高中数学-圆的标准方程练习题

高中数学-圆的标准方程练习题
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.圆心是O(-3,4),半径长为5的圆的方程为( )
2222
A.(x-3)+(y+4)=5 B.(x-3)+(y+4)=25
2222
C.(x+3)+(y-4)=5 D.(x+3)+(y-4)=25
222
解析：以(a,b)为圆心,r为半径的圆的方程是(x-a)+(y-b)=r.
答案：D
2.以点A(-5，4)为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为( )
2222
A.(x+5)+(y-4)=16 B.(x-5)+(y+4)=16
2222
C.(x+5)+(y-4)=25 D.(x-5)+(y+4)=25
22
解析：∵圆与x轴相切，∴r=|b|=4.∴圆的 方程为(x+5)+(y-4)=16.
答案：A
3.圆心在直线y=x上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为____________. 解析：设其圆心为P(a,a)，而切点为A(1，0)，则PA⊥x轴，∴由PA所在直线x=1与y=x
22
联立，得a=1.故方程为(x-1)+(y-1)=1.也可通过数形结合解决，若圆与 x轴相切于点(1，
0),圆心在y=x上,可推知与y轴切于(0，1).
22
答案：(x-1)+(y-1)=1
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.设实数x、y满足(x-2)+y=3，那么
22
y
的最大值是( )
x
A.
33
1
B. C. D.
3

32
2
解析：令y
=k,即y=kx，直线y=kx与圆相切时恰好k取最值.
x
答案：D
2.过点A(1,-1)、B(-1,1)，且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( )
2222
A.(x-3)+(y+1)=4 B.(x+3)+(y-1)=4
2222
C.(x-1)+(y-1)=4 D.(x+1)+(y+1)=4
1?1?1?1
),即(0,0)，直线AB的斜率为,
22
1?(?1)?1
k
AB
==-1,则过点C且垂直于A B的直线方程为y-0=(x-0),即y=x.所以圆心坐标
?1?1?1
解：由题意得线段 AB的中点C的坐标为(
(x,y)满足
?
?
y?x,
得y=x=1 .
?
x?y?2?0.
22
22
∴圆的半径为
(1?1) ?[1?(?1)]
=2.因此，所求圆的方程为(x-1)+(y-1)=4.
答案：C
22
3.设点P(2,-3)到圆(x+4)+(y-5)=9上各点距离为d,则d的最大值 为_____________.
22
解析：由平面几何性质，所求最大值为P(2，-3) 到圆(x+4)+(y-5)=9的圆心距离加上圆的
半径，即d
max
=
( 2?4)?(?3?5)
+3=13.
22
1

答案：13
22
4.已知点P是曲线x+y=16上的一动点，点A 是x轴上的定点，坐标为(12，0).当点P在曲
线上运动时，求线段PA的中点M的轨迹方程.
解：设M(x,y)、P(x
0
,y
0
).
由题意
x
0
?12y?0
?x,
0
?y
.
22
∴x
0
=2x-12,y
0
=2y.
22
又P(x
0
,y
0
)在圆x+y=16上，
22
∴x
0
+y
0
=16.
2222
∴(2x-12)+(2y)=16,即(x-6)+y=4.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y=
_____________.
解析：本题考查圆的标准方程和直线与圆的相切.
3
x
(x≥0)相切，则 这个圆的方程为
3
由题意可设圆的圆心为(1,b)(b＞0).根据该圆与直线y=
3
x
相切,得
3
|
3
?b|
3
?1?
4
3
|
3233
22
?b|??b?3
或< br>?
(舍),故所求圆的方程为(x-1)+(y-
3
)=1.
333
22
答案：(x-1)+(y-
3
)=1
2.从点P(3，b)向圆(x+2)+(y+2)=1作切线，则切线长的最小值为( )
A.5 B.4 C.5.5 D.26
解析：切线长d=
(3?2)?(b?2)?1?
d取最小值
26
.
答案：D
22
3.若直线x+y=m与圆x+y=m(m＞0)相切，则m为( )
A.
22
22
b
2
?4b?28?(b?2)
2
?24
,∴当b=-2时，
2
1
B.2 C.
2
D. 2
2
解析：利用圆心到直线的距离等于半径,即有
|m|
2
?m
,∴m=2.
答案：B
22
4.在圆(x-2)+(y+3)=2上与点(0，-5)距离最大的点的坐标是( )
A.(5，1) B.(4，1)
2

