高一数学圆的方程经典例题资料讲解

高一数学圆的方程经
典例题

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典型例题一


例1 圆
(x?
3)
2
?
(
y?
3)
2
?
9
上到直线
3x?4y?11?0
的距离为1的点有几个？
分析：借助图 形直观求解．或先求出直线
l
1
、
l
2
的方程，从代数计算 中寻找
解答．
解法一：圆
(
x?
3)
2
?
(
y?
3)
2
?
9
的圆心为
O
1
(3,3)
，半径
r?3
．
设圆心
O
1
到直线
3x?4y?11?0
的距离为
d
，则
d?
3?3?4?3 ?11
3?4
22
?2?3
．
如图，在圆心
O
1
同侧，与直线
3x?4y?11?0
平行且距离为1的直线
l
1与圆有
两个交点，这两个交点符合题意．

又
r?d?3?2?1
．
∴与直线
3x?4y?11?0
平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题
意．
∴符合题意的点共有3个．
解法二：符合题意的点是平行于直线
3x?4y?11?0
，且与之距离为1的直线
和 圆的交点．
设所求直线为
3x?4y?m?0
，则
d?
m?11< br>3?4
22
?
1
，
∴
m?11??5
，即
m??6
，或
m??16
，也即
l
1
：3x?4 y?6?0
，或
l
2
：3x?4y?16?0
．
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(
x ?
3)
2
?
(
y?
3)
2
?
9< br>的圆心到直线
l
1
、
l
2
的距离为
d
1
、
d
2
，则
设圆
O
1
：
d
1
?
3?3?4?3?6
3?4
22
?3
，
d
2
?
3?3?4?3?16
3?4
22
?1
．
∴
l
1
与
O
1
相切，与圆
O
1< br>有一个公共点；
l
2
与圆
O
1
相交，与圆
O
1
有两个公共
点．即符合题意的点共3个．
说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
设圆心
O
1
到直 线
3x?4y?11?0
的距离为
d
，则
d?
∴圆
O
1
到
3x?4y?11?0
距离为1的点有两个．
显然，上述误 解中的
d
是圆心到直线
3x?4y?11?0
的距离，
d?r
，只能说
明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．
到一条直 线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直
线上，因此题中所求的点就是这两条平 行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共
点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直 线的距离和半径
的大小比较来判断．
3?3?4?3?11
3?4
22
?2?3
．
典型例题三


例3 求过两点
A(1,4)
、
B (3,2)
且圆心在直线
y?0
上的圆的标准方程并判断
点
P(2, 4)
与圆的关系．
分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点
P
与圆的位置关系，只须看点
P
与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离 大
于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在
圆内．
解法一：（待定系数法）
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设圆的标准方程为
(x?a)
2
?(y? b)
2
?r
2
．
∵圆心在
y?0
上，故
b?0
．
∴圆的方程为
( x?a)
2
?y
2
?r
2
．
又∵该圆过
A(1,4)
、
B(3,2)
两点．
22
?
?
(1?a)?16?r
∴
?

2 2
?
?
(3?a)?4?r
解之得：
a??1
，
r
2
?
20
．
所以所求圆的方程为
(
x?
1)
2
?y
2
?
20
．
解法二：（直接求出圆心坐标和半径）
因为圆过
A(1,4)
、
B (3,2)
两点，所以圆心
C
必在线段
AB
的垂直平分线
l
上，
又因为
k
AB
?
4?2
??
1
，故
l
的斜率为1，又
AB
的中点为
(2,3)
，故AB
的垂直平
1?3
分线
l
的方程为：
y?3?x?2
即
x?y?1?0
．
又知圆心在直线
y?0
上，故圆心坐标为
C(?1,0)

∴半径
r?AC?
(1
?
1)
2
?
4
2< br>?
20
．
故所求圆的方程为
(
x?
1)
2
?y
2
?
20
．
又点
P(2,4)
到圆心
C(?1,0)
的距离为
d?PC?(2?1)
2
?4
2
?25?r
．
∴点
P
在圆外．
说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的 圆心和半径这两
个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的
位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

典型例题四

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例4 圆
x
2
?y
2
?
2
x?
4
y?
3
?
0
上到直线
x?y?1?0
的距离为2
的点共有
（ ）．
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
?2
?
，
分析：把
x
2
?y
2
?
2
x?
4
y?
3
?
0
化为< br>?
x?1
?
?
?
y?2
?
?8
，圆 心为
?
?1，
22
半径为
r?22
，圆心到直线的距离为< br>2
，所以在圆上共有三个点到直线的距离
等于
2
，所以选C．

典型例题五


?4
?
作直线
l
，当斜率为何值时，直线
l
与圆例5 过点
P
?
?3，
?
x?1
?
?
?
y?2
?
?4
有公共点，如 图所示．
C：
22
分析：观察动画演示，分析思路．
解：设直线
l
的方程为
y?4?k
?
x?3
?

