高中数学必修1框架图-2018重庆高中数学竞赛答案
2019-2020学年高一数学必修二
第三节:圆的方程
1.圆的定义及方程
定义
标准方程
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
(x-a)
2
+(y-b
)
2
=r
2
(r>
0)
x+y+Dx+Ey+F=0,
(D
2
+E
2
-4F>0)
22
圆心:(a,b),半径:
r
DE
-,
?
, 圆心:
?
?
22
?
1
半径:D
2
+E
2
-4F
2
一般方程
2.点与圆的位置关系
点M(x
0
,y
0
)与
圆(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
的位置关系: (1)若M(x
0
,y
0
)在圆外,则(x
0
-a)<
br>2
+(y
0
-b)
2
>r
2
.
(
2)若M(x
0
,y
0
)在圆上,则(x
0
-a)
2
+(y
0
-b)
2
=r
2
.
(3)若
M(x
0
,y
0
)在圆内,则(x
0
-a)
2+(y
0
-b)
2
<r
2
.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( )
(2)方程(x-a)
2
+(y-b)
2
=t
2
(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆
.( )
(3)方程x
2
+y
2
+4mx-2y=0不一定表示圆.( )
2
(4)若点M(x
0
,y
0
)在圆x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0外,则x
2
0
+y
0
+Dx
0
+Ey
0
+F>0.( )
答案:(1)√ (2)×
(3)× (4)√
2.(2016·全国卷Ⅱ)圆x
2
+y
2
-
2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,
则a=( )
4
A.-
3
C.3
3
B.-
4
D.2
解析:选A 因为圆x
2
+y
2
-
2x-8y+13=0的圆心坐标为(1,4),所以圆心到直线ax
+y-1=0的距离d=
|a+4-1|
4
=1,解得a=-.
2
3
a+1
第 1
页 共 22 页
3.(教材习题改编)圆C的直径的两个端点分别是A(
-1,2),B(1,4),则圆C的标准方程
为________.
解析:设圆心C的坐标为(a,b),
-1+12+4
则a==0,b==3,故圆心C(0,3).
22
11<
br>半径r=|AB|=[1-?-1?]
2
+?4-2?
2
=2.
22
∴圆C的标准方程为x
2
+(y-3)
2
=2.
答案:x
2
+(y-3)
2
=2
4.若方程x
2
+y
2
+ax+2ay+2a
2
+a-1=0表示圆,则a的取值范
围是________.
a
3
x+
?
2
+(y+a)2
=-a
2
-a+1,解析:方程x
2
+y
2
+ax+2ay+2a
2
+a-1=0可化为
?
因
?
2?
4
32
为该方程表示圆,所以-a
2
-a+1>0,即3a<
br>2
+4a-4<0,所以-243
2
-2,
?
答案:
?
3
??
5.若点(1,1)在圆(x-a)
2
+(y+a)
2
=4的内部,则实数
a的取值范围是________.
解析:因为点(1,1)在圆(x-a)
2
+(
y+a)
2
=4的内部,所以(1-a)
2
+(1+a)
2
<4.
即a
2
<1,故-1<a<1.
答案:(-1,1)
考点一 求圆的方程
?重点保分型考点——师生共研?
圆的方程的求法是每年高考的热点,题型既有选择题、填空题,也有解答题,难度为
中高档题.
[典题领悟]
(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C:y
2
=2x,过点(
2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是
以线段AB为直径的圆.
?
(1)证明:坐标原点O在圆M上;
?
(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.
?
[学审题]
①由此条件可知,直线AB的方程可设为x=my+2.如果设为点斜式,则需讨论斜率的
第 2 页 共 22 页
存在性;
②若坐标原点O在圆M上,则OA⊥OB;
③由此可知PA⊥PB,|MO|=|MP|.
解:(1)证明:设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),l:x=my+2.
?
?
x=my+2,
由<
br>?
2
可得y
2
-2my-4=0,则y
1
y
2
=-4.
?
?
y=2x
y
2
y2
?y
1
y
2
?
2
12
又x
1
=,x
2
=,故x
1
x
2
==4.
2
24
y
1
y
2
-4
因此OA与OB的斜率之积为·==-1
,
x
1
x
2
4
所以OA⊥OB.
故坐标原点O在圆M上.
(2)法一:由(1)可得y
1
+y
2<
br>=2m,x
1
+x
2
=m(y
1
+y
2)+4=2m
2
+4.
故圆心M的坐标为(m
2
+2,m),
圆M的半径r=?m
2
+2?
2
+m
2
.
―→―→
由于圆M过点P(4,-2),因此AP·BP=0,
故(x
1<
br>-4)(x
2
-4)+(y
1
+2)(y
2
+2)=
0,
即x
1
x
2
-4(x
1
+x
2)+y
1
y
2
+2(y
1
+y
2
)+
20=0.
由(1)可知y
1
y
2
=-4,x
1
x
2
=4.
1
所以2m
2
-m-1=0,解得m=1或m=-.
2
当
m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为10,
圆M的方
程为(x-3)
2
+(y-1)
2
=10.
91
1
,-
?
,圆M的半径当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为
?
2
??
4
2
为
91
8585
x-?
2
+
?
y+
?
2
=. ,圆M的方程为?
?
4
??
2
?
