+3x-3y+5=0中,因二次项系数 不相等,所以该方程不是圆的方程.
绿色通道：
22
对于这类问题,首先看题中所 给方程是否能化为圆的方程的一般式形式：x+y+Dx+Ey+F=0,
在D+E-4F＞0的情况下 ,则有(-
22
D
E
1
,-)为圆心,
2
2
2
D
2
?E
2
?4F
为半径.不必死记这
个公式 ,要掌握通过配方将圆的一般式转化为圆的标准式的方法.
22
变式训练4方程ax+ay- 4(a-1)x+4y=0表示圆,求实数a的取值范围,并求出其中半径最小的
圆的方程.
2(a?1)
2
2
2
4(a
2
?2a?2
解：原方 程可化为［x-］+(y+)=,
2
a
a
a
∵a-2a+2＞0,
∴当a≠0且a∈R时,原方程表示圆.
2
4(a
2
?2a?22 (a
2
?4a?4)2(a?2)
2
?2?
又∵=+2≥2,
a
2
a
2
a
2
3

当且仅当a=2时等号成立.
22
∴a=2时圆的半径最小,此时圆的方程为(x-1)+(y+1)=2.
问题探究
问题1探究圆的标准方程和圆的一般方程的异同点.
导思：求圆 的方程一般采用待定系数法，探究求圆的标准方程和圆的一般方程的异同点就是
确定待定系数个数是否相 同,待定系数的特征是否相同,需要具备什么样的已知条件才能分
别求出这两种圆的方程.
探 究：相同点：圆的标准方程和圆的一般方程中都有三个未知量(圆的标准方程中有三个待
定系数:a、b 、r，圆的一般方程中有三个待定系数:D、E、F)，故确定一个圆需要三个独立
的条件，一般利用待 定系数法确定，基本步骤为:
(1)根据题意，设所求的圆的方程;
(2)根据已知条件，建立关于a、b、r或D、E、F的方程组；
(3)解方程组，求出a 、b、r或D、E、F的值，并把它们代入所设的方程中去，就可得到所
求圆的方程.
不过针对具体问题，通过数形结合的思想，有时利用圆的几何性质解题，会有更简捷的
解题途径.
不同点：一是待定系数的含义不同，圆的标准方程中的三个待定系数有明确的几何特征，
而圆的一般方程中的三个待定系数没有明确的几何特征；二是要根据具体题目中的已知条件
确定是求圆 的标准方程还是求圆的一般方程.当题目中已知圆心和半径的条件时，要求圆的
标准方程，当题目中已知 圆上的三个点的时候，要求圆的一般方程.
问题2圆的一般方程是一个二元二次方程，试探究圆的一般方程与二元二次方程的关系.
导思 ：圆的一般方程是一个特殊的二元二次方程，也就是说只有当二元二次方程满足特定的
条件时，这个二元 二次方程才能表示圆，这就需要我们把圆的一般方程和普通的二元二次方
程写出来，分析它们的具体特征 和限制条件.
22
探究：比较圆的一般方程x+y+Dx+Ey+F=0的系数和二元二次方 程的一般形式
22
Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0的系数可以发现，圆的一般方程是 当二元二次方程的系数满足以下
三个条件时的特殊情况.
22
(1)x、y项的系数相等且不为零，即A=C≠0;
(2)没有xy项，即B=0;
22
(3)D+E-4AF＞0.
由此，我们可以发现二元二次方程不都表示圆，只有满足上面三个条件的二元二次方程
才可以表示圆，但 是，所有圆的方程都是二元二次方程，圆的方程只是二元二次方程中的一
类特殊的方程.
问题3一些圆的位置比较特殊，它们的方程有何特点？
导思：圆的方程由圆心坐标和半径唯一 确定.当圆与x轴相切时，圆心到x轴的距离等于圆
的半径，此时圆心的纵坐标等于圆的半径或半径的相 反数；当圆与y轴相切时，圆心到y
轴的距离等于圆的半径，此时圆心的横坐标等于圆的半径或半径的相 反数；当圆心在某一直
线上时，圆心坐标满足圆的方程.
222
探究：当圆心在原点时，x+y=r(a=b=0)；
222
当圆与x轴相切时，(x-a)+(y-b)=b(b≠0)；
222
当圆与y轴相切时，(x-a)+(y-b)=a(a≠0)；
222
当圆与两坐标轴都相切时，(x-a)+(y-b)=a(|a|=|b|≠0)； < br>222222
当圆心在x轴上时，(x-a)+y=r(r≠0)或x+y+Dx+F=0(D- 4F＞0)；
222222
当圆心在y轴上时，x+(y-b)=r(r≠0)或x+y+E y+F=0(E-4F＞0).
4

如果圆的位置符合上述情况，若按上述方程去设方程，可相对减少未知数的个数.
5