【高中数学】新人教版必修二高中数学《圆的标准方程》

凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不 可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自 晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

【高中数学】新人教版必修二高中数学《圆的标准方程》



三维目标：

知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的
标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究 几何问题的能力，
渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培
养学生观 察问题、发现问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的 学习，从
而激发学生学习数学的热情和兴趣。

教学重点：圆的标准方程

教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准
方程。

教学过程：

1、情境设置：

在直角坐标系中，确定直线的基本要 素是什么？圆作为平面几何
中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐
标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是
否也可用一个方程来表示呢？如果能 ，这个方程又有什么特征呢？

探索研究：

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣 。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中 心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。

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凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可 少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍， 其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

2、探索研究：

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)， 半
径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一
点，那么点 M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两
22
(x?a)?(y ?b)?r

点间的距离公式让学生写出点M适合的条件 ①
222
化简可得： ②
(x?a)?(y?b)?r

222
(x?a)?(y?b)?r
引导学生自己证明为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做
圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究

例（1）：写出圆心为半径长等于5的圆的方程，并判断点 是否在
这个圆上。
A(2,?3)
M
1
(5,?7),M
2
(?5,?1)

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

M (x
0
,y
0
)
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
探究：点与圆的关系的判断方法：

(x
0?a)
2
?(y
0
?b)
2
r
2
（1 ）>，点在圆外

(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
r
2
（2）=，点在圆上

(x
0?a)
2
?(y
0
?b)
2
r
2
（3 ）<，点在圆内

例（2）： 的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程
ABC
A(5,1),B(7,?3),C(2,?8),

师生共同分析：从圆的标准方程 可知，要确定圆的标准方程，
可用待定系数法确定三个参数.（学生自己运算解决）
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
a、b、r

邴 原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则 愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不 求资也。

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凡读书......须要读得字字响亮 ，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。 古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到 。

例(3):已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标
准方程.< br>C
l:x?y?1?0A(1,1)
B(2,?2)
l:x?y?1?0
C

师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.
圆心为的圆经 过点和,由于圆心与A,B两点的距离相等，所以圆心在险
段AB的垂直平分线m上，又圆心在直线上， 因此圆心是直线与直线m
的交点，半径长等于或。
C
A(1,1)
B(2,? 2)
CCC
l
C
l
CACB

（教师板书解题过程。）

总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（ 2）、例(3)
可得出外接圆的标准方程的两种求法：
ABC

根据题设条件 ，列出关于的方程组，解方程组得到得值，写出圆
的标准方程.
a、b、ra、b、r

根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大
小，然后再写出圆的标准方程.

练习：课本第1、3、4题
p
127

提炼小结：

圆的标准方程。

点与圆的位置关系的判断方法。

根据已知条件求圆的标准方程的方法。

作业：课本习题4.1第2、3、4题
p
130

仅此学习交流之用
谢谢


邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰： 童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感， 故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。

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