高中数学_圆的方程题型总结

圆的方程题型总结
一、基础知识
1．圆的方程
圆的标准方程为_ __________________；圆心_________，半径________.
圆的一般方程为___________ _________ ____；圆心________ ，半径
__________.
二元二次方程
Ax
2
+Cy
2
+Dx+Ey+F=0
表示圆的条件为：
(1)_______ _______； (2) _______ __ .
2.直线和圆的位置关系：
直线
Ax?By?C?0
，圆
(x? a)
2
?(y?b)
2
?r
2
，圆心到直线的距离为d.
则：（1）d=_________________；
（2）当______________时，直线与圆相离；
当______________时，直线与圆相切；
当______________时，直线与圆相交；
（3）弦长公式：____________________.
3. 两圆的位置关系 < br>圆
C
22
2
22
2
1
:
(
x-a
1
)
+
(
y-b
1
)
=r
1
； 圆
C
2
:
(
x-a
2
)
+
(
y-b
2
)
=r
2

则有：两圆相离
?
__________________；

外切
?
__________________；

相交
?
__________________________； 切
?
_________________；
含
?
_______________________.

二、题型总结：

（一）圆的方程
☆1.
x
2
?y
2
?3x?y?1?0
的圆心坐标 ，半径 .
用心 爱心 专心
1

☆☆2．点(
2a,a?1
)在圆
x
2
+
y
2－2
y
－4=0的部，则
a
的取值围是（ ）
11
D．－<
a
<1
55
2222
☆☆3 ．若方程
x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F?0)
所表示的曲线关于直线
y ?x
对称，必有（ ）
A．－1<
a
<1 B． 0<
a
<1 C．–1<
a
<
A．
E?F
B．
D?F
C．
D?E
D．
D,E,F
两两不相等
222
☆☆☆4．圆
x?y?ax?< br>2
ay?
2
a?
3
a?
0
的圆心在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
☆5.若直线< br>3x-4y+12=0
与两坐标轴交点为A,B,则以线段
AB
为直径的圆的方 程是
（ ）
A.
x+y+4x-3y=0
B.
x+y-4x-3y=0

C.
x+y+4x-3y-4=0
D.
x+y-4x-3y+8=0
☆☆6.过圆
x?y?4
外一点
P
?
4,2
?
作圆的两条切线,切点为
A,B
,则
?ABP
的外接圆
22
2222
2222
方程是（ ）
A.
(
x?4
)+(
y?2
)=4
B.
x+(y?2)=4

C.
(
x?4
)+(
y?2
)=5
D.
(x?2)+(y?1)=5

☆7.过点
A
(
1 ,-1
)
,
B
(
-1,1
)
且圆心在直线
x+y-2=0
上的圆的方程（ ）
A.
(
x-3
)
+
(
y+1
)
=4
B.
(
x+3
)
+
(
y-1
)
=4

C.
(
x-1
)
+
(
y-1
)
=1
D.
(
x+1
)
+
(
y+1
)
=1

☆☆8．圆
x?y?2x?6y?9?0
关于直线
2x?y?5?0
对称的圆的方程是


（ ）
A．
(x?7)?(y?1)?1

22
22
22
2222
2222
2222
22
22
B．
(x?7)?(y?2)?1

22
22
C．
(x?6)?(y?2)?1
D．
(x?6)?(y?2)?1

☆9．已知△
ABC
的三个项点坐标分别是
A
（4，1），
B
（6，－3），
C
（－3，0），求△
ABC
外
接圆的方程．


用心 爱心 专心
2

☆10．求经过点A(2，－1)，和直线
x?y?1
相切，且 圆心在直线
y??2x
上的圆的方程．














2.求轨迹方程
☆11.圆
x?y?4y?12?0
上的动点
Q< br>，定点
A
?
8,0
?
，线段
AQ
的中点轨迹 方程
22
________________ .
☆☆☆12．方程
?
x?y?
1
?
x
2
?y
2
?
4
?
0
所表示的图形是（ ）
A．一条直线及一个圆 B．两个点
C．一条射线及一个圆 D．两条射线及一个圆
☆ ☆13．已知动点
M
到点
A
（2，0）的距离是它到点
B
（ 8，0）的距离的一半，
求：（1）动点
M
的轨迹方程；（2）若
N
为线段
AM
的中点，试求点
N
的轨迹．