164
法二:由(1)可得y
1
+y
2
=2m,x
1
+x
2
=m(y<
br>1
+y
2
)+4=2m
2
+4.
故圆心M的坐标为(m
2
+2,m).
又圆M过坐标原点O和点P(4,-2),
∴|MO|=|MP|,
即(m
2
+2)
2
+m
2
=(m
2
-2)
2<
br>+(m+2)
2
,
整理得2m
2
-m-1=0,
1
解得m=1或m=-.
2
当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,
圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为10,
第 3 页 共 22 页
圆M的方程为(x-3)
2
+(y-1)
2
=10.
91
1
,-
?
,圆M的半径当m=-时,直线l的方程为2x+y-
4=0,圆心M的坐标为
?
2
??
4
2
为
918585
x-
?
2
+
?
y+
?
2=. ,圆M的方程为
?
?
4
??
2
?
164
[解题师说]
1.求圆的方程的2种方法
(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.
(2)待定系数法:
①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据
已知条件列出关于
a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;
②若已知条件没有明确给
出圆心或半径,则选择设圆的一般方程,依据已知条件列出
关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,
F的值.
2.确定圆心的方法
求圆的标准方程,其关键是确定圆心,确定圆心的主要方法有:
(1)当题目条件中出现直线
与圆相切时,可利用圆心在过切点且与切线垂直的直线上来
确定圆心位置;
(2)当题目条件中出现直线与圆相交,可考虑圆心在弦的垂直平分线上;
(3)当题目条件出现两圆相切时,可考虑切点与两圆的圆心共线.
[冲关演练]
1.已知圆心在直线y=-4x上,且圆与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2),则该
圆的
方程是________________.
解析:过切点且与x+y-1=0垂直的直线方程为x-
y-5=0,与y=-4x联立可求得
圆心为(1,-4).
所以半径r=?3-1?
2
+?-2+4?
2
=22,
故所求圆的方程为(x-1)
2
+(y+4)
2
=8.
答案:(x-1)
2
+(y+4)
2
=8
x
2<
br>y
2
2.一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准<
br>164
方程为________________.
解析:由题意知a=4,b=2,
上、下顶点的坐标分别为(0,2),(0,-2),右顶点的坐标
为(4,0).由圆心在x轴的正半
轴上知圆过点(0,2),(0,-2),(4,0)三点.设圆的标准方程为
(x-m)
2<
br>+y
2
=r
2
(0
第 4
页 共 22 页
?
m+4=r,
?
则
?
解得
22
?
?
?4-m?=r,
22
?
?
25
?
r=
4
.
2
3
m=,
2
3
25
x-
?
2
+y
2
=. 所以圆的标
准方程为
?
?
2
?
4
3
25
x-
?
2
+y
2
= 答案:
?
?
2
?
4
3.(2018·广东七校联考)一个圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且在直线y=x<
br>上截得的弦长为27,则该圆的方程为________________.
解析:法一:∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上,
∴设所求圆的圆心为(3a,a),
又所求圆与y轴相切,∴半径r=3|a|,
又所求圆在直线y=x上截得的弦长为27,
|2a|
圆心(3a,a)到直线y=x的距离d==2|a|,
2
∴d<
br>2
+(7)
2
=r
2
,即2a
2
+7=9a
2
,∴a=±1.
故所求圆的方程为(x-3)
2
+(
y-1)
2
=9或(x+3)
2
+(y+1)
2
=9. <
br>法二:设所求圆的方程为(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
,
|a-b|
则圆心(a,b)到直线y=x的距离为,
2
?a-b?
2
∴r=+7,
2
2
即2r
2
=(a-b)
2
+14.①
由于所求圆与y轴相切,
∴r
2
=a
2
,②
又∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上,
∴a-3b=0,③
a=3,
?
?
联立①②③,解得
?
b=1,
?
?
r
2
=9
a=-3,
?
?
或
?
b=-1,
?
?
r
2
=9.
故所求圆的方程为(
x-3)
2
+(y-1)
2
=9或(x+3)
2
+(y+1
)
2
=9.
答案:(x-3)
2
+(y-1)
2
=9或(x+3)
2
+(y+1)
2
=9
考点二
与圆有关的轨迹问题
?重点保分型考点——师生共研?
以圆为载体的轨迹方程的求法常出现在高考试题中,题型既有选择题、填空题,有时
第 5 页 共 22 页
也出现在解答题中,难度适中,属于中低档题.
[典题领悟]
设定点M(-3,4),动点N在圆x
2
+y2
=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形
MONP,求点P的轨迹.
x
y
?
解:如图,设P(x,y),N(x
0
,y
0
),则线
段OP的中点坐标为
?
?
2
,
2
?
,
x<
br>0
-3y
0
+4
?
线段MN的中点坐标为
?
?
2
,
2
?
.
因为平行四边形的对角线互相平分, ?
?
x
0
=x+3,
x
x
0
-3y
y
0
+4
所以=,=,整理得
?
2222
?
?
y
0
=y-4.
又点N(x+3,y-4)在圆x
2
+y
2
=4上,
所以(x+3)
2
+(y-4)
2
=4.
所以点P的轨迹
是以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,因为O,M,P三点不共线,所以
9122128
-
,
?
和
?
-,
?
.
应除去两点
?
?
55
??
55
?