C.(
2?2,2?3
) D.(3，-2)
解析：利用点(0，-5)到圆心(2，-3)的距离求得.
答案：C
222
5.三颗地球通讯卫星发射的信号即可覆盖全球,若设赤道大圆的方程为x+y=R(R 为地球半
径),三颗卫星均可分布于赤道上空,则三个卫星所在位置确定的圆的方程为( )
222222
A.x+y=2R B.x+y=4R
222222
C.x+y=8R D.x+y=9R
222
解析：由题意知卫星距地面高度为R,所以方程为x+y=4R.故选B.
答案：B
222
6.圆(x-a)+(y-b)=r经过原点的条件是( )
222
A.a=b=0 B.a+b=r
222
C.a=-b D.a+b+r=2
解析：考查对圆的标准方程及圆的性质的认识和把握.圆经过原点,说明点(0, 0)适合圆的方
222222
程.由题意有(0-a)+(0-b)=r,即a+b=r.
答案：B
22
7.由y=|x|和圆x+y=4的图象所围成的较小区域的面积是( )
A.
3
?
3
?
?
B.π C. D.
42< br>4
22
解析：如图，设y=|x|与圆x+y=4所围成的较小面积为S
扇形O AB
，
由题意知∠AOB=90°.

∴S
扇形OAB
=
11
2
S
⊙O
=πr=π.
44
答案：B < br>8.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0，-4)、B(0，-2),则圆C的方 程为
_____________.
?
?
2a?b?7?0,
解析 ：设圆心C(a,b)，则
?
2

222
?
?
a? (b?4)?a?(b?2).
∴
?
?
a?2,
且|AC|=|BC |=r=
5
.
?
b??3,
22
∴(x-2)+(y+3)=5为所求.
22
答案：(x-2)+(y+3)=5
9.圆心为(2,-3),一条直径的两个 端点分别落在x轴和y轴上的圆的方程是
_______________.
解析：由圆心为 C(2,-3),一条直径的两个端点分别落在x轴和y轴上,由直径所对的圆周角
为直角,可知圆必过 原点O(0,0),从而有r=
(2?0)?(?3?0)?13
,r=13.
2
22
3

∴所求圆的方程为(x-2)+(y+3)=13.
22
答案：(x-2)+(y+3)=13
22
10.圆(x-3)+(y +1)=1关于直线x+2y-3=0对称的圆的方程是____________.
解：关于直线对 称的两圆半径相等,圆心连线被直线x+2y-3=0垂直平分.设所求圆的方程为
22
(x- a)+(y-b)=1.
22
1
?
b?1
?(?)??1,
?
?
a?32
由题意得
?

a?3b?1
??2??3?0.
?
2
?
2
19
?
a?,?
?
5
解得
?

3
?
b?.
?
5
?
19
2
3
2
)+(
y?
) =1.
55
19
2
3
2
答案：(
x?
) +(
y?
)=1
55
22
36
11.已知点A(0，2) 和圆C：(x-6)+(y-4)=，一条光线从A点出发射到x轴上后沿圆的
5
∴所求圆的方 程为(
x?
切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过的路程.
解：设反射光线 与圆相切于D点,点A关于x轴的对称点的坐标为A
1
(0,-2)，则光线从A点
到 切点所走的路程为|A
1
D|.
36324
??
在Rt△A
1
CD中，|A
1
D|=|A
1
C|-|CD|=(-6)+(- 2-4)
55
.
22222
∴|A
1
D|=
18 5185
,即光线从A点到切点所经过的路程是.
55
4