高中数学 第二十三讲 圆与圆

第二十三讲 圆与圆
圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有
如下三种方法：
1．通过两圆交点的个数确定；
2．通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定；
3．通过两圆的公切线的条数确定．
为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以
及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线．
熟悉以下基本图形、基本结论：








【例题求解】
【例1】 如图，⊙O
l
与半径为4的 ⊙O
2
内切于点A，⊙O
l
经过圆心O
2
，作⊙O
2
的直径BC
交⊙O
l
于点D，EF为过点A的公切线，若O
2D=
22
，那么∠BAF= 度．
(重庆市中考题)
思路点拨 直径、公切线、O
2
的特殊位置等，隐含丰富的信息 ，而连O
2
O
l
必过A点，先求
出∠D O
2
A的度数．






注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使
弦切角与圆 周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通．同时，又是生成圆幂定理的重要因
素．
(2)涉 及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，
将分散的条件集中，通 过解直角三角形求解．
【例2】 如图，⊙O
l
与⊙O
2
外切 于点A，两圆的一条外公切线与⊙O
1
相切于点B，若AB
与两圆的另一条外公切线平 行，则⊙O
l
与⊙O
2
的半径之比为( )
A．2：5 B．1：2 C．1：3 D．2：3
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨 添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠CO
l
O
2
(或∠DO
2
O
l
)的度数，
为此需寻求∠CO
1
B、∠CO
1
A、∠BO
1
A的关系．

【例3】 如图，已知⊙O
l
与⊙O
2
相交于A、B两点，P是⊙O
l
上一点，PB的延长线交⊙
O
2
于点C，PA交⊙O
2
于点D，CD 的延长线交⊙O
l
于点N．
(1)过点A作AE∥CN交⊙O
l
l于点E，求证：PA=PE；
(2)连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长．
(重庆市中考题)
思路点拨 (1)连AB，充分运用与圆相关的角，证明∠PAE=∠PEA；( 2)PB·PC=PD·PA，
探寻PN、PD、PA对应三角形的联系．







【例4】 如图，两个同心圆的圆心是O，AB 是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，
连结OD并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已 知AC=
42
，大、小两圆半径差
为2．
(1)求大圆半径长；
(2)求线段BF的长；
(3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切．
(宜宾市中考题)
思路点拨 (1)设大圆半径为R，则小圆半径为R-2，建立R的方程；(2) 证明△EBC∽△ECF；
(3)过B、F、C三点的圆的圆心O′，必在BF上，连OˊC，证明∠O ′CE=90°．











注：本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角 、切线的判定、勾股
定理、相似三角形等丰富的知识．作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例 的关键．

【例5】 如图，AOB是半径为1 的单位圆的四分之一，半圆O
1
的圆心O
1
在OA上，并与
弧AB内 切于点A，半圆O
2
的圆心O
2
在OB上，并与弧AB内切于点B，半圆O< br>1
与半圆
O
2
相切，设两半圆的半径之和为
x
，面积 之和为
y
．
(1)试建立以
x
为自变量的函数
y
的解析式；
(2)求函数
y
的最小值．
(太原市竞赛题)
思路点拨 设两圆半径分别为R、r，对于(1)，
y?
1?
(R
2
?r
2
)
，通过变形把R
2
+r
2
用“
x
=R+r”
2
的代数式表示，作出基本辅助线 ；对于(2)，因
x
=R+r，故是在约束条件下求
y
的最小值，
解 题的关键是求出R+r的取值范围．







注：如图，半径分别为r、R的⊙O
l
、⊙O
2
外切于 C，AB，CM分别为两圆的公切线，O
l
O
2
与AB交于P点，则：
(1)AB=2
Rr
；
(2) ∠ACB=∠O
l
M O
2
=90°；
(3)PC
2
=PA·PB；
(4)sinP=
R?r
；
R?r
112
(5)设C到AB的距离为d，则
??
．
rRd





学力训练
1．已知：⊙O
l
和⊙O
2
交于A、B两点，且⊙O
l
经过点O
2
，若∠AO
l
B= 90°，则∠A O
2
B的
度数是 ．
2．矩形 ABCD中，AB=5，BC=12，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，
点B在圆C 外，那么圆A的半径r的取值范围 ．
(2003年上海市中考题)
3．如图；⊙O
l
、⊙O
2
相交于点A、B，现给出4个命题：
(1)若AC是⊙O
2
的切线且交⊙O
l
于点C，AD是⊙O< br>l
的切线且交⊙O
2
于点D，则
AB
2
=BC·BD ；
(2)连结AB、O
l
O
2
，若O
l
A= 15cm，O
2
A=20cm，AB=24cm，则O
l
O
2
=25cm；
(3)若CA是⊙O
l
的直径，DA是⊙O
2
的一条非直径的弦，且点D、B不重合，则C、B、
D三点不在同一条直线上，

(4)若过点A作⊙O
l
的切线交⊙O
2
于点D，直线DB交⊙O
l
于点C，直线CA 交⊙O
2
于点
E，连 结DE，则DE
2
=DB·DC，则正确命题的序号是 (写出所有正确命题
的序号) ．
(厦门市中考题)




4．如图，半圆O的直径AB=4，与 半圆O内切的动圆O
l
与AB切于点M，设⊙O
l
的半径
为
y
，AM的长为
x
，则
y
与
x
的函数关系是 ，自变量
x
的取值范围是 ．
(昆明市中考题)






5．如图，施工 工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其
最高点到地面的距离是( )
21?33
C． D．
1?

222< br>6．如图，已知⊙O
l
、⊙O
2
相交于A、B两点，且点O
l
在⊙O
2
上，过A作⊙O
l
l的切线AC
A．2 B．
1?
交B O
l
的延长线于点P，交⊙O
2
于点C，B P交⊙O
l
于点D，若PD=1，PA=
5
，则AC
的长为( )
A．
5
B．
25
C．
2?5
D．
35

(武汉市中考题)





7．如图，⊙O
l
和⊙O
2外切于A，PA是内公切线，BC是外公切线，B、C是切点①PB=AB；
②∠PBA=∠PAB ；③△PAB∽△O
l
AB；④PB·PC=O
l
A·O
2
A．
上述结论，正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(郴州市中考题)
8．两圆的半径分别是和r (R>r)，圆心距为d，若关于
x
的方程
x
2
?2rx?(R?d)
2
?0
有两个
相 等的实数根，则两圆的位置关系是( )
A．一定内切 B．一定外切 C．相交 D．内切或外切
(连云港市中考题)