[解题师说]
1.掌握“3方法”
2.明确“5步骤”
3.关注1个易错点
第 6 页 共 22 页
此类问题在解题过程中,常因忽视对特殊点的验证而造成解题失误.(如典题领悟)
[冲关演练]
在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为22,在y轴上截
得线段
长为23.
(1)求圆心P的轨迹方程;
(2)若P点到直线y=x的距离为
2
,求圆P的方程.
2
解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r.
由题设y
2
+2
=r
2
,x
2
+3=r
2
,从而y
2
+2
=x
2
+3.
故P点的轨迹方程为y
2
-x
2
=1.
(2)设P(x<
br>0
,y
0
).由已知得
|x
0
-y
0
|
2
=.
2
2
又P点在双曲线y
2
-x
2
=1上,
?
?
|x
0
-y
0
|=1,
从而得
?<
br>22
?
y-x=1.
?
00
??
?
x
0
-y
0
=1,
?
x
0
=0,
?
由
22
得
?
?
y
0
-x<
br>0
=1,
?
??
y
0
=-1.
此时,圆P的半径r=3.
??
?
x
0
-y
0<
br>=-1,
?
x
0
=0,
由
?
22
得
?
??
y-x=1,y=1.
?
0
?
00
此时,圆P的半径r=3.
故圆P的方程为x
2
+(y-1)
2<
br>=3或x
2
+(y+1)
2
=3.
考点三
与圆有关的最值问题
?题点多变型考点——追根溯源?
与圆有关的
最值问题是命题的热点内容,重在考查数形结合与转化思想.,常见的命题角
度有:,?1?斜率μ=f
(y-b,x-a)型最值问题;,?2?截距μ=ax+by型最值问题;,?3?距离μ=
?x-a
?
2
+?y-b?
2
型最值问题.
[题点全练]
角度(一) 斜率μ=
y-b
型最值问题
x-a
y
1.已
知实数x,y满足方程x
2
+y
2
-4x+1=0,求
x
的
最大值和最小值.
解:原方程可化为(x-2)
2
+y
2
=3,
表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆.
第 7 页 共 22 页
y
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,
x
y
所以设
x
=k,即y=kx.
当直线y=kx与圆相切时(如图),斜率k取最大值或最小值,
此时
|2k-0|
=3,
k
2
+1
解得k=±3.
y
所以
x
的最大值为3,最小值为-3.
[题型技法] 形如μ=
y-b
型的最值问题,可转化过定点(a,b)的动直线斜率的最值问
x-a
y
y-0
题求解.如本题=表示过坐标圆点的直线的斜率.
x
x-0
角度(二) 截距μ=ax+by型最值问题
2.已知实数x,y
满足方程x
2
+y
2
-4x+1=0,求y-x的最大值和最小值.
解:y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,如图所示,当直
|2-0+b|
线y=
x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时
2
=3,解得b=-2±6.所以y-
x的最大值为-2+6,最小值为-2
-6.
[题型技法] 形如μ=ax+by型的最值问
题,常转化为动直线截距的最值问题求解.如
本题可令b=y-x,即y=x+b,从而将y-x的最值
转化为求直线y=x+b的截距的最值问
题.另外,此类问题也常用三角代换求解.由于圆的方程可整理
为(x-2)
2
+y
2
=3,故可令
?
x-2=3cos
θ,
?
x=3cos
θ+2,
π
θ-
?
?
即
?
从而y-x=3sin
θ-3cos θ-2=6sin
?
?
4
?
?
y=3sin
θ,
?
y=3sin θ,
-2,进而求出y-x的最大值和最小值.
角度(三) 距离μ=(x-a)
2
+(y-b)
2
型最值问题 <
br>3.已知实数x,y满足方程x
2
+y
2
-4x+1=0,求x
2
+y
2
的最大值和最小值.
解:如图所示,x
2
+y
2
表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面
几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两
个交点处取得最大值和最小值.
又圆心到原点的距离为
?2-0?
2
+?0-0?
2
=2,
所以x
2<
br>+y
2
的最大值是(2+3)
2
=7+43,
第 8 页 共 22 页
x
2
+y
2
的
最小值是(2-3)
2
=7-43.
[题型技法] 形如μ=(x-a)
2
+(y-b)
2
型的最值问题,可转化为动点(x,y)与定点(a,
b)的
距离的平方求最值.如本题中x
2
+y
2
=(x-0)
2
+
(y-0)
2
,从而转化为动点(x,y)与坐标
原点的距离的平方.
[题“根”探求]
角度(一)是求μ=
看个性
y-b
型最值问题;
x-a
y
角度(二)是将角度一中的变换为y-x,即求μ=ax+by型最值问题;
x
角度(三)则是将所求问题变为求距离的平方的最值问题
求解与圆有关的最值问题,其通法是数形结合和转化化归思想,其流程
为:
找共性
[冲关演练]
1.(2018·厦门模拟)已知两点A(0,-3),
B(4,0),若点P是圆C:x
2
+y
2
-2y=0上的
动点,则
△ABP的面积的最小值为( )
A.6
C.8
11
B.
2
21
D.
2
解析:选B x
2
+y
2
-2y=0可化为x
2
+(y-1)
2<
br>=1,则圆C为以(0,1)
为圆心,1为半径的圆.如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆于点
P,
xy
连接BP,AP,这时△ABP的面积最小,直线AB的方程为+=1,
4<
br>-3
即3x-4y-12=0,圆心C到直线AB的距离d=
16
?