用心 爱心 专心
3

3.直线与圆的位置关系
☆14.圆
(
x-1
)
+y2
=1
的圆心到直线
y=
2
3
x
的距离是（ ）
3
A.
3
1
B. C. 1 D.
3

2
2
22
☆☆15.过点
(
2 ,1
)
的直线中,被
x+y-2x+4y=0
截得弦长最长的直线方程为
（ ）
A.
3x-y-5=0
B.
3x+y-7=0

C.
x+3y-3=0
D.
x-3y+1=0

☆☆16.已知直线
l
过点，当直线l
与圆
x
?
y
?
2x
有两个交点时，其斜率< br>k
的
（?2，0）
取值围是（ ）
22
（?22，22）（?2，2）
（
?
A. B. C.
22
11
，）
D.
（?，）
44
88
22
☆17.圆
x?y?
4
x?
0
在点P(1,3)
处的切线方程为( )
A．
x?3y?2?0
B．
x?3y?4?0

C．
x?3y?4?0
D．
x?3y?2?0

☆☆18．过点P（2，1）作圆C：
x
+
y
－
ax
+2
ay
+2
a
+1=0的切线 有两条，则
a
取值围是（ ）
A．
a
＞－3 B．
a
＜－3
22
22
D．－3＜
a
＜－或
a
＞2
55
22
☆☆19． 直线
x?2y?3?0
与圆
(
x?
2)
?
(
y?
3)
?
9
交于E、F两点，则
?EOF
（O
C．－3＜
a
＜－
为原点）的面积为（ ）
A．
3

2
B．
3

4
C．
65

5
D．
35

5
4
用心 爱心 专心

☆☆20．过点
M
（0，4），被圆
(
x?
1)
2
?y
2
?
4
截得弦长为
23
的直线方程为 _ _．

22
☆☆☆21．已知圆
C
:
?
x?
1
?
?
?
y?
2
?
?
25
及直线< br>l:
?
2m?1
?
x?
?
m?1
?
y?7m?4
.
?
m?R
?

（1）证明:不论
m
取什么实数,直线
l
与圆
C
恒相交；
（2）求直线
l
与圆
C
所截得的弦长的最短长度及此时直线< br>l
的方程．















22
☆☆☆22．已知圆
x
+
y
+
x
－6
y
+
m
=0和直线
x
+2
y
－3=0交于
P
、
Q
两点，且以
PQ
为直径的
圆恰过坐标原点，数
m
的值．














用心 爱心 专心
5

4.圆与圆的位置关系
22< br>☆23.圆
x?y?2x?0
与圆
x?y?4y?0
的位置关系为
22
☆24．已知两圆
C
1
:
x
2
?y< br>2
?
10,
C
2
:
x
2
?y
2
?
2
x?
2
y?
14
?
0
. 求经过两圆交点的公共弦所在
的直线方程_______ ____． ☆25．两圆
x
+
y－
4
x
+6
y
= 0和
x
+
y－
6
x
=0的连心线方程为（ ）


A．
x
+
y
+3=0
C．3
x－y－
9=0


B．2
x－y－
5=0
D．4
x－
3
y
+7=0

2222
2 222
☆26．两圆
C
1
:x?y?2x?2y?2?0
，
C
2
:x?y?4x?2y?1?0
的公切线有且
仅有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
☆☆☆27．已知圆
C
1的方程为
f(x,y)?0
，且
P(x
0
,y
0
)
在圆
C
1
外，圆
C
2
的方程为
f(x,y)
=
f(x
0
,y
0
)
，则
C
1
与圆
C
2
一定（ ）
A．相离 B．相切 C．同心圆
22
D．相交
☆☆28．求圆心在直线
x?y?0
上，且过两圆
x?y?2x?10y?24?0
，

x?y
?2x?2y?8?0
交点的圆的方程．














用心 爱心 专心
6
22

5.综合问题
☆☆29.点
A
在圆
x?y?2y
上,点
B
在直线
y?x?1
上,则
AB
的最小 （ ）
22
A
2?1
B
1?
22
C
2
D

22
22
☆☆30.若点
P
在直线
2x?3y?10?0
上,直线
PA,PB
分别切圆x?y?4
于
A,B
两点,
则四边形
PAOB
面积的最 小值为（ ）
A 24 B 16 C 8 D 4
☆☆31. 直线
y?x?b
与曲线
x?1?y
2
有且只有 一个交点，则
b
的取值围是（ ）
A．
b?2


2
B．
?1?b?1
且
b??2

D．以上答案都不对
2
C．
?1?b?1

☆☆32.如果实数
x,y
满足
x?y?4x?1?0
求:
y
的最大值；
x
（2）
y?x
的最小值；
（1）
22
x?y
（3）的最值.















