高中数学圆与方程详细讲义及练习题

高考数学教案 T:ZhengZ
圆的方程
一．圆的方程：
1．圆的标准方程：
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
2
。
2．圆的一般 方程：
x?y?Dx?Ey?F?0(D＋E－4F?0)
，特别提醒：
22
只有当
D＋E－4F?0
时，方程
x?y?Dx?Ey?F?0
才表示圆心为
22
2222
二．点与圆的位置关系：
已知点
M
?
x
0
,y
0
?
及圆
C：
?
x-a
?
?
?
y?b
?
?r
22
(?
DE1< br>,?)
，半径为
D
2
?E
2
?4F
的圆（二 元二次方程
222
Ax
2
?Bxy?Cy
2
?Dx?Ey ?F?0
表示圆的充要条件是什么？
22
?
r?0
?
，
22
2
（1）点M在圆C外
?CM?r?
?
x
0< br>?a
?
?
?
y
0
?b
?
?r
；
22
2
（2）点M在圆C内
?
CM?r?
?
x
0
?a
?
?
?
y
0
?b
??r
；
2
2
2
（3）点M在圆C上
?CM?r??
x
0
?a
?
?
?
y
0
?b
?
?r
。如
2
２
22
点P(5a+1,12a) 在圆(x－１)＋y
2
=1的内部,则a的取值范围是______
三.直线与圆的位置关系：
直线
l:Ax?By?C?0
和圆
C：
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
2 2
2
（
A?C?0,
且
B?0
且
D?E?4AF?0
））； < br>?
r?0
?
有相交、
x?a?rcos
?
（
?
为参数）3．圆的参数方程：，其中圆心为
(a,b)
，
y?b?rsi n
?
半径为
r
。圆的参数方程的主要应用是三角换元：
x
2
?y
2
?r
2
?x?rcos
?
,y?rsin
?
；
x
2
?y
2
?t

?x?rcos
?
,y?rsin
?
(0?r?t)
。 < br>4．
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
为直径端点的圆方程
?
相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：
（1）代数方法（判断直线与圆方 程联立所得方程组的解的情况）：
??0?
相交；
??0?
相离；
? ?0?
相切；
（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为
d
，则
d?r?
相交；
d?r?
相离；
d?r?
相切。提醒：判断直
线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如
（1）圆
2x?2y?1
与直线
xsin
?
?y?1?0(
?
?R,
?
?
位置关系为____
（2）若直线
ax?by?3? 0
与圆
x?y?4x?1?0
切于点
P(?1,2)
，则
a b
的
值____
（3）直线
x?2y?0
被曲线
x?y? 6x?2y
?15?0
所截得的弦长等于
（4）一束光线从点A(－1,1 )出发经x轴反射到圆C:(x-2)
2
+(y-3)
2
=1上的最短路程是
（5）已知
M(a,b)(ab?0)
是圆
O:x?y? r
内一点，现有以
M
为中点的
弦所在直线
m
和直线
l:ax?by?r
，则
A．
ml
，且
l
与圆相交 B．
l?m
，且
l
与圆相交
C．
ml
，且
l
与圆相离 D．
l?m
，且
l
与圆相离
22
（6）已知圆C：
x?(y?1)?5
，直线L：
mx?y?1?m?0
。①求证：对
2222
22
22
22
?
2
?k
?
，< br>k?z)
的
?
x?x
1
??
x?x
2
?
?
?
y?y
1
??
y?y
2
?
?0
如
（1）圆C与圆
(x?1)?y?1
关于直线
y??x< br>对称，则圆C的方程为_____
（2）圆心在直线
2x?y?3
上，且与两 坐标轴均相切的圆的标准方程是______
22
x?rcos
?
（
?
为参数，
0?
?
?2
?
)
上的点，则（3）已 知
P(?1,3)
是圆
y?rsin
?
圆的普通方程为______ __，P点对应的
?
值为_______，过P点的圆的切线方
程是________ ___
（4）如果直线
l
将圆：x
2
+y
2
-2 x-4y=0平分，且不过第四象限，那么
l
的斜率的
取值范围是__
２< br>（5）方程x
2
+y－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____ < br>（6）若
M?{(x,y)|
?
x?3cos
?
（
?
为参数，
0?
?
?
?
)}
，
y?3si n
?
N?
?
(x,y)|y?x?b
?
，若
M?N ?
?
，则b的取值范围是_________
?



1

m?R
，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B 两点，
若
AB?17
，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.

