高中数学直线和圆知识点总结(1)

R?R
2
，半径之差R
1
?R
2
（
R
1
?R
2
） 的大小关系 判断圆心距
d?OO
12
与两圆半径之和
1
当
d?R
1
?R
2
时，两圆相离，有4条公切线；
当
d?R
1
?R
2
时，两圆外切，有3条公切线；
当
R
1
?R
2
?d?R
1
?R
2
时，两圆相交，有2条公切线；
当
d?R
1
?R
2
时，两圆内切，有1条公切线；
当
0?d?R
1
?R
2
时，两圆内含，没有公切线；
4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减
5．弦长公式：
l?2R
2
?d
2



例1若圆
x
＋
y
＝1与直线
y
＝
kx＋2没有公共点，则实数
k
的取值范围是________．
2
解析：由题意知 ＞1，解得－3＜
k
＜3.
2
1＋
k
答案：(－3， 3)


2222< br>例2已知两圆
C
1
：
x
＋
y
－2
x
＋10
y
－24＝0，
C
2
：
x
＋
y
＋2
x
＋2
y
－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是
____________．
解析：两圆相减即得
x
－2
y
＋4＝0.
答案：
x
－2
y
＋4＝0


22例3设直线
x
－
my
－1＝0与圆(
x
－1)＋(y
－2)＝4相交于
A
、
B
两点，且弦
AB
的 长为23，则实数
m
的值是
________．
|1－2
m
－1|3
解析：由题意得，圆心(1,2)到直线
x
－
my
－1＝ 0的距离
d
＝4－3＝1，即＝1，解得
m
＝±.
2
3
1＋
m
答案：±
3

3
22


22
例4若
a
，
b< br>，
c
是直角三角形
ABC
三边的长(
c
为斜边)，则 圆
C
：
x
＋
y
＝4被直线
l
：
a x
＋
by
＋
c
＝0所截得的弦
长为________． < br>解析：由题意可知圆
C
：
x
＋
y
＝4被直线
l
：
ax
＋
by
＋
c
＝0所截得的弦长为2 22
4－
?
?
c
?
222
22
?，由于
a
＋
b
＝
?
a
＋
b
?
c
2
，所以所求弦长为23.
答案：23



22
例5已知⊙
M
：
x
＋(
y
－2)＝1 ，
Q
是
x
轴上的动点，
QA
，
QB
分别切 ⊙
M
于
A
，
B
两点．
42
(1)若|< br>AB
|＝，求|
MQ
|及直线
MQ
的方程；
3

(2)求证：直线
AB
恒过定点．
22
解：(1)设直线
MQ
交
AB
于点
P
，则|
AP< br>|＝，又|
AM
|＝1，
AP
⊥
MQ
，
AM
⊥
AQ
，得|
MP
|＝
3
2
|
MA
|
又∵|
MQ
|＝，∴|
MQ
|＝3.
|
MP
|
22
81
2
1－＝，
93设
Q
(
x,
0)，而点
M
(0,2)，由
x< br>＋2＝3，得
x
＝±5，
则
Q
点的坐标为(5，0)或(－5，0)．
从而直线
MQ
的方程为2
x
＋5
y
－25＝0或2
x
－5
y< br>＋25＝0.
(2)证明：设点
Q
(
q,
0)，由几何性质 ，可知
A
，
B
两点在以
QM
为直径的圆上，此圆的方程为< br>x
(
x
－
q
)＋
y
(
y
－ 2)
?
3
?
＝0，而线段
AB
是此圆与已知圆的公共弦，相 减可得
AB
的方程为
qx
－2
y
＋3＝0，所以直线
AB
恒过定点
?
0，
?
.
?
2
?



