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高中数学 圆 板块七 直线和圆的综合问题完整讲义(学生版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 06:14
tags:高中数学圆

2014年全国高中数学奥-重庆高中数学竞赛试题及答案

2020年9月21日发(作者:尤家骏)


学而思高中完整讲义:圆.板块七.直线和圆的综合问题.学生版

典例分析


【例1】 如图,在平面直角坐标系中,
?
是一个与
x
轴的正半轴、
y
轴的正半轴分别相切于

C

D< br>的定圆所围成的区域(含边界),
A

B

C
D
是该圆的四等分点.若
y)
、点
P
?
(x
?
,y
?
)
满足
x

x
?

y

y
?
,则称
P
优于
P
?
. 如果
?
中的点
Q

P(x,
满足:不存在
?
中的其它点优于
Q
,那么所有这样的点
Q
组成的集合是劣弧
( )
A.
AB
B.
BC

C.
CD
D.
DA

y
A
D
O


Ω
C
B
x

【例2】 求半径为
4
,与圆
x
2
?y
2
?4x?2y?4?0
相切,且和直线
y?0
相切的圆的方程.


【例3】 据气象台预报:在
A城正东方
300km
的海面
B
处有一台风中心,正以每小时
40 km
的速度向西北方向移动,在距台风中心
250km
以内的地区将受其影响.从现在 起
经过约
h
,台风将影响
A
城,持续时间约为
h
.(结果精确到
0.1h



【例4】 有 一种大型商品,
A

B
两地都有出售,且价格相同.某地居民从两地之一购得
商品后运回的费用是:每单位距离
A
地的运费是
B
地的运费的
3
倍.已知
A

B

地距离为
10
千米 ,顾客选择
A
地或
B
地购买这种商品的标准是:包括运费和价格
的总 费用较低.求
A

B
两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、< br>曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.


【例5】 设有半径为3km
的圆形村落,
A

B
两人同时从村落中心出发,
B
向北直行,
A

向东直行,出村后不久,改变前进方向,沿着与村落周界相 切的直线前进,后来恰

B
相遇.设
A

B
两人速 度一定,其速度比为
3:1
,问两人在何处相遇?


【例6】 已知:过点
A(0,1)
斜率为
k
的直线
l
与⊙
C

(x?2)
2
?(y?3)
2
?1
相交与
M

N


点.
⑴ 求实数
k
的取值范围;
⑵ 求证:
AM?AN
为定值;
⑶ 若
O
为坐标原点,且
OM?ON?12
,求
k
的值.


轨迹问题
【例7】 已知定点
B(3,0)
,点A
在圆
x
2
?y
2
?1
上运动,
M< br>是线段
AB
上的一点,且
1
AM?MB
,则点
M的轨迹方程是 .
3


【例8】 设
A (?c,0),B(c,0)(c?0)
为两定点,动点
P

A
点的 距离与到
B
点的距离的比为
定值
a(a?0)
,求
P
点的轨迹.



【例9】 由动点
P
向圆
x
2
?y
2
?1
引两条切线
PA

PB,切点分别为
A

B

?APB?60?

则 动点
P
的轨迹方程是 .


【例10】 如图, 圆
O
1
与圆
O
2
的圆心都在
x
轴上,半径 都是
1

O
1
O
2
?4
,且两圆关于y
轴对
称,过动点
P
分别作圆
O
1
、圆
O
2
的切线
PM

PN

M

N
分别为切点,且
PM?2PN
,试求动点
P
的轨迹方程.


【例11】 已知两定点
A(?2,0)

B(1,0 )
,如果动点
P
满足
PA?2PB
,则点
P
的轨迹 所包围
的面积等于( )
A.
π
B.

C.

D.




【例12】 已知点
O(0,0),B(m ,0)(m?0)
,动点
P

O

B
的距离之比为
2:1
,求

P
点的轨迹方程.

P
点在什么位置时,
?POB
的面积最大,并求出最大面积.
y
P
OBx




【例13】 如 图所示,已知圆
O:x
2
?y
2
?4

y
轴的正方向交于
A
点,点
B
在直线
y?2
上运
动, 过
B
做圆
O
的切线,切点为
C
,求
?ABC
垂心
H
的轨迹.
y
A
B
H
O
C
x


【例14】 从抛物线
y?x
2
的顶点引两条互相垂直的弦
OA
OB
,作
OM?AB
.则点
M
的轨
迹方程为 .

【例15】 直线
y?kx
与圆
x
2
?y< br>2
?6x?4y?10?0
相交于两个不同点
A,B
,当
k< br>取不同实数
值时,求
AB
中点的轨迹方程.


【例16】 已知直线
y?kx?1
与圆
x
2
?y
2
?4
相交于
A

B
两点,以
OA
OB
为邻边作平行
四边形
OAPB
,求点
P
的轨迹方程 .


【例17】 已知圆的方程为
x
2
?y
2
?r
2
,圆内有定点
P(a,b)
,圆周上有两个动点
A< br>、
B
,使
PA?PB
,求矩形
APBQ
的顶点
Q
的轨迹方程.


直线系与圆系


【例18】 已知圆
M:(x?cos
?
)
2
?(y?si n
?
)
2
?1
,直线
l:y?kx
,下面四个命题 :
① 对任意实数
k

?
,直线
l
和圆
M
相切;
② 对任意实数
k

?
,直线
l
和圆
M< br>有公共点;
③ 对任意实数
?
,必存在实数
k
,使得直线< br>l
与和圆
M
相切;
④ 对任意实数
k
,必存在实数
?
,使得直线
l
与和圆
M
相切.
其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号)


【例19】 设直线系
M:xcos
?
?(y?2)sin< br>?
?1(0≤
?
≤2π)
,对于下列四个命题:
A.
M
中所有直线均经过一个定点
B.存在定点
P
不在
M
中的任一条直线上
C.对于任意整 数
n(n≥3)
,存在正
n
边形,其所有边均在
M
中的直线 上
D.
M
中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号).

【例20】 设有一组圆
C
k
:( x?k?1)
2
?(y?3k)
2
?2k
4
(k?N
*
)
.下列四个命题:
A.存在一条定直线与所有的圆均相切
B.存在一条定直线与所有的圆均相交
C.存在一条定直线与所有的圆均不相交

D.所有的圆均不经过原点

其中真命题的代号是

.(写出所有真命题的代号)

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