1
11
积的最小值为×5×
?
?
5
-1
?
=
2
.
2
y+1
2.已知实数x,y满足(x-2)
2<
br>+(y-1)
2
=1,则z=
x
的最大值与最小值分别为______
__
和________.
16
,又|AB|=3
2
+4
2
=5,∴△ABP的面
5
第 9 页 共 22 页
<
br>y+1
解析:由题意,得表示过点A(0,-1)和圆(x-2)
2
+(y-1
)
2
=1上的动点(x,y)的直
x
线的斜率.当且仅当直线与圆相切时,直
线的斜率分别取得最大值和最小值.设切线方程
为y=kx-1,即kx-y-1=0,则
4+
74-7
33
(一)普通高中适用作业
A级——基础小题练熟练快
1.经过点(1,0),且圆心是两直线x=1与x+y=2的交点的圆的方程为( )
A.(x-1)
2
+y
2
=1
B.(x-1)
2
+(y-1)
2
=1
C.x
2
+(y-1)
2
=1
D.(x-1)
2
+(y-1)
2
=2
??
?
x=1,
?
x=1,
?
解析:选B
由得
?
??
?
x+y=2,
?
y=1,
|2k-2|4+74-7
4±7
=1,解得k=,所以z=,z=.
maxmin
333
k
2
+1
答案:
即所求圆的圆心坐标为(1,1),
又由该圆过点(1,0),得其半径为1,
故圆的方程为(x-1)
2
+(y-1)
2
=1.
2.已
知直线l:x+my+4=0,若曲线x
2
+y
2
+2x-6y+1=0上存
在两点P,Q关于直
线l对称,则m的值为( )
A.2
C.1
B.-2
D.-1
解析:选D 因为曲线x
2<
br>+y
2
+2x-6y+1=0是圆(x+1)
2
+(y-3)
2
=9,若圆(x+1)
2
+
(y-3)
2
=9上存在两点
P,Q关于直线l对称,则直线l:x+my+4=0过圆心(-1,3),所以
-1+3m+4=0,
解得m=-1.
3.若圆x
2
+y
2
+2ax-b
2=0的半径为2,则点(a,b)到原点的距离为( )
A.1
C.2
解析:选B 由半径r=
B.2
D.4
11
D
2
+E
2
-4F=4a
2
+4b
2
=2,得a2
+b
2
=2.
22
∴点(a,b)到原点的距离d=a2
+b
2
=2,故选B.
4.点P(4,-2)与圆x
2+y
2
=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A.(x-2)
2
+(y+1)
2
=1
B.(x-2)
2
+(y+1)
2
=4
第 10 页 共 22
页
C.(x+4)
2
+(y-2)
2
=4
D.(x+2)
2
+(y-1)
2
=1
1
解析:选A <
br>4
,
?
x=
x+
2
设圆上任意一点为(x,y),中
点为(x,y),则
?
y-2
y=
?
2
,
111
即
?
?
x
1
=2x-4,
?代入x
2
+y
2
=4,得(2x-4)
2
+(2y+2
)
2
=4,化简得(x-2)
2
+(y+1)
2
=1.
?
y
1
=2y+2,
?
5.(2018·成都高
新区月考)已知圆C经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心C在直线l:x
-y+1=0上,则
该圆的面积是( )
A.5π
C.17π
B.13π
D.25π
解析:选D 法一:设圆心为(a,a+1),半径为r(r>0),则圆的
标准方程为(x-a)
2
+(y
222
?
?
?1-a?+?
-a?=r,
-a-1)=r,又圆经过点A(1,1)和点B(2,-2),故有
?
解得
222
?
?2-a?+?-3-a?=r,
?
22
?
?
a=-3,
?
故该圆的面积是25π.
?
r=5,
?
3
11
x-
?
,
即x-3y-3=0上.由法二:由题意可知圆心C在AB的中垂线y+=
?
23
?<
br>2
?
??
?
x-3y-3=0,
?
x=-3,
?
解得
?
故圆心C为(-3,-2),半径r=|AC|=5,圆的面积是25π.
??
x-y+1=0,y=-2,
??
6.已知圆C的圆心是直
线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,
则圆C的方程为( )
A.(x+1)
2
+y
2
=2
C.(x-1)
2
+y
2
=2
B.(x+1)
2
+y
2
=8
D.(x-1)
2
+y
2
=8
解析:选A
直线x-y+1=0与x轴的交点(-1,0).
根据题意,圆C的圆心坐标为(-1,0). |-1+0+3|
因为圆与直线x+y+3=0相切,所以半径为圆心到切线的距离,即r=d=<
br>1
2
+1
2
=2,
则圆的方程为(x+1)
2
+y
2
=2.
7.(2018
·广州综合测试)若一个圆的圆心是抛物线x
2
=4y的焦点,且该圆与直线y=x
+
3相切,则该圆的标准方程是________________.
解析:抛物线x
2
=4y的焦点为(0,1),即圆心为(0,1),设该圆的标准方程是x
2
+(y-1)<
br>2
第 11 页 共 22 页
=r
2
(
r>0),因为该圆与直线y=x+3相切,所以r=d=
x
2
+(y-1)
2
=2.