22
例6过点(－1，－2 )的直线
l
被圆
x
＋
y
－2
x
－2
y
＋1＝0截得的弦长为 2，则直线
l
的斜率为________．
2
22
解析：将圆的方程化成标准方程为(
x
－1)＋(
y
－ 1)＝1，其圆心为(1,1)，半径
r
＝1.由弦长为2得弦心距为.
2
设直线方程为
y
＋2＝
k
(
x
＋1)，即
kx< br>－
y
＋
k
－2＝0，则
17
答案：1或
7


例7圆
x
－2
x
＋
y－3＝0的圆心到直线
x
＋3
y
－3＝0的距离为________．
|1－3|
解析：圆心(1,0)，
d
＝＝1.
1＋3
答案：1


例8圆心在原点且与直线
x
＋
y
－2＝0相切的圆的方程为
____________________．
222
解析：设圆的方程为
x
＋
y
＝
a
(
a
＞0)
|2|
∴＝
a
，∴
a
＝2，
1＋1
22
∴
x
＋
y
＝2.
22
答案：
x
＋
y
＝2


例 9已知圆
C
经过
A
(5,1)，
B
(1,3)两点，圆心在
x
轴上，则圆
C
的方程为________________．
2 2
圆
C
的方程为
x
＋
y
＋
Dx
＋
F
＝0，
?
26＋5
D
＋
F
＝0，?
则
?
?
?
10＋
D
＋
F
＝ 0，
?
?
D
＝－4，
解得
?
?
F
＝－6.
?
22
|2
k
－3|217
2
＝，化简得 7
k
－24
k
＋17＝0，得
k
＝1或
k
＝.
7
k
2
＋1
2

2


2

圆
C
的方程为
x
＋
y
－4< br>x
－6＝0.
22
[答案] (1)C (2)
x
＋
y
－4
x
－6＝0


例10 (1)与曲线
C
：
x
2
＋
y
2< br>＋2
x
＋2
y
＝0相内切，同时又与直线
l
：
y
＝2－
x
相切的半径最小的圆的半径是________．
22
(2)已知实数
x
，
y
满足(
x< br>－2)＋(
y
＋1)＝1则2
x
－
y
的最大值为__ ______，最小值为________．
解析：(1)依题意，曲线
C
表示的是 以点
C
(－1，－1)为圆心，2为半径的圆，圆心
C
(－1，－1)到直线
y
＝2－
x

|－1－1－2|22＋232
即
x
＋
y
－2＝0的距离等于＝22，易知所求圆的半径等于＝.
222
(2)令
b
＝2
x
－
y
，则
b为直线2
x
－
y
＝
b
在
y
轴上的截距 的相反数，当直线2
x
－
y
＝
b
与圆相切时，
b< br>取得最值．由
|2×2＋1－
b
|
＝1.解得
b
＝5 ±5，所以2
x
－
y
的最大值为5＋5，最小值为5－5.
5
32
答案：(1) (2)5＋5 5－5
2

y
－2
22
例11已知
x
，
y
满足
x
＋
y
＝1，则的最小值为________．
x
－1
y< br>－2
y
－2
解析：表示圆上的点
P
(
x
，< br>y
)与点
Q
(1,2)连线的斜率，所以的最小值是直线
PQ
与圆相切时的斜率．设
x
－1
x
－1
|2－
k
|3
y
－23
直线
PQ
的方程为
y
－2＝
k< br>(
x
－1)即
kx
－
y
＋2－
k
＝ 0.由
2
＝1得
k
＝，结合图形可知，≥，故最小值
4
x< br>－14
k
＋1
3
为.
4
3
答案：
4


22
例12已知两点
A
(－2,0)，B
(0,2)，点
C
是圆
x
＋
y
－2
x
＝0上任意一点，则△
ABC
面积的最小值是________．
3解析：
l
AB
：
x
－
y
＋2＝0，圆心(1, 0)到
l
的距离
d
＝，
2
3
则
AB
边上的高的最小值为－1.
2
1?
3
?
故△
ABC
面积的最小值是×22×
?
－1
?
＝3－2.
2
?
2
?
答案：3－2


例13平面直角坐标系xoy中，直线
x?y?1?0
截以原点 O为圆心的圆所得的弦长为
6

（1）求圆O的方程；
（2）若直线
l
与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线
l
的方程 ；
（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于 点（m，０）
和（n，０），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
1
解： ⑴因为
O
点到直线
x?y?1?0
的距离为，
2
所以圆
O
的半径为
(
1
2
)
2
?(
6
2
)?2
，
2
故圆
O
的方程为
x
2
?y
2
?2
．
xy
⑵设直线
l
的方程为
??1(a?0,b?0)，即
bx?ay?ab?0
，
ab
ab
111
?2< br>，即
2
?
2
?
， 由直线
l
与圆< br>O
相切，得
ab2
a
2
?b
2
11
DE
2
?a
2
?b
2
?2(a
2
?b2
)(
2
?
2
)≥8
，
ab