高考数学教案 T:ZhengZ
四．圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆
的圆心分别为
O
直线与圆的方程练习题
1
，O
2
，半径 分别为
r
1
,r
2
，则
（1）当
|O
1
O
2
??r
1
?r
2
时，两圆外离；
一、选择题．
（2）当
|O
1
O
2
??r
1
?r
2
时，两圆外切；
1已知两条直线
y?ax?2
和
y?(a?2)x?1
互相垂直，则
a
等于（ ）
（3） 当
r
1
?r
2
<|O
1
O
2
?? r
1
?r
2
时，两圆相交；
（4）当
|O
1O
2
???r
1
?r
2
|
时，两圆内切；
（A）2 （B）1 （C）0 （D）
?1

（5 ）当
0?|O
1
O
2
???r
1
?r
2< br>|
时，两圆内含。
3经过点
M(2,?1)
作圆
x
2
?y
2
?5
的切线，则切线的方程为：（ ）
五．圆的切线与弦长：
(1)切线：①过圆
x
2
?y
2< br>?R
2
上一点
P(x
0
,y
0
)
圆 的切线方程是：
A.
2x?y?5
B.
2x?y?5?0

xx
0
?yy
0
?R
2
，过圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?R
2上一点
P(x
0
,y
0
)
圆的切线方程是：
( x?a)(xa)?R
2
，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住
C.
2x?y?5?0
D.
2x?y?5?0

0
?a)?(y?a)(y
0
?
圆心到直线的距离等于半径）； < br>②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条
4．方程
x2
?y
2
?4mx?2y?5m?0
表示圆的充要条件是
件 ，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直
线（即“切点弦”）方程的求 法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的
A．
1
圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；
4
?m?1
B．
m?
11
4
或m?1
C．
m?
4
D．
m?1

③切线长：过圆
x< br>2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
（
(x?a)
2?(y?b)
2
?R
2
）外
5．点(
2a,a?1)在圆x
2
+y
2
－2y－4=0的内部，则
a
的取值 范围是
一点
P(x
22
0
,y
0
)
所引 圆的切线的长为
x
0
?y
0
?Dx
0
?Ey
0
?F

（
(x
22
0
?a)
2
?(y
2
0
?b)
2
?R
）；如设A为圆
(x? 1)?y?1
上动点，PA是
A．－1<
a
<1 B． 0<
a
<1 C．–1<
a
<
1
5
D．－
1
5
<
a
<1
圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为__________
6．圆
x< br>2
?y
2
（2）弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距
d
，弦长一半
1
?2x?2y?0
的周长是
2
a
及圆的半
A．
22
?
B．
2
?
C．
2
?
D．
4
?

径
r
所构成的直角三角形来解：
r2
?d
2
?(
1
a)
2
2
；②过两圆
C
1
:f(x,y)?0
、
7．两圆x
2
+y2
－
4x+6y=0和x
2
+y
2
－
6x=0 的连心线方程为
C
2
:g(x,y)?0
交点的圆(公共弦)系为
f(x,y)?
?
g(x,y)?0
，当
?
??1
时，< br>方程
f(x,y)?
?
g(x,y)?0
为两圆公共弦所在直线方程. 。
A．x+y+3=0 B．2x
－
y
－
5=0 C．3x
－
y
－
9=0 D．4x
－
3y+7=0 < br>六．解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半
8、已知x
2
+y
2
=4，求2x+3y的取值范围. （ ）
径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等
等)!
A
?
?
?13,13
?
?
B [
?213,213
] C
?
?5,5
?
D
?
?6,6
?



2

（
（
（

高考数学教案
22
T:ZhengZ
9、已知圆
C
：
(x?a)?(y?2)?4(a?0)
及直线
l:x?y?3?0
，当直线
l
被
C
截得的 弦长为
23
时，则
a?
（ ）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．已知一圆经过点A（2，－3）和B（－2，－5），且圆心C在直线
l：
x?2y?3?0
上，求此圆的标准方程.
A
2
B
2?2
C
2?1
D
2?1



（ ） 10．方程
?
x?y?1
?
x
2
?y
2
?4?0
所表示的图形是
A．一条直线及一个圆
C．一条射线及一个圆
22
B．两个点
D．两条射线及一个圆
17．已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半.
求：动点M的轨迹方程．



18.直线
y?kx?3
与圆
?
x?3
?
2
?
?
y?2
?
2
?4
相交于M,N两点，若
MN?23
，求k的
取值范围

11.如果实数
x,y
满足等式
(x?2)?y?3
，那 么
A、
1
B、
3
C、
3
D、
32
2
y
的最大值是（ ）
x
3

12若动点
P(a,b)
在曲线
y?2x< br>2
?1
上移动，则P与点
Q(0,-1)
连线中点的轨迹方
程 为（ ）
A．
y?2x
2

B．
y?4x
2

C．
y?6x
2

D．
y?8x
2

二、填空题：请把答案填在题中横线上
13．圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2过原点的充要条件是 ．
14．求圆
x
2
?y
2
?1
上的点到直线
x?y?8
的距离的最小值 ．
15．经过点
P(2,?3)
作圆
(x?1)
2
?y< br>2
?25
的弦AB，使点P为弦AB的中点，则弦
AB所在直线方程为



3


19．已知圆C：（x-1)
2
+(y-2)
2
= 25，直线L：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0；
①证明；不论m取什么值，直线L恒 与圆C相交于两点；②求直线被圆C所
截得的弦长最小时，直线L的方程是什么？