答案:x
2
+(y-1)
2
=2
|-
1+3|
=2,故该圆的标准方程是
2
8.在平面直角坐标系内,若曲线C:x
2
+y
2
+2ax-4ay+5a
2
-4=0上所有的点均在第<
br>四象限内,则实数a的取值范围为________.
解析:圆C的标准方程为(x+a)2
+(y-2a)
2
=4,所以圆心为(-a,2a),半径r=2,故由
a<0,
?
?
题意知
?
|-a|>2,
?
?|2a|>2,
解得a<-2,故实数a的取值范围为(-∞,-2).
答案:(-∞,-2)
9.(2018·德州模拟)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M
(0,5)在圆C上,且圆
心到直线2x-y=0的距离为
45
,则圆C的方程为__
______________.
5
解析:因为圆C的圆心在x轴的正半轴上,设C(a,0
),且a>0,所以圆心到直线2x-
y=0的距离d=
2a
45
=,解得a
=2,所以圆C的半径r=|CM|=4+5=3,所以圆C的
5
5
方程为(x-2)
2
+y
2
=9.
答案:(x-2)
2
+y
2
=9
10.在平面直角坐标系
xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相
切的所有圆中,半径最
大的圆的标准方程为________________.
解析:因为直线mx-y-2m-1=0(
m∈R)恒过点(2,-1),所以当点(2,-1)为切点时,
半径最大,此时半径r=2,故所求圆
的标准方程为(x-1)
2
+y
2
=2.
答案:(x-1)
2
+y
2
=2
B级——中档题目练通抓牢
1.(2018·南昌检测)圆心在y轴上,且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程为(
)
A.x
2
+y
2
+10y=0
C.x
2
+y
2
+10x=0
B.x
2
+y
2
-10y=0
D.x
2
+y
2
-10x=0
解析:选B 根据题意,设圆心坐标
为(0,r),半径为r,则3
2
+(r-1)
2
=r
2
,
解得r=
5,可得圆的方程为x
2
+y
2
-10y=0.
2.(2018·银川模拟)方程|y|-1=1-?x-1?
2
表示的曲线是(
)
A.一个椭圆
C.两个圆
B.一个圆
D.两个半圆
第 12 页 共 22 页
解析:选D 由题意知|y|-
1≥0,则y≥1或y≤-1,当y≥1时,原方程可化为(x-1)
2
+(y-1)
2
=1(y≥1),其表示以(1,1)为圆心、1为半径、直线y=1上方的半圆;当y≤-1
时,原方程可化为(x-1)
2
+(y+1)
2
=1(y≤-1),其表示
以(1,-1)为圆心、1为半径、直线
y=-1下方的半圆.所以方程|y|-1=1-?x-1?<
br>2
表示的曲线是两个半圆,选D.
3.已知圆C与直线y=x及x-y-4=0都相切
,圆心在直线y=-x上,则圆C的方
程为( )
A.(x+1)
2
+(y-1)
2
=2
C.(x-1)
2
+(y-1)
2
=2
B.(x+1)
2
+(y+1)
2
=2
D.(x-1)
2
+(y+1)
2
=2
|4|
=22,
2
解析:选D 由题意知x-y=0 和x-y-4=0平行
,且它们之间的距离为
所以r=2.又因为x+y=0与x-y=0,x-y-4=0均垂直,所以由x
+y=0和x-y=0
联立得交点坐标为(0,0),由x+y=0和x-y-4=0联立得交点坐标为
(2,-2),所以圆心
坐标为(1,-1),圆C的标准方程为(x-1)
2
+(y
+1)
2
=2.
4.已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段,
弧长比为1∶2,则圆C
的方程为 ________________.
2π
解析:由已知圆心在y轴上,且被x轴所分劣弧所对圆心角为,设圆心(0,a), 半径
3
ππ
243
为r,则rsin=1,rcos=|a|,解得r=,即r<
br>2
=,|a|=,
3333
3
3
?
3
?<
br>4
即a=±,故圆C的方程为x
2
+
y±
2
=. <
br>3
?
3
?
3
答案:x
2
+
y±?
?
3
?
2
4
=
3
?
3<
br>5.当方程x
2
+y
2
+kx+2y+k
2
=0所表
示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2
的倾斜角α=________.
解析
:由题意可知,圆的半径r=
1
2
1
k+4-4k
2
=4-
3k
2
≤1,当半径r取最大值时,
22
圆的面积最大,此时k=0,r=1
,所以直线方程为y=-x+2,则有tan
α=-1,又α∈[0,
3π
π),故α=
.
4
答案:
3π
4
6.已知以点P为圆心的圆经过点A(-
1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于
点C和D,且|CD|=410.
(1)求直线CD的方程;
(2)求圆P的方程.
解:(1)由题意知,直线AB
的斜率k=1,中点坐标为(1,2).则直线CD的方程为y-2
第 13 页 共 22
页
=-(x-1),即x+y-3=0.
(2)设圆心P(a,b),则由点P在CD上得a+b-3=0.①
又∵直径|CD|=410,
∴|PA|=210,
∴(a+1)
2
+b
2
=40.②
??
?
a=-3,
?
a=5,
?
由①②解得或
?
?
b=6
?
??
b=-2.
∴圆心P(-3,6)或P(5,-2).
∴圆P的方程为(x+3)
2
+
(y-6)
2
=40或(x-5)
2
+(y+2)
2
=40
.