当且仅当
a?b?2
时取等号，此时直线
l
的方程为
x?y?2?0
．
⑶设
M(x
1
,y
1)
，
P(x
2
,y
2
)
，则
N(x< br>1
,?y
1
)
，
x
1
2
?y
1
2
?2
，
x
2
2
?y
2
2< br>?2
，

x
1
y
2
?x
2< br>y
1
xy?x
2
y
1
，
,0)
，
m?
12
y
2
?y
1
y
2
?y< br>1
xy?x
2
y
1
xy?x
2
y
1
直线
NP
与
x
轴交点
(
12
，
,0)
，
n?
12
y
2
?y
1
y
2
?y
1
直线
MP
与
x
轴交点(
x
1
y
2
?x
2
y
1
x< br>1
y
2
?x
2
y
1
x
1
2
y
2
2
?x
2
2
y
1
2
(2?y
1
2
)y
2
2
?(2?y
2
2< br>)y
1
2
mn?
g
???2
，
2222
y?yy?yy?yy?y
21212121

故
mn
为定值2．





例14圆x
2
+y
2
=8内一点P（－1，2 ），过点P的直线l的倾斜角为
?
，直线l交圆于A、B两点.
（1）当
?
=
3
?
时,求AB的长；
4
（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程.

解:（1）当
?
=
3
?
时，k
AB
=－1，
4
直线AB的方程为y－2=－（x+1），即x＋y－1=0.
故圆心（0，0） 到AB的距离d=
从而弦长|AB|=2
8?
1
=
30
.
2
0?0?1
2
=
2
，
2
（2） 设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
） ，则x
1
+x
2
=－2，y
1
+y
2
=4 .
22
?
?
x
1
?y
1
?8,
由
?
22

?
x?y?8,
2
?
2
两式相减得（x
1+x
2
）（x
1
－x
2
）+（y
1
+ y
2
）（y
1
－y
2
）=0，
即－2（x< br>1
－x
2
）+4（y
1
－y
2
）=0，
∴k
AB
=
y
1
?y
2
1
?
.
x
1
?x
2
2
∴直线l的方程为y－2=（x＋1），即x－2y＋5=0.


例15已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x－y+10=0上.
(1)若动圆C过点(－5,0),求圆C的方程;
(2)是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆 O:x
2
+y
2
=r
2
相外切的圆有且仅有一个，若存在, 请求出来;若不
存在,请说明理由.

解: (1)依题意,可设动圆C的方程为(x－a)
2
+(y－b)
2
=25,
其中圆心(a,b)满足a－b+10=0.
又∵动圆过点(－5,0),∴(－5－a)
2
+(0－b)
2
=25.
解方程组
?
?
?
a?b?10?0
,
22
?
(?5?a)?(0?b)?25
?
1
2

可得
?
?
a??10
?
a??5
或
?
,
b?0b?5
??
10
1?1
故所求圆C的方程为(x+ 10)
2
+y
2
=25或(x+5)
2
+(y－5)
2
=25.
(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d==5
2
.
当r满足r+5 ＜d时，动圆C中不存在与圆O：x
2
+y
2
=r
2
相外切 的圆；
当r满足r+5＞d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x
2
+y
2
=r
2
相外切；
当r满足r+5=d,即 r=5
2
－5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x
2
+y
2=r
2
相外切.





题目

1．自点
A(?1,4)
作圆
(x?2)
2
?( y?3)
2
?1
的切线
l
，则切线
l
的方程为 ．




22
2．求与圆
x?y?5
外切于点
P(?1,2)
，且半径为
25
的圆的方程.





3．若点P在直线l
1
：x＋y＋3＝0上，过点P 的直线l
2
与曲线C：(x－5)
2
＋y
2
＝16相切于点 M，则PM的最小
值 ．










OQ
=0. 4．设O为坐 标原点，曲线x
2
+y
2
+2x－6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直 线x+my+4=0对称，又满足
OP
·
（1）求m的值；
（2）求直线PQ的方程.

5．已知圆C：x
2
+y
2－2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过< br>原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.









6. 已知曲线C：x
2
+y
2
－4ax＋2ay－20＋20a=0.
（1）证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；
（2）当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；
（3）若曲线C与x轴相切，求a的值.