y
O
x
E
即
kx?y?3k?4?0

根据
d?r
有
P
k?2?3k?4
1?k
2
整理得
?2


3k
2
?4k?0

解得
0?k?
4
．
3
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典型例题六


4
?
与圆
O
相切的切线．
例6 已知圆
O：x< br>2
?y
2
?
4
，求过点
P
?
2，< br>4
?
不在圆
O
上， 解：∵点
P
?
2，∴切线
PT
的直线方程可设为
y?k
?
x?2
?
?4

根据
d?r

∴
解得
k?
?2k?4
1?k
2
?
2

3

4
3
所以
y?
?
x?
2
?
?
4

4
即
3x?4y?10?0

因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜 率不存在．易
求另一条切线为
x?2
．
说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．
本题还有其他解法， 例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解
决（也要注意漏解）．还可以运用
x0
x?y
0
y?r
2
，求出切点坐标
x
0、
y
0
的值来解
决，此时没有漏解．


典型例题七


3
?
发出的光线
l
射到< br>x
轴上，被
x
轴反射，反射光线所在的直例7 自点
A
??3，
线与圆
C：x
2
?y
2
?
4
x ?
4
y?
7
?
0
相切
（1）求光线
l
和反射光线所在的直线方程．
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（2）光线自
A
到切点所经过
y
的路程．
分析、略解： 观察动画演
示，分析思路．根据对称关系，
首先求出点
A
的对称点
A
?
的坐标
?3
?
，其次设过
A
?
的圆C
为
?
?3，
M
A C
N
G
O
B
x
的切线方程为
y?k
?
x?3
?
?3

A’
根据
d?r
，即求出圆
C
的
切线的斜率为
图3
k?
43
或
k?

34
进一步求出反射光线所在的直线的方程为
4x?3y?3?0
或
3x?4y?3?0

最后根据入射光与反射光关于
x
轴对称，求出入射光所在直线方程为
4x?3y?3?0
或
3x?4y?3?0

光路的距离为
A'M
，可由勾股定理求得
A
?
M?A
?
C?CM?
7
．
说明：本题亦可把圆对称到
x
轴下方，再求解．


222
典型例题八


例8 如图所示，已知圆
O：x
2
?y
2
?
4
与
y
轴的正方向交于
A
点，点
B
在直线
y?2
上运动，过
B
做 圆
O
的切线，切点为
C
，求
?ABC
垂心
H
的轨迹．
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分析：按常规求轨迹的方法，设
H(x,y)
，找
x,y
的关系非常 难．由于
H
点
随
B
，
C
点运动而运动，可考虑H
，
B
，
C
三点坐标之间的关系．
解：设
H (x,y)
，
C
(
x
'
,
y
'
)
，连结
AH
，
CH
，
则
AH?BC
，< br>CH?AB
，
BC
是切线
OC?BC
，
所以
OCAH
，
CHOA
，
OA?OC
，
所以四边形
AOCH
是菱形．
'
?
?
y?y?2 ,
所以
CH?OA?2
，得
?
'

?
?< br>x?x.
又
C
(
x
'
,
y
'
)
满足
x
'
?y
'
?4
，
所以
x
2
?
(
y?
2)
2
?
4(
x ?
0)
即是所求轨迹方程．
说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知 识．采取代入法求
轨迹方程．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关
联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．



22
典型例题九


例9 求半径为4，与圆
x
2
?y
2
?
4
x?
2
y?
4
?0
相切，且和直线
y?0
相切的圆
的方程．
分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．
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(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
．
解：则题意，设所求圆的方程为圆
C：
圆
C
与直线
y?0
相 切，且半径为4，则圆心
C
的坐标为
C
1
(
a
,4 )
或
C
2
(a,?4)
．
又已知圆
x
2
?y
2
?
4
x?
2
y?
4
?0
的圆心
A
的坐标为
(2,1)
，半径为3．
若两圆相切，则
CA?4?3?7
或
CA?4?3?1
．
(1)当
C
1
(a,4)
时，
(a?2)
2
?(4 ?1)
2
?7
2
，或
(a?2)
2
?(4?1)< br>2
?1
2
(无解)，故可
得
a?2?210
． ∴所求圆方程为
(x?2?210)
2
?(y?4)
2
?42
，或
(x?2?210)
2
?(y?4)
2
?42
．
(2)当
C
2
(a,?4)
时，
(a? 2)
2
?(?4?1)
2
?7
2
，或
(a?2)< br>2
?(?4?1)
2
?1
2
(无解)，
故
a ?2?26
．
∴所求圆的方程为
(x?2?26)
2
?(y?4)
2
?4
2
，或
(x?2?26)
2
?(y?4)< br>2
?4
2
．
说明：对本题，易发生以下误解：
由题意，所 求圆与直线
y?0
相切且半径为4，则圆心坐标为
C(a,4)
，且方程形如
(x?a)
2
?(y?4)
2
?4
2
．又 圆
x
2
?y
2
?4x?2y?4?0
，即
(x?2 )
2
?(y?1)
2
?3
2
，其圆心为
A(2,1 )
，半径为3．若两圆相切，则
CA?4?3
．故
(a?2)
2?(4?1)
2
?7
2
，解之得
a?2?210
．所以 欲求圆的方程为
(x?2?210)
2
?(y?4)
2
?4
2
，或
(x?2?210)
2
?(y?4)
2
?4
2
．
上述误解只考虑了圆心在直线
y?0
上方的情形，而疏漏了圆心在直线
y?0
下方
的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．
典型例题十