7.已知过原点的动直线l与圆C
1
:x
2
+y
2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.
(1)求圆C
1
的圆心坐标.
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.
解:(1)把圆C
1
的方程化
为标准方程得(x-3)
2
+y
2
=4,
∴圆C
1
的圆心坐标为C
1
(3,0).
(2)设M(x
,y),∵A,B为过原点的直线l与圆C
1
的交点,且M为AB的中点,
―→―→
∴由圆的性质知:MC
1
⊥MO,∴MC
1
·MO=0.
―→―→
又∵MC
1
=(3-x,-y),MO=(-x,-y),
∴x
2
-3x+y
2
=0.
易知直线l的斜率存在,
故设直线l的方程为y=mx,
当直线l与圆C
1
相切时,
圆心到直线l的距离d=
25
解得m=±.
5
把相切时直线l的方程代入圆C
1
的方程化简得
5
9x
2
-30x+25=0,解得x=.
3
当直线l经过圆C
1
的圆心时,M的坐标为(3,0).
又∵直线l与圆C
1
交于A,B两点,M为AB的中点,
5
∴
5
∴点M的轨迹C的方程为x
2
-3x+y
2
=0,其中
|3m-0|
=2,
m
2
+1
第 14 页 共 22
页
C级——重难题目自主选做
1.已知M(m,n)为圆C:x
2
+y
2
-4x-14y+45=0上任意一点.
(1)求m+2n的最大值;
(2)求
n-3
的最大值和最小值.
m+2
解:(1)因为x
2
+y
2
-4x-14y+45=0的圆
心C(2,7),半径r=22,设m+2n=t,将m
+2n=t看成直线方程,
因为该直线与圆有公共点,
所以圆心到直线的距离d=
|2+2×7-t|
≤22,
1
2
+2
2
解得16-210≤t≤16+210,
所以m+2n的最大值为16+210.
(2)记点Q(-2,3),
n-3
因为表示直线MQ的斜率k,
m+2
所以直线MQ的方程为y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0.
由直线MQ与圆C有公共点,
得
|2k-7+2k+3|
≤22.
1+k
2
可得2-3≤k≤2+3,
n-3
所以的最大值为2+3,最小值为2-3.
m+2
2.已知圆C的方
程为x
2
+(y-4)
2
=1,直线l的方程为2x-y=0,点P在直线l
上,
过点P作圆C的切线PA,PB,切点为A,B.
(1)若∠APB=60°,求点P的坐标;
(2)求证:经过A,P,C(其中点C为圆C
的圆心)三点的圆必经过定点,并求出所有定
点的坐标.
解:(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0,4),|PC|=2,
6
设P(a,
2a),则a
2
+?2a-4?
2
=2,解得a=2或a=,
5<
br>612
?
所以点P的坐标为(2,4)或
?
?
5
,<
br>5
?
.
(2)证明:设P(b,2b),过点A,P,C的圆即是以PC为直
径的圆,其方程为x(x-b)+(y
-4)(y-2b)=0,
第 15 页
共 22 页
整理得x
2
+y
2
-bx-4y-2
by+8b=0,
即(x
2
+y
2
-4y)-b(x+2y-8)=0.
?
?
?
x+y-4y=0,
?
x=0,
?
由解得
?<
br>或
?
x+2y-8=0
?
??
y=4
22
?
?
16
?
y=
5
,
8
x=,<
br>5
816
?
所以该圆必经过定点(0,4)和
?
?
5
,
5
?
.
(二)重点高中适用作业
A级——保分题目巧做快做
1.以M(1,0)为圆心,且与直线x-y+3=0相切的圆的方程是( )
A.(x-1)
2
+y
2
=8
C.(x-1)
2
+y
2
=16
B.(x+1)
2
+y
2
=8
D.(x+1)
2
+y
2
=16
解析:选A
因为所求圆与直线x-y+3=0相切,
所以圆心M(1,0)到直线x-y+3=0的距离即为该圆
的半径r,即r=
所以所求圆的方程为(x-1)
2
+y
2
=8.
2.若圆C的半径为1,圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,则圆C的标准方程为( )
A.x
2
+y
2
=1
C.(x-1)
2
+y
2
=1
B.(x-3)
2
+y
2
=1
D.x
2
+(y-3)
2
=1
|1-0+3|
=22.
2
解析:选A 因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,故由中点坐标公式可得C(
0,0),所
以所求圆的标准方程为x
2
+y
2
=1.
3
.(2018·兰州模拟)若直线ax+by+1=0(a>0,b>0)把圆(x+4)
2
+
(y+1)
2
=16分成面积
12
相等的两部分,则+
b
的
最小值为( )
2a
A.10
C.5
B.8
D.4
解析:选B ∵圆(x+4)
2
+(y+1)
2
=16的圆
心坐标为(-4,-1),直线ax+by+1=0
把圆分成面积相等的两部分,∴该直线过点(-4,
-1),∴-4a-b+1=0,即4a+b=1,
∴
8ab
12
?
12
?
+
b
=
?
2a
+
b
?(4a+b)=4+
b
+≥4+2
2a2a
8ab
11
×=8,当且仅当a=,b=时取
b
2a82
“=”,故选B.
