2014年全国高中数学奥-重庆高中数学竞赛试题及答案
学而思高中完整讲义：圆.板块七.直线和圆的综合问题.学生版
典例分析
【例1】 如图，在平面直角坐标系中，
?
是一个与
x
轴的正半轴、
y
轴的正半轴分别相切于
点
C
、
D<
br>的定圆所围成的区域（含边界），
A
、
B
、
C
、D
是该圆的四等分点．若
y)
、点
P
?
(x
?
，y
?
)
满足
x
≤
x
?
且
y
≥
y
?
，则称
P
优于
P
?
．
如果
?
中的点
Q
点
P(x，
满足：不存在
?
中的其它点优于
Q
，那么所有这样的点
Q
组成的集合是劣弧
（
）
A．
AB
B．
BC
C．
CD
D．
DA
y
A
D
O
Ω
C
B
x
【例2】 求半径为
4
，与圆
x
2
?y
2
?4x?2y?4?0
相切，且和直线
y?0
相切的圆的方程．
【例3】 据气象台预报：在
A城正东方
300km
的海面
B
处有一台风中心，正以每小时
40
km
的速度向西北方向移动，在距台风中心
250km
以内的地区将受其影响．从现在
起
经过约
h
，台风将影响
A
城，持续时间约为
h
．（结果精确到
0.1h
）
【例4】 有
一种大型商品，
A
、
B
两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得
商品后运回的费用是：每单位距离
A
地的运费是
B
地的运费的
3
倍．已知
A
、
B
两
地距离为
10
千米
，顾客选择
A
地或
B
地购买这种商品的标准是：包括运费和价格
的总
费用较低．求
A
、
B
两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、<
br>曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．
【例5】 设有半径为3km
的圆形村落，
A
、
B
两人同时从村落中心出发，
B
向北直行，
A
先
向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相
切的直线前进，后来恰
与
B
相遇．设
A
、
B
两人速
度一定，其速度比为
3:1
，问两人在何处相遇？
【例6】
已知：过点
A(0,1)
斜率为
k
的直线
l
与⊙
C
：
(x?2)
2
?(y?3)
2
?1
相交与
M
、
N
两
点．
⑴
求实数
k
的取值范围；
⑵ 求证：
AM?AN
为定值；
⑶
若
O
为坐标原点，且
OM?ON?12
，求
k
的值．
轨迹问题
【例7】 已知定点
B(3,0)
，点A
在圆
x
2
?y
2
?1
上运动，
M<
br>是线段
AB
上的一点，且
1
AM?MB
，则点
M的轨迹方程是 ．
3
【例8】 设
A
(?c,0),B(c,0)(c?0)
为两定点，动点
P
到
A
点的
距离与到
B
点的距离的比为
定值
a(a?0)
，求
P
点的轨迹．
【例9】 由动点
P
向圆
x
2
?y
2
?1
引两条切线
PA
、
PB，切点分别为
A
、
B
，
?APB?60?
，
则
动点
P
的轨迹方程是 ．
【例10】 如图，
圆
O
1
与圆
O
2
的圆心都在
x
轴上，半径
都是
1
，
O
1
O
2
?4
，且两圆关于y
轴对
称，过动点
P
分别作圆
O
1
、圆
O
2
的切线
PM
、
PN
，
M
、
N
分别为切点，且
PM?2PN
，试求动点
P
的轨迹方程．
【例11】 已知两定点
A(?2,0)
，
B(1,0
)
，如果动点
P
满足
PA?2PB
，则点
P
的轨迹
所包围
的面积等于（ ）
A．
π
B．
4π
C．
8π
D．
9π
【例12】 已知点
O(0,0),B(m
,0)(m?0)
，动点
P
到
O
、
B
的距离之比为
2:1
，求
⑴
P
点的轨迹方程．
⑵
P
点在什么位置时，
?POB
的面积最大，并求出最大面积．
y
P
OBx
【例13】 如
图所示，已知圆
O：x
2
?y
2
?4
与
y
轴的正方向交于
A
点，点
B
在直线
y?2
上运
动，
过
B
做圆
O
的切线，切点为
C
，求
?ABC
垂心
H
的轨迹．
y
A
B
H
O
C
x
【例14】 从抛物线
y?x
2
的顶点引两条互相垂直的弦
OA、
OB
，作
OM?AB
．则点
M
的轨
迹方程为
．
【例15】 直线
y?kx
与圆
x
2
?y<
br>2
?6x?4y?10?0
相交于两个不同点
A,B
，当
k<
br>取不同实数
值时，求
AB
中点的轨迹方程．
【例16】 已知直线
y?kx?1
与圆
x
2
?y
2
?4
相交于
A
、
B
两点，以
OA
、OB
为邻边作平行
四边形
OAPB
，求点
P
的轨迹方程
．
【例17】 已知圆的方程为
x
2
?y
2
?r
2
，圆内有定点
P(a,b)
，圆周上有两个动点
A<
br>、
B
，使
PA?PB
，求矩形
APBQ
的顶点
Q
的轨迹方程．
直线系与圆系
【例18】 已知圆
M:(x?cos
?
)
2
?(y?si
n
?
)
2
?1
，直线
l:y?kx
，下面四个命题
：
①
对任意实数
k
与
?
，直线
l
和圆
M
相切；
② 对任意实数
k
与
?
，直线
l
和圆
M<
br>有公共点；
③ 对任意实数
?
，必存在实数
k
，使得直线<
br>l
与和圆
M
相切；
④ 对任意实数
k
，必存在实数
?
，使得直线
l
与和圆
M
相切．
其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）
【例19】 设直线系
M:xcos
?
?(y?2)sin<
br>?
?1(0≤
?
≤2π)
，对于下列四个命题：
A．
M
中所有直线均经过一个定点
B．存在定点
P
不在
M
中的任一条直线上
C．对于任意整
数
n(n≥3)
，存在正
n
边形，其所有边均在
M
中的直线
上
D．
M
中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是
（写出所有真命题的代号）．
【例20】 设有一组圆
C
k
:(
x?k?1)
2
?(y?3k)
2
?2k
4
(k?N
*
)
．下列四个命题：
Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切
Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交
Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交
．
Ｄ．所有的圆均不经过原点
．
其中真命题的代号是
．（写出所有真命题的代号）