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例10 已知圆
x
2
?y2
?x?
6
y?m?
0
与直线
x?2y?3?0
相交于
P
、
Q
两点，
O
为原点，且
OP?OQ< br>，求实数
m
的值．
分析：设
P
、
Q
两点的 坐标为
(
x
1
,
y
1
)
、
(x< br>2
,y
2
)
，则由
k
OP
?k
OQ
??1
，可得
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
，再利用一元二次方程根与系数的关系求解．或因为通过原点的直
线的 斜率为
yy
，由直线
l
与圆的方程构造以为未知数的一元二次方程，由根与< br>xx
系数关系得出
k
OP
?k
OQ
的值，从而使问题 得以解决．
解法一：设点
P
、
Q
的坐标为
(
x< br>1
,
y
1
)
、
(x
2
,y
2
)
．一方面，由
OP?OQ
，得
k
OP
?k< br>OQ
??1
，即
y
1
y
2
???1
，也即：
x
1
x
2
?y
1
y
2
?
0
． ①
x
1
x
2
?
x?2y?3 ?0
另一方面，
(
x
1
,
y
1
)
、
(x
2
,y
2
)
是方程组
?
2
的实数解，即
2
x?y?x?6y?m?0
?
x
1
、
x
2
是方程
5x
2
?10x?4m?27?0
②
的两个根．
∴
x
1
?x
2
??
2
，
x
1
x
2
?
4m?27
． ③
5
又
P
、
Q
在直线
x?2y?3?0
上，
111
∴
y
1
y
2
?(3?x
1
)?(3?x
2
)?
[9
?
3(
x
1
?x
2
)
?x
1
x
2
]
．
224< br>m?12
将③代入，得
y
1
y
2
?
． ④
5
将③、④代入①，解得
m?3
，代入方程②，检验
??0
成立，
∴
m?3
．
解法二：由直线方程可得
3?x?2y
，代入圆的方程
x
2
?y
2
?x?
6
y?m?< br>0
，
有
1m
x
2
?y
2
?(x? 2y)(x?6y)?(x?2y)
2
?0
，
39
整理，得
(12
?m
)
x
2
?
4(
m?
3)xy?
(4
m?
27)
y
2
?
0
．
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由于
x?0
，故可得
yy
(4m?27)()
2
?4(m?3)?12?m?0
． xx
∴
k
OP
，
k
OQ
是上述方程两根．故< br>k
OP
?k
OQ
??1
．得
12?m
??1
，解得
m?3
．
4m?27
经检验可知
m?3
为所求．
说明：求解本题时 ，应避免去求
P
、
Q
两点的坐标的具体数值．除此之外，还
应对求出 的
m
值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点
P
、
Q
存在．
解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出
一个关于
y
的二次齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看
x< br>出，这种方法给人以一种淋漓酣畅，一气呵成之感．

典型例题十一


例11 求经过点
A(0,5)
，且与直线
x?2y?0
和
2x?y?0
都相切的圆的方程．
分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径 ，由于所求圆过定点
A
，故
只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它 们的交角的平分线
上．
解：∵圆和直线
x?2y?0
与
2x?y?0
相切，
∴圆心
C
在这两条直线的交角平分线上，
又圆心到两直线
x?2y?0
和
2x?y?0
的距离相等．
∴
x?2y
5
?
x?2y
5
．
∴两直线交角的平分线方程是
x?3y?0
或
3x?y?0
．
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又∵圆过点
A(0,5)
，
∴圆心
C
只能在直线
3x?y?0
上．
设圆心
C(t,3t)

∵
C
到直线
2x?y?0
的距离等于
AC
， ∴
2t?3t
5
?t
2
?(3t?5)
2
．
化简整理得
t
2
?
6
t?
5
?
0
．
解得：
t?1
或
t?5

∴圆心是
( 1,3)
，半径为
5
或圆心是
(5,15)
，半径为
55< br>．
∴所求圆的方程为
(
x?
1)
2
?
(< br>y?
3)
2
?
5
或
(x?5)
2
? (y?15)
2
?125
．
说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两 直线的交角平分线上，从而
确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常 规
求法．
典型例题十二


例12 设圆满足：(1)截
y
轴所得弦长为2；(2)被
x
轴分成两段弧，其弧长的比
为
3:1
，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线
l：x?2y?0
的距离最小的
圆的方程．
分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标
准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求
出这轨迹的方程，便可 利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合
题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出 圆的方程．
解法一：设圆心为
P(a,b)
，半径为
r
．
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