用心 爱心 专心
7

☆☆33．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船< br>正西70 km处，受影响的围是半径长30 km的圆形区域．已知港口位于台风正北40 km处，
如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

































用心 爱心专心
8

圆的方程题型总结
参考答案
1.
(-,)
；
3122
14
；2.D；3.C；4.D；5.A；6.D；7.C；8.A；
2< br>222
9．解：解法一：设所求圆的方程是
(x?a)?(y?b)?r
． ①


因为A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）都在圆上，
所以它们的坐标都满足方程①，于是

?
a?1,
?
(4 ?a)
2
?(1?b)
2
?r
2
,
?
?< br>222
?
(6?a)?(?3?b)?r,
可解得
?
b??3,

?
r
2
?25.
?
(?3?a)
2
?(0?b)
2
?r
2
.
?
?
所以△ABC的外接圆的方程是
(x?1)?(y?3)?25
．

22

解法二：因为△ABC外接圆的圆心既在AB的垂直平分线上，也在BC的 垂直平分线上，
所以先求AB、
BC 的垂直平分线方程，求得的交点坐标就是圆心
y
坐标．
?3?1
∵k
AB
???2，
k
BC
?
0?(?3)
??
1< br>，
6?4
?3?63
线段AB的中点为（5，－1），线段BC的中点为33
(,?)
，
22
C
O
A
x
E
B

1
(x?5)
，
2
33
BC的垂直平分线方程
y??3(x?)
． ②
22
∴AB的垂直平分线方程为
y?1?
①

?
x?1,
解由①②联立的方程组可得
?
∴△ABC外接圆的圆心为Ｅ（1，－3），
y??3.
?
半径
r?|AE|?(4?1)
2
?(1?3 )
2
?5
．
故△ABC外接圆的方程是
(x?1)?(y?3)?25
．
用心 爱心 专心
9
22

10．解：因为圆心在直线
y?? 2x
上，所以可设圆心坐标为(
a
,-2
a
)，据题意得：

(a?2)
2
?(?2a?1)
2
?
|a?2a ?1|
2
， ∴
(a?2)
2
?(1?2a)
2?
1
(1?a)
2
，
2
∴
a
=1， ∴ 圆心为(1，－2)，半径为
2
， ∴所求的圆的方程为
(x?1)
2
?(y?2)
2
?2
.
11.
(
x?4
)+(
y?1
)=4
；12.D；
13．解：（1）设动点M（
x
，
y
）为轨迹上任意一点，则点M的 轨迹就是集合

P
?{M||MA|?
22
1
|MB|}
．
2
由两点距离公式，点M适合的条件可表示为
(x?2)
2
?y< br>2
?
1
(x?8)
2
?y
2
，
2
平方后再整理，得
x?y?16
． 可以验证，这就是动点M的轨迹方程．
22
（2）设动点N的坐标为（
x
，
y
），
M
的坐标是（
x
1
，
y
1
）．
由于A（2，0），且Ｎ为线段AM的中点，所以

x?
2?x
1
0?y
1
，
y?
．所以有
x
1
?2x?2
，
y
1
?2y
①
22
22
由（1）题知，M是圆
x?y?16
上的点，
2 2
所以
M
坐标（
x
1
，
y
1
）满 足：
x
1
?y
1
?16
②
将①代入②整理，得
(x?1)?y?4
．
所以N的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆（如图中的虚圆为所求）．
14.A；15.A； 16.B； 17.D； 18.D； 19.C； 20.
x
=0或15
x
＋8
y
－32=0；
21 ．解:(1)直线方程
l:
?
2m?1
?
x?
?
m ?1
?
y?7m?4
,可以改写为
m
?
2x?y?7
?
?x?y?4?0
,所
以直线必经过直线
2x?y?7?0和x?y?4 ?0
的交点.由方程组
?
?
2x?y?7?0,
解得
x?y ?4?0
?
22
?
x?3,
即两直线的交点为
A
( 3,1)
又因为点
A
?
3,1
?
与圆心
C
?
1,2
?
的距离
d?5?5
,所以
?
y?1< br>?
该点在
C
,故不论
m
取什么实数,直线
l
与圆
C
恒相交.
(2)连接
AC
,过
A
作
AC
的垂线,此时的直线与圆
C
相交于
B
、
D
.
BD
为直线被圆所截得
的最短弦长.此时,
AC?5,BC?5,所以BD? 225?5?45
.即最短弦长为
45
.
用心 爱心 专心
10

又直线
AC
的斜率
k
AC
? ?
1
,所以直线
BD
的斜率为2.此时直线方程
2
为:y?1?2
?
x?3
?
,即2x?y?5?0.