4.(20
18·湖北七市(州)联考)关于曲线C:x
2
+y
4
=1,给出下列四个命
题:
①曲线C有两条对称轴,一个对称中心;
第 16 页 共 22 页
②曲线C上的点到原点距离的最小值为1;
③曲线C的长度l满足l>42;
④曲线C所围成图形的面积S满足π上述命题中,真命题的个数是( )
A.4
C.2
B.3
D.1
解析:选A ①将(x
,-y),(-x,y),(-x,-y)代入,方程不变,
确定曲线C关于x轴,y轴对称,关于原点
对称,故①正确.
②x
2
+y
4
=1?0≤x
2
≤1,0≤y
4
≤1,故x
2
+y
2
≥x
2
+y
2
·y
2
=x
2
+y
4
=1,即曲线C上的点到原点的距离为x
2
+y
2
≥1,故②正确;
③由②知,x
2
+y
4
=1的图象位于单位圆x
2
+y2
=1和边长为2的正方形之间,如图所
示,其每一段弧长均大于2,所以l>42,故③
正确;
④由③知,π×1
25.已知圆C与直线y=x及x-y-4=0都相切,圆心在直线y=-x上,则圆C的方
程为(
)
A.(x+1)
2
+(y-1)
2
=2
C.(x-1)
2
+(y-1)
2
=2
B.(x+1)
2
+(y+1)
2
=2
D.(x-1)
2
+(y+1)
2
=2
|4|
=22,
2
解析:选D 由题意知x-y=0 和x-y-4=0平行
,且它们之间的距离为
所以r=2.又因为x+y=0与x-y=0,x-y-4=0均垂直,所以由x
+y=0和x-y=0
联立得交点坐标为(0,0),由x+y=0和x-y-4=0联立得交点坐标为
(2,-2),所以圆心
坐标为(1,-1),圆C的标准方程为(x-1)
2
+(y
+1)
2
=2.
6.圆(x-2)
2
+y
2
=4
关于直线y=
3
x对称的圆的方程是________.
3
解析:圆与圆关
于直线对称,则圆的半径相同,只需圆心关于直线对称即可.设所求
圆的圆心坐标为(a,b), b-0
3
×
?
?
a-2
3
=-1,
则
?
b+0
3
a+2
=
?
?
23
×
2
,
?
a=1,
解得
?
所以圆(x-2
)
2
+y
2
=4的圆心关于直线y=
?
b=3,
3
x对称的点的坐标为(1,3),从而所求圆的方程为(x-1)
2
+(y
-3)
2
=4.
3
答案:(x-1)
2
+(y-3)
2
=4
7.
在平面直角坐标系内,若曲线C:x
2
+y
2
+2ax-4ay+5a
2
-4=0上所有的点均在第
四象限内,则实数a的取值范围为________.
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解析:圆C的标准方程为(x+a)
2
+(y-2a)
2
=4,所以圆心为(-a,2a),半径r=2,故由<
br>a<0,
?
?
题意知
?
|-a|>2,
?
?
|2a|>2,
解得a<-2,故实数a的取值范围为(-∞,-2).
答案:(-∞,-2)
x≥0,
?
?
8.已知平面区域
?
y≥0,
?
?
x+2y-4≤0
恰好被面积最小的圆C:
(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
及其内
部所覆
盖,则圆C的方程为____________________.
解析:由题意知,此平面区域表示
的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其
内部,所以覆盖它的且面积最小
的圆是其外接圆.
∵△OPQ为直角三角形,
∴圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r
=
因此圆C的方程为(x-2)
2
+(y-1)
2
=5.
答案:(x-2)
2
+(y-1)
2
=5
9.已知过原点
的动直线l与圆C
1
:x
2
+y
2
-6x+5=0相交于不
同的两点A,B.
(1)求圆C
1
的圆心坐标.
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.
解:(1)把圆C
1
的方程化
为标准方程得(x-3)
2
+y
2
=4,
∴圆C
1
的圆心坐标为C
1
(3,0).
(2)设M(x
,y),∵A,B为过原点的直线l与圆C
1
的交点,且M为AB的中点,
―→―→
∴由圆的性质知:MC
1
⊥MO,∴MC
1
·MO=0.
―→―→
又∵MC
1
=(3-x,-y),MO=(-x,-y),
∴x
2
-3x+y
2
=0.
易知直线l的斜率存在,
故设直线l的方程为y=mx,
当直线l与圆C
1
相切时,
圆心到直线l的距离d=
25
解得m=±.
5
把相切时直线l的方程代入圆C
1
的方程化简得
5
9x
2
-30x+25=0,解得x=.
3
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|PQ|
=5,
2
|3m-0|
=2,
m
2
+1
当直线l经过圆C
1
的圆心时,M的坐标为(3,0).
又∵直线l与圆C
1
交于A,B两点,M为AB的中点,
5
∴
5
∴点M的轨迹C的方程为x
2
-3x+y
2
=0,其中
10.已知M
(m,n)为圆C:x
2
+y
2
-4x-14y+45=0上任意一点.
(1)求m+2n的最大值;
(2)求
n-3
的最大值和最小值.
m+2
解:(1)因为x
2
+y
2
-4x-14y+45=0的圆
心C(2,7),半径r=22,设m+2n=t,将m
+2n=t看成直线方程,
因为该直线与圆有公共点,
所以圆心到直线的距离d=
|2+2×7-t|
≤22,
1
2
+2
2
解得16-210≤t≤16+210,
所以m+2n的最大值为16+210.
