高中数学圆与圆的位置关系教案

4.2.2 圆与圆的位置关系
（一）教学目标
1．知识与技能
（1 ）理解圆与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；
（3）会用连心线长判断两圆的位置关系.
2．过程与方法
设两圆的连心线长为l，则判断圆 与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当l ＞r
1
+r
2
时， 圆C
1
与圆C
2
相离；
（2）当l = r
1
+r
2
时，圆C
1
与圆C
2
外切；
（3）当|r
1
– r
2
|＜l＜r
1
+r
2
时，圆C1
与圆C
2
相交；
（4）当l = |r
1
– r2
|时，圆C
1
与圆C
2
内切；
（5）当l＜|r1
– r
2
|时，圆C
1
与圆C
2
内含.< br>3．情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想 .
（二）教学重点、难点
重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系.
（三）教学设 想
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
结合学
1．初中学过的平面几 何教师引导学生回忆、举例，
生已有知识
以验，启发
学生思考，
激发学生学< br>习兴趣.
复习引入 中，圆与圆的位置关系有几并对学生活动进行评价；学生回
类？ 顾知识点时，可互相交流.
教师引导学生阅读教科书中
2．判断两圆的位置关系，的相关内容 ，注意个别辅导，解
概念形成
你有什么好的方法吗？
引导学
生明确两圆的位置关
系，并发现
判断和解决
两圆的位置
关系的方法.
培养 学
答学生疑难，并引导学生自己总
利用连心线的长与两圆结解题的方法.
半径和、差的 关系. 学生观察图形并思考，发表
自己的解题方法.
应用举例
3．例3 你能 根据题目，教师应该关注并发现有多少
在同一个直角坐标系中画出学生利用“图形”求，对这些学生“数 形结

两个方程所表示的圆吗？你生应该给矛表扬. 同时强调，解合”的意识.
从中发现了什么？ 析几何是一门数与形结合的学
科.
进一步
师：启发学生 利用图形的特培养学生解
征，用代数的方法来解决几何问决问题、分
4．根据你所画出的图形，
题.析问题的能
可以直观判断两个圆的位置
生：观察图形，并通过思考，力.
关系. 如何把这些直观的事
指出两圆的交点，可以转化为两利用判
实转化为数学语言呢？
个圆的方程联立方程组后是否有别式来探求
实数根，进而利用判别式求解. 两圆的位置
关系.
师：指导学生利用两个圆的
圆心坐标、半径长、连心线长的
5．从上面你所画出的图
形，你能发现解决两个圆的位
应用举例
置的其它方法吗？
关系来判别两个圆的位置.
进一步
激发学生探
求新知的精
神，培养学
生.
生：互相探讨、交流，寻找
解决问题的方法，并能通过图形
的直观性， 利用平面直角坐标系
的两点间距离公式寻找解题的途
径.
师：对于两个圆的方程，我
们应当如何判断它们的位置关系从具体
到一般总结
6．如何判断两个圆的位
置 关系呢？
呢？
引导学生讨论、交流，说出判断两个圆
各自的想法，并进行分析、评价 ，的位置关系
补充完善判断两个圆的位置关系的一般方法.
的方法.
师：指导学生 完成练习题.
巩固方
7．阅读例3的两种解法，
解决第137页的练习题.
生：阅读教科书的例3，并
法，并培养
学生解决问
题的能力.
得出两
个圆的相交
完成第137页的练习题.
师：引导并启发学生相交弦< br>方法
拓展
8．若将两个圆的方程相所在直线的方程的求法.
延伸
减，你发现了什么？ 生：通过判断、分析，得出弦所在直线
相交弦所在直线的方程. 的方程.

9．两个圆的位置关系是
否可以转化为一条直线与两
师：引 导学生验证结论.进一步
生：互相讨论、交流，验证验证相交弦
的方程. 个圆中的一个圆的关系呢？ 结论.
10．课堂小结：
教师提出下列问题让学思考：
归纳总结
（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？
回顾、
反 思、总结，
（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什构建知识体
么？
（3）如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？
系.
课外作业
布置作业：见习案4.2第二
课时
学生独立完成
巩固深
化所学知识.
备选例题
例1 已知圆C
1
：x
2
+ y
2
– 2mx + 4y + m
2
– 5 = 0，圆C
2
：x
2
+ y
2
+ 2x – 2my + m
2
– 3 = 0，
m为何值时，（1）圆C
1
与圆C
2
相外切； （2）圆C
1
与圆C
2
内含.
【解析】对于圆C
1
，圆C
2
的方程，经配方后
C
1
：(x – m)
2
+ (y + 2)
2
= 9，C
2
：(x + 1)
2
+ (y – m)
2
= 4.
（1）如果C
1
与C
2
外切，则有
(m?1)< br>2
?(m?2)
2
?3?2
，
所以m
2
+ 3m – 10 = 0，解得m = 2或–5.
（2）如果C
1
与C
2
内含，则有
(m?1)
2
?(m?2)
2
?3?2，
所以m
2
+ 3m + 2＜0，得–2＜m＜–1.
所以当m = –5或m = 2时，C
1
与C
2
外切；
当–2＜m＜–1时，C
1
与C
2
内含.
例2 求过直线x + y + 4 = 0与圆x
2
+ y
2
+ 4x – 2y – 4 = 0的交点且与y = x相切的圆的方
程.
【解析】设所求的圆的方程为x
2
+ y
2
+ 4x – 2y – 4 +
?
(x + y + 4) = 0.
联立方程组
?
?
y?x
22
?
x?y?4x?2y?4?
?
(x?y?4 )?0

得：
x
2
?(1?
?
)x?2(
?
?1)?0
.
因为圆与y = x相切，所以
?
=0.
即
(1?
?
)
2
?8(
?
?1)?0,则
?
=3

故所求圆的方程为x
2
+ y
2
+ 7x + y + 8 = 0.
例3 求过两圆x
2
+ y
2
+ 6x – 4 = 0求x
2
+ y
2
+ 6y – 28 = 0的交点，且圆心在直线x – y – 4
= 0上的圆的方程.
【解析】依题意所求的圆的圆心，在已知圆的圆心的连心线上，又两已知圆的圆心分别
为(–3，0)和 (0，–3).
则连心线的方程是x + y + 3 = 0.

1
?
x?
?
?
x?y?3?0
?
2
由
?< br> 解得
?
.
7
x?y?4?0
?
?< br>y??
?
?2
17
所以所求圆的圆心坐标是
(,?)
.
22
设所求圆的方程是x
2
+ y
2
– x + 7y + m = 0
由三个圆有同一条公共弦得m = –32.
故所求方程是x
2
+ y
2
– x + 7y – 32 = 0.