?
y
1
?y
2
?4
?
x
2
?y2
?x?6y?m?0
?
2
22．解：由
?
?5y?2 0y?12?m?0

?
?
12?m

y
1< br>y
2
?
?
x?2y?3?0
?
5
?
又
OP
⊥
OQ
， ∴
x
1
x
2
+y
1
y
2
=0,而
x
1
x
2
= 9－6(
y
1
+y
2
)+4
y
1
y
2
=
4m?27

5
4m?2712?m
??0
解得
m
=3.
55
23.相交； 24.
x?y?2?0
； 25.C； 26.B； 27.C；
∴
28．解法一：（利用圆心到两交点的距离相等求圆心）
将两圆的方程联立得方程组



点
?
x< br>2
?y
2
?2x?10y?24?0
?
22
?
x?y?2x?2y?8?0
，
解这个方程组求得两圆的交点坐标
A
（－4，0），
B
（0，2）．
因所求圆心在直线
x?y?0
上，故设所求圆心坐标为
(x,?x)
，则它到上面的两上交
（－4，0）和（0，2）的距离相等，故有
(?4?x)
2
?(0?x)
2
?x
2
?(2?x)
2
，


即
4x??12
，∴
x??3
，
y? ?x?3
，从而圆心坐标是（－3，3）．
又
r?(?4?3)
2
?3
2
?10
， 故所求圆的方程为
(x?3)?(y?3)?10
．
22
解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程）


< br>同解法一求得两交点坐标
A
（－4，0），
B
（0，2），弦AB的中 垂线为
2x?y?3?0
，
它与直线
x?y?0
交点（－3，3）就是圆心，又半径
r?10
，
故所求圆的方程为
(x?3)?(y?3)?10
．
22
解法三：（用待定系数法求圆的方程）
同解法一求得两交点坐标为
A
（－4，0），
B
（0，2）．
设 所求圆的方程为
(x?a)?(y?b)?r
，因两点在此圆上，且圆心在
x?y?0
上，
222
用心 爱心 专心
11

?< br>a??3
?
(?4?a)
2
?b
2
?r
2< br>?
222
所以得方程组
?
?
a?(3?b)?r
，解之得
?
b?3
，
?
a?b?0
?
?
?
r?10
故所求圆的方程为
(x?3)?(y?3)?10
．
22
解法四：（用“圆系”方法求圆的方程．过后想想为什么？）
设所求圆的方程为
x
2
?y
2
?2x?10y?24?
?
(x
2
?y
2
?2x?2y?8)?0
(
?
??1)
，




即
x
2?y
2
?
2(1?
?
)2(5?
?
)8(3?
?
)
x?y??0
．
1?
?
1?
?1?
?
1?
?
5?
?
,?)
．
1?
?
1?
?
1?
?
5?
?
因圆心在直线x?y?0
上，所以
??0
，解得
?
??2
．
1?
?
1?
?
可知圆心坐标为
(
将
?
? ?2
代入所设方程并化简，求圆的方程
x?y?6x?6y?8?0
．
29.A； 30.C； 31.B；
32.（1）
3
；（2 ）
?6?2
；（3）
x?y
22
?
22
?
min
?43
；
?
x
2
?y
2
?
max
?7?43
.
33．解：我们以台风中心为原点
O
，东西 方向为
x
轴，建立如图所示的直角坐标系．
这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为

x
2
?y
2
?30
2
① 轮船航线所在直线
l
的方程为

x
?
y
?1
，即
4x?7y?280?0
② 7040
如果圆
O
与直线
l
有公共点，则轮船受影响，需要改变 航
向；如果
O
与直线
l
无公共点，则轮船不受影响，无需改变航向．
由于圆心
O
（0，0）到直线
l
的距离
|4?0?7?0?280|280

d???30
，
22
67
4?7


所以直线
l
与圆O
无公共点．这说明轮船将不受台风影响，不用改变航向．
用心 爱心 专心
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