(2)记点Q(-2,3),
n-3
因为表示直线MQ的斜率k,
m+2
所以直线MQ的方程为y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0.
由直线MQ与圆C有公共点,
得
|2k-7+2k+3|
≤22.
1+k
2
可得2-3≤k≤2+3,
n-3
所以的最大值为2+3,最小值为2-3.
m+2
B级——拔高题目稳做准做
1.(2018·银川模拟)方程|y|-1=1-?x-1?
2
表示的曲线是(
)
A.一个椭圆
C.两个圆
B.一个圆
D.两个半圆
解析:选D 由题意知|y|-1≥0,则y≥1或y≤-1,当y≥1时,原方程可化为(x-1)<
br>2
+(y-1)
2
=1(y≥1),其表示以(1,1)为圆心、1为半径、直
线y=1上方的半圆;当y≤-1
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时
,原方程可化为(x-1)
2
+(y+1)
2
=1(y≤-1),其表示以(
1,-1)为圆心、1为半径、直线
y=-1下方的半圆.所以方程|y|-1=1-?x-1?
2
表示的曲线是两个半圆,选D.
2.已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴
分成两段,弧长比为1∶2,则圆C
的方程为 ________________.
2π
解析:由已知圆心在y轴上,且被x轴所分劣弧所对圆心角为,设圆心(0,a), 半径
3
ππ
243
为r,则rsin=1,rcos=|a|,解得r=,即r<
br>2
=,|a|=,
3333
3
3
?
3
?<
br>4
即a=±,故圆C的方程为x
2
+
y±
2
=. <
br>3
?
3
?
3
答案:x
2
+
y±?
?
3
?
2
4
=
3
?
3<
br>3.当方程x
2
+y
2
+kx+2y+k
2
=0所表
示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2
的倾斜角α=________.
解析
:由题意可知,圆的半径r=
1
2
1
k+4-4k
2
=4-
3k
2
≤1,当半径r取最大值时,
22
圆的面积最大,此时k=0,r=1
,所以直线方程为y=-x+2,则有tan
α=-1,又α∈[0,
3π
π),故α=
.
4
答案:
3π
4
4.已知圆C和直线x-6y-10=0
相切于点(4,-1),且经过点(9,6),则圆C的方程为
________________.
解析:因为圆C和直线x-6y-10=0相切于点(4,-1),
所以过点(4,-1)的直径所在直线的斜率为-6,
其方程为y+1=-6(x-4),
即y=-6x+23.
13
55
x-
?
上,即5x又因为
圆心在以(4,-1),(9,6)两点为端点的线段的中垂线y-=-
?
2
?
27
?
+7y-50=0上,
?
?
y=-6x+23,
由
?
解得圆心坐标为(3,5),
?
5x+7y-50=0
?
所以半径为?9-3?
2
+?6-5?
2
=37,
故所求圆的方程为(x-3)
2
+(y-5)
2
=37.
答案:(x-3)
2
+(y-5)
2
=37
5.已知圆C
过点P(1,1),且与圆M:(x+2)
2
+(y+2)
2
=r
2
(r>0)关于直线x+y+2=0
对称.
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(1)求圆C的方程;
―→―→
(2)设Q为圆C上的一个动点,求PQ·MQ的最小值.
解:(1)设圆心C(a,b),由已知得M(-2,-2),
a-2b-2
??
2
+
2
+2=0,
则
?
b+2
?<
br>?
a+2
=1,
则圆C的方程为x
2
+y
2
=r
2
,
将
点P的坐标代入得r
2
=2,故圆C的方程为x
2
+y
2
=
2.
(2)设Q(x,y),则x
2
+y
2
=2,
―→―→
PQ·MQ=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)
=x
2
+y
2
+x+y-4=x+y-2.
令x=2cos θ,y=2sin θ,
―→―→
所以PQ·MQ=x+y-2
=2(sin θ+cos θ)-2
π
θ+
?
-2,
=2sin
?
?
4
?
?
?
a=0,
解得
?
?
b=0,
?
?
θ+
π
??
min
=-1, 又
?
si
n
??
4
??
―→―→
所以PQ·MQ的最小值为-4.
6.在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限,半径为22
的圆C与直线y=x
相切于坐标原点O.
(1)求圆C的方程;
(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q,使Q到定点F(4,0)
的距离等于线段OF的长?
若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)设圆C的圆心为C(a,b),
则圆C的方程为(x-a)
2
+(y-b)
2
=8.
因为直线y=x与圆C相切于原点O,
所以O点在圆C上,且OC垂直于直线y=x, a+b=8,
?
??
?
?
a=2,
?
a=-2
,
?
于是有
?
b
解得或
?
??
b=-2b=2.
=-1,
??
?
?
a
22
由于点C(a,b)在第二象限,故a<0,b>0,
第 21 页
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所以圆C的方程为(x+2)
2
+(y-2)
2
=8.
(2)假设存在点Q符合要求,设Q(x,y),
22
?
?
?x-4?+y=16,
4
则有
?
解得x=或x=0(舍去).
22
5
?
?x+2?+?y-2?=8,
?
41
2
?
所以存在点Q
?
?
5
,
5
?
,使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长.
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