高中数学--圆的方程知识点题型归纳

第一讲 圆的方程
一、知识清单
（一）圆的定义及方程
定义 平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹
标准
y－b)
2
＝r
2
方程
(x－a)
2
＋((r>0) 圆心：(a，b)，半径：r
一般 x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0
圆心：
?
?< br>－
D
2
，－
E
2
?
?
，
方程 (D
2
＋E
2
－4F>0)
半径：
1
2
D
2
＋E
2
－4F
1、圆的标准方程与一般方程的互化
（1）将圆的标准方程 (x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
展开并整理得x< br>2
＋y
2
－2ax－2by＋a
2
＋b
2
－ r
2
＝0，取D＝－
2a，E＝－2b，F＝a
2
＋b
2< br>－r
2
，得x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0. < br>（2）将圆的一般方程x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得 到的方程为：
(x＋
D
2
2
)
2
＋(y＋
E
2
)
2
＝
D＋E
2
－4F
4

①当D
2
＋E
2
－4F>0时，该方程表示以(－
DE1< br>2
，－
2
)为圆心，
2
D
2
＋E
2
－4F为半径的圆；
②当D
2
＋E
2
－4F＝0时，方程 只有实数解x＝－
DEDE
2
，y＝－
2
，即只表示一个点(－2
，－
2
)；③当D
2
＋
E
2
－4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
2、圆的一般方程的特征是：x
2
和y
2
项的系数 都为1 ，没有 xy 的二次项.
3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
（二）点与圆的位置关系
点M(x
0
，y
0
)与圆(x－ a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
的位置关系：
（1 ）若M(x
0
，y
0
)在圆外，则(x
0
－a)
2
＋(y
0
－b)
2
>r
2
.
（2）若M (x
0
，y
0
)在圆上，则(x
0
－a)
2
＋(y
0
－b)
2
＝r
2
.
（3）若M(x< br>0
，y
0
)在圆内，则(x
0
－a)
2
＋( y
0
－b)
2
2

（三）温馨提示
1、方程Ax
2
＋Bxy＋Cy
2
＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：
（1）B＝0； （2）A＝C≠0； （3）D
2
＋E
2
－4AF＞0.
2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．
（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
（2）圆心在任一弦的中垂线上．
（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
3、中点坐标公式：已知平面直角坐标 系中的两点A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2< br>)，点M(x，y)是线段AB的中
点，则x＝
x
1
?x
2< br> ，y＝
y
1
?y
2
2
2
.
二、典例归纳
考点一：有关圆的标准方程的求法
【例1】圆
?
x?
22

a
?
?
?
y?b
?
?m
2
?
m?0
?
的圆心是 ，半径是 .

【例2】 点(1,1)在圆(x－a)
2
＋ (y＋a)
2
＝4内，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)

【例3】 圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A．x
2
＋(y－2)
2
＝1 B．x
2
＋(y＋2)
2
＝1
C．(x－1)
2
＋(y－3)
2
＝1 D．x
2
＋(y－3)
2
＝1

【例4】 圆(x＋2)
2
＋y
2
＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为( )
A．(x－2)
2
＋y
2
＝5 B．x
2
＋(y－2)
2
＝5
C．(x＋2)
2
＋(y＋2)
2
＝5 D．x
2
＋(y＋2)
2
＝5

【变式1】已知圆的方程 为
?
x?1
??
x?2
?
?
?
y?2??
y?4
?
?0
，则圆心坐标为

【 变式2】已知圆C与圆
?
x?1
?
2
?y
2
?1< br>关于直线
y??x
对称，则圆C的方程为

【变式3】 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标 准方

程是( )
A．(x－3)
2
＋
?
?
y－
7
3
?
?
2
＝1 B．(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝1
C．(x－1)
2
＋(y－3)
2
＝1 D.
?
?
x－
3
2
?
?
2
＋(y－1)
2
＝1
【变式4】已知
?ABC
的顶点坐标分别是
A
?< br>?1,5
?
，
B
?
5,5
?
，
C< br>?
6,?2
?
，求
?ABC
外接圆的方程.


