高中数学竞赛解三角形-能出高中数学题目的软件
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高一数学单元测试（圆）
姓名
班级
成绩
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共
第Ⅰ卷 （选择题共
60 分 ）
150 分，考试时间
120 分钟．
第Ⅰ卷（ 60
分）
一、选择题（
60 分）
1．方程
x
2
y
ax
2
2
ay
2a
2
a
1
0
表示圆，则 a 的取值范围是
（
）
2
( A )
a
2
( B )
a
0
3
( C )
2
a
0
( D )
2
a
2
3
2.曲线
x
2
+y
2
+2
2
x－2
2
y=0 关于（
）
A. 直线 x=
2
轴对称
B.直线 y=－ x 轴对称
C.点（－ 2，
2
）中心对称
D. 点（－
2
，
0）中心对称
3、圆
x
2
y
2
2 ax
cos
2by sin
a
2
sin
2
0
在 x 轴上截得的弦长为
(
A. 2a B. 2 a
C.
2 a
D.
4 a
4、直线 3x－4y－5 = 0 和(x－ 1)
22
+ (y +
3) = 4 位置关系是
(
)
A 相交但不过圆心
B 相交且过圆心
C
相切
D
相离
5. 自点
A ( 1, 4 ) 作圆 ( x
2 )
2
( y
3)
2
1
的切线，则切线长为（
）
(A)
5
(B) 3
(C)
10
(D) 5
2
2
2
2
6．已知曲线
x
y
Dx
Ey
F
0( D
E
4
F
0)
关于直线
x
y
0
对称，则（
）
( A ) D E 0
( B )
D E 0
(C ) D
F
0
( D ) D
E
F
0
7、已知点 A(3，－ 2)， B(－ 5
（
）
A
(x + 1)
2
+ (y－
1)
2
， 4)，以线段 AB 为直径的圆的方程为
=
25
22
22
B
(x－1)
+ (y + 1) = 100
22
C
(x－1) + (y + 1) = 25
D
(x + 1) + (y－ 1) = 100
8.直线
y
x
m
与圆
x
2
y
2
1
在第一象限内有两个不同交点，
则
m 的取值范围是
（
）
( A )
0 m
2
( B )
1
m
2
( C )
1 m
2
( D )
2
m
2
9 如果直线 l 将圆
x
2
+y
2
－ 2x－4y=0
平分，且不通过第四象限，那么直线
l 的斜率的取值范围是（
A. ［0， 2］
B.［ 0， 1］
1
---
)
）
-
C.［0， ］
1
D. ［0， ）
1
2
222
2
2
10． M
（x
0
， y
0
）为圆 x+y =a（
a>0）内异于圆心的一点，则直线
x
0
x+y
0
y=a 与
该圆的位置关系是（
A、相切
B、相交
）
C、相离
D、相切或相交
11．方程 x
1
1
( y
B
1)
2
表示的曲线是（
C
2
）
A一个圆
两个圆
3
半个圆
2
D两个半圆
12. 直线
y
kx
3
与圆
x
，
0
y
2
3
4
4
相交于
M,N
两点，若
MN
3
2 3 ，则 k 的取值范围是
3
4
3
，
3
，
0
，
2
3
3
，
0
A.
B.
C.
D.
题号
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
第二卷 （90
分）
二、填空题 . （每小题 5
分，共 20
分）
13.
圆
x
2
y
2
2 x
2
y
2
1
0
上的动点
Q 到直线
3x
4 y
y
2
8
0
距离的最小值为
2
r
，，其中 r
.
0 ,若
A
14.
集合
A A
( x ,
y )
x
4
，
B
( x, y ) ( x
3)
2
(
y
4)
2
B
中有且
只有一个元素，则
2
2
r
的值为 _________________________________ 。
15．圆
x
y
2 x
4
y
3
0
上到直线
x y 1
0
的距离为
2 的点共有
个。
16、已知
A C、
BD
为圆 O :
x
2
的最大值为
y
2
4
的两条相互垂直的弦，
垂足为
M
1, 2
,则四边形 ABCD
的面积
。
三、解答题（共
70
分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）
2
2
（ 1）求过点 P 的圆的切线方程；
(2）若切点为
P
1
,P
2
，求过切点
P
1
,P
2
的直线方程。
2
---
-
18、已知定点
B (3,0 )
，点
A
在圆
x
的轨迹是什么？
2
y
2
1
上运动，
M
是线段
AB
上的一点， 且
AM
1
MB
，问点
M
3
19、已知点
P ( x , y )
在圆
x
y 1
2
( y 1)
2
1
上运动
.
（
1）求
的最大值与最小值； （2）求
2 x
x 2
y
的最大值与最小值
.
2
2
2
2
20.已知圆
C
1
: x
y
2 x 2 y 8 0
与
C
2
:
x
y
2 x 10 y 24
0
相交于
A , B
两点，
（ 1）求公共弦
AB
所在的直线方程；
（ 2）求圆心在直线
y
x
上，且经过
A, B
两点的圆的方程；
（ 3）求经过
A, B
两点且面积最小的圆的方程。
3
---
-
21、已知圆
C : ( x
1)
2
( y 2 )
2
6
，直线
l : mx
y 1 m
0
.
（ 1）求证：不论
m
取什么实数，直线 l 与圆 C
恒交于两点；
（ 2）求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程 .
22、已知圆 C ：
x
2
y
2
x 6 y m 0
和直线
l
：
x y 3
0
（见
275
页）
（ 1）当圆 C 与直线 l 相切时，求圆
C 关于直线 l 的对称圆方程；
（ 2）若圆 C 与直线 l 相交于
P
、
Q
两点，是否存在 m ，使得以
PQ
为直径的的圆经过原点
4
---
O ？
-
高一数学单元测试（圆）答案
一、选择题
DBBCB
AABAC
DA
2
2
二填空题
13、 3
14、 3 或 7
15、3
16、 5
16、解 ：设圆心 O 到
A C、
BD
的距离分别为
d
1
、
d
2
四边形 ABCD
, 则
d
1
+ d
2
2
2
O M
3
.
d
2
2
)
的面积
S
1
| A B | | C D |
2
(4
d
1
)(4-
d
2
2
)
8
(
d
1
2
2
k ( x
5
三解答题
17、解： (1) 设过点
P (
4, 2 )
的圆的切线方程为
4 k
y
2
4 )
，整理可得：
kx
y 4
k
2
0
则有
2
2
，所以
k
1
或
k
1
，
7
k
2
1
所以过点
P (4 ,2 )
的圆的切线方程为
x
y
2
0
或
x
7 y
10
0
。
(2) 有题意可知
O
、
P
、 P
1
、 P
2
四点共圆，且线段
所以易得此圆的方程为
(
x
2 )
2
OP
为该圆的直径，
( y
1)
2
5
，
则切点
P
1
、 P
2
的直线即为两圆的公共弦所在的直线，
联立
x
2
y
2
2
2
2
，即可得所求直线方程为
2
x
y
1
0
( x
2 )
( y
1)
5
2
18、解：设 M (
x, y ), A( x
1
, y
1
) . ∵
AM
，
∴
1
3
MB
，∴
( x
x
1
, y
y
1
)
1
(3
x ,
y )
，
3
∴
x
x
1
1
3
(3
x )
x
1
4
22
3
x 1
. ∵
点
A
在 圆
x
y
1
上 运 动 ，
∴
x
1
y
1
1 ， ∴
2
y
y
1
1
y
y
1
4
3
y
3
2
4
( x
3
1)
2
4
(
y)
2
1
，即
( x
3
3
)
y
4
2
9
16
，∴点 M 的轨迹方程是
( x
3
)
2
y
2
9
.
4
16
所以点
M
的轨迹是以
(
3
4
,0) 为圆心，半径 r
3
4
的圆。
19、解：（1）设
y
1
2
k
，则
k
表示点
P ( x, y )
与点（
2，
1）连线的斜率
.当该直线与圆相切时，
k 取得
x
最大值与最小值
.由
2 k
1
，解得
k
1
3
3
，∴
y
x
1
2
的最大值为
3
，最小值为
3
3
.
3
k
2
（ 2）设
2 x
y
m
，则
m
表示直线
2 x
y
m
在
y
轴上的截距
.
当该直线与圆相切时，
m
取得最大值
5
---
-
与最小值
.由
1
m
1，解得
m
5
1
5
，∴
2 x
y
的最大值为
1
5
，最小值为
1
5
.
20、解：（1）联立
x
2
2
y
2
2 x
2
2 y
8
0
整理可得
x
2 y
4
0
,
x
y
2 x
10 y
24
2 y
2
2
0
4
2
2
所以，公共弦
AB
所在的直线方程为
x
0
（
2）根据题意可设所求直线方程为
整理可得：
x
2
x
y
2
x
2
y
8
(
x
y
2 x
10 y
24 )
0 (1)
y
2
2
1
2
x
1
所以所求圆的圆心坐标为
(
代入直线
y
x
可得
1
1
2
10
y
8
24
0
，
1
1
1
5
,
)
，又因为圆心在直线
y
x
上，
1
2
，所以所求圆的方程为
x
y
2
6 x
6 y
8
0
2
（
3）根据题意可知过经过
由（ 2）可知圆心圆心坐标为
A , B
两点且面积最小的圆以线段
(
1
AB
为直径，中点为圆心的圆，
,
1
5
程为
x
2 y
4
0
可得
1
1
1
，所以所求圆的方程为
3
1
m ( x
)
，又圆心在公共弦
22
AB
上，代入公共弦
AB
所在的直线方
x
y
4 x
2 y
0
21、解：（ 1）∵直线
l : y
线 l 与圆 C 恒交于两点 .
1)
恒过定点
P (1,1)
，且
PC
5
r6 ，∴点
P
在圆内，∴直
（
2）由平面几何性质可知，当过圆内的定点
P
的直线
l
垂直于
PC
时，直线 l 被圆 C
截得的弦长最小，
此时
k
l
1
k
PC
2
，∴所求直线
l
的方程为
y
1
2
( x
1)
即
2 x
y
1
0
.
1
2
3
3
22、解（ 1）由题意可知圆
C 中，圆心坐标为
C (
1
,3 )
，
R
d
2
2
2
4
设
C (
1
,3 )
关于直线
l
的对称点
M
( a, b)
，则
2
b
3
1
1
2
2
(
1)
1
a
a
a
b
，即有
0
7 ，故所求圆的方程为
2
x
2
( y
2
7
)
2
1
8
2
b
3
3
2
0
（ 2）假设存在 m ，使得以
PQ
为直径的的圆经过原点
O ，则设 P ( x
1
,
y
1
) 、 Q ( x
2
, y
2
)
，
6
---
-
联立
x
x
2
y
3
0
m
m
y
2
，消去
y
整理可得
2
x
0
73
，
8
2
x m
9 0
，
x
6
y
9)
△
1
8( m
0
OP
OQ
x
1
x
2
OP
OQ
，
3
y
1
y
2
OP OQ
m
x
1
x
2
(3 x
1
)( 3
x
2
) 2 x
1
x
2
3(
x
1
73
，所以存在
m
x
2
) 9 m 9
9 0
3
，且符合题意
m
3
。
2
---
2
8
2
7
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