方法总结：
1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r的方程组．
2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的
运用．
考点二、有关圆的一般方程的求法
【例1】 若方程x
2
＋y< br>2
＋4mx－2y＋5m＝0表示圆，则
m
的取值范围是( )
A .
1
4
＜m＜1 B．m＜
1
4
或m＞1 C．m＜
1
4
D．m＞1

【例2】 将圆x
2
＋y
2
－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0

【例3】 圆x
2
－2x＋y
2
－ 3＝0的圆心到直线x＋3y－3＝0的距离为________．

【变式1】 已知点< br>P
是圆
C:x
2
?y
2
?4x?ay?5?0
上任意一点，P点关于直线
2x?y?1?0
的对称点也在圆C上，则实数
a
=

【变式2】 已知一个圆经过点
A
?
3, 1
?
、
B
?
?1,3
?
，且圆心在
3x? y?2?0
上，求圆的方程.

【变式3】 平面直角坐标系中有
A
?
0,1
?
,B
?
2,1
?
,C
?3,4
?
,D
?
?1,2
?
四点，这四点能否在同一个 圆
上？为什么？



【变式4】 如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A(0,15)，B(－8,0)，则它的内切圆方程为
_______________ _．

方法总结：
1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于D，E，F的方程组．
2．熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化
考点三、与圆有关的轨迹问题
【例1】 动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为( )
A．x
2
＋y
2
＝32 B．x
2
＋y
2
＝16
C．(x－1)
2
＋y
2
＝16 D．x
2
＋(y－1)
2
＝16

【例2】 方程
y??25?x
2
表示的曲线是（ ）
A. 一条射线 B. 一个圆 C. 两条射线 D. 半个圆

【例3】 在
?ABC
中，若点
B,C
的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线AD的长度 是3，则点A的轨
迹方程是（ ）
A.
x
2
?y
2
?3
B.
x
2
?y
2
?4

C.
x
2
?y
2
?9
?
y?0
?
D.
x
2
?y
2
?9
?
x?0
?


【例4】 已知一曲线是与两个定点O(0,0)，A(3,0)距离的比为
12
的点的轨迹．求这个曲线的方程，并画出
曲线．


【变式1】 方程
x?1?1?
?
y?1
?
2
所表示的曲线是（ ）
A. 一个圆 B. 两个圆 C. 一个半圆 D. 两个半圆

【变式2】 动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为( )
A．x
2
＋y
2
＝32 B．x
2
＋y
2
＝16
C．(x－1)
2
＋y
2
＝16 D．x
2
＋(y－1)
2
＝16
【变式3】 如右图，过点M(－ 6,0)作圆C：x
2
＋y
2
－6x－4y＋9＝0的割线，交圆C于A、B 两点，求线
段AB的中点P的轨迹．







【变式4】 如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x
2
＋y
2
＝1上的动点，连接BC并延长至D，使得
|CD|＝|BC|，求AC与OD 的交点P的轨迹方程．





方法总结：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
（1）直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简．
(2)定义法：根据直线、圆等定义列方程．
(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
考点四：与圆有关的最值问题
【例1】 已知圆x
2
＋y
2
＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________
【例2】 已知x，y满足x
2
＋y
2
＝1，则
y－2x－1
的最小值为________．
【例3】 已知点M是直线3x＋4y－2＝0上 的动点，点N为圆(x＋1)
2
＋(y＋1)
2
＝1上的动点，则|MN|的
最小值是( )
A.
9
5
B．1 C.
4
5
D.
13
5


【例 4】已知实数x，y满足(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝1则2x－y的最大 值为________，最小值为________．

【变式1】 P(x，y)在圆C： (x－1)
2
＋(y－1)
2
＝1上移动，则x
2
＋y2
的最小值为________．

【变式2】 由直线y＝x＋2上的点P向 圆C：(x－4)
2
＋(y＋2)
2
＝1引切线PT(T为切点)，当|PT |最小时，
点P的坐标是( )
A．(－1,1) B．(0,2) C．(－2,0) D．(1,3)

【变式3】 已知两点A(－2,0)，B(0 ,2)，点C是圆x
2
＋y
2
－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小 值是
________．

【变式4】已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的 两条切线，A，B为切点，求四边形
PAMB面积的最小值．



方法总结：解决与圆有关的最值问题的常用方法
（1）形如u＝
y－b
x－ a
的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题
（2） 形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
（3）形如(x－a)
2
＋(y－b)
2
的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．
（4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值：
d?r
（其中d为圆心到直线的
距离）