高中数学直线和圆知识点复习总结

高中数学直线和圆知识点复习总结
直线和圆知识梳理
【一】【直线的方程】
1．斜率与倾斜角：
k?tan
?
，
?
?[0,
?
)

（1）
?
?[0,
?
2
（2）
?
?
)
时，
k?0
；
??
?
2
时，
k
不存在；（3）
?
?(
?
2
,
?< br>)
时，
k?0

（4）当倾斜角从
0
增加到
90
时，斜率从
0
增加到
??
；
当倾斜角从
90
增加到
180
时，斜率从
??
增加到
0

2．直线方程
（1）点斜式：
y?y
0
?k(x?x
0
)

（2）斜截式：
y?kx?b

??
（3）两点式：
y?y
1
x?x
1
?

y
2
?y
1
x
2
?x
1
（4）截 距式：
xy
??1

ab
（5）一般式：
Ax?By?C?0

3．距离公式
(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
（1）点
P
1
(x
1
,y
1
)
，P
2
(x
2
,y
2
)
之间的距离：
P P
12
?
（2）点
P(x
0
,y
0
)到直线
Ax?By?C?0
的距离：
d?
22
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22

（3）平行线间的距 离：
Ax?By?C
1
?0
与
Ax?By?C
2
? 0
的距离：
d?
4．位置关系
（1）截距式：
y?kx?b
形式
重合：
k
1
?k
2
b
1
?b
2
相交：
k
1
?k
2

平行：
k
1
?k
2
b
1
?b
2
垂直：
k
1
?k
2
??1

（2）一般式：
Ax?By?C?0
形式
重合：
A
1B
2
?A
2
B
1
且
A
1
C< br>2
?A
2
C
1
且
B
1
C
2
?C
1
B
2

平行：
A
1
B2
?A
2
B
1
且
A
1
C
2< br>?A
2
C
1
且
B
1
C
2
? C
1
B
2

1 10
|C
1
?C
2
|
A?B
22

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垂直：
A
1
A< br>2
?B
1
B
2
?0
相交：
A
1
B
2
?A
2
B
1

5．直线系
A
1
x?B
1
y?C
1
＋（
?
A
2
x?B
2
y?C
2
）?0
表示过两直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
和
l
2
:A
2
x?B
2
y ?C
2
?0
交点的所
有直线方程（不含
l
2
）

【二】【圆】
1．圆的方程
（1）标准形式：
(x?a)?(y?b)?R
（
R?0
）
22
（2）一般式：
x?y?Dx?Ey?F?0
（
D?E?4F?0）
22
222
?
x?x
0
?rcos
?（3）参数方程：
?
（
?
是参数）
?
y?y
0
?rsin
?
【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问 题去解决.
（4）以
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
为直径的圆的方程是：
(x?x
A
)(x?x
B
)?(y?y
A
)(y?y
B
) ?0

2．位置关系
（1）点
P(x
0
,y
0< br>)
和圆
(x?a)?(y?b)?R
的位置关系：
222
2 22
当
(x
0
?a)?(y
0
?b)?R
时，点< br>P(x
0
,y
0
)
在圆
(x?a)?(y?b)?R
内部
222
222
当
(x
0
?a)?(y
0
?b)?R
时，点
P(x
0
,y
0
)
在圆
(x?a)?(y?b)?R
上
222
222
当
(x
0
?a)?(y
0
?b)?R
时，点
P(x
0,y
0
)
在圆
(x?a)?(y?b)?R
外
222
（2）直线
Ax?By?C?0
和圆
(x?a)?(y?b)?R
的 位置关系：
判断圆心
O(a,b)
到直线
Ax?By?C?0
的距 离
d?
当
d?R
时，直线和圆相交（有两个交点）；
当
d?R
时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）；
当
d?R
时，直线和圆相离（无交点）；




2 10
222
|Aa?Bb?C|
A?B
22
与半径
R
的大小关系

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3．圆和圆的位置关系
判断圆心距
d?OO
12
与两圆半径之和< br>R
1
?R
2
，半径之差
R
1
?R
2
（
R
1
?R
2
）的大小关系
当
d?R
1
?R
2
时，两圆相离，有4条公切线；
当
d?R
1
?R
2
时，两圆外切，有3条公切线；
当
R
1
?R
2
?d?R
1
?R
2
时，两圆相交，有2条公切线；
当
d?R
1
?R
2
时，两圆内切，有1条公切线；
当
0?d?R
1
?R
2
时，两圆内含，没有公切线；
4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减
5．弦长公式：
l?2R
2
?d
2


【三】【初中圆的理论汇编】
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系
1、点在圆内
?
d?r
?
点
C
在圆内；
2、点在圆上
?
d?r
?
点
B
在圆上；
3、点在圆外
?
d?r
?
点
A
在圆外；


3 10
A
r
B
d
C
d
O

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三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离
?
d?r
?
无 交点；2、直线与圆相切
?
d?r
?
有一个交点；
3、直线与圆相交
?
d?r
?
有两个交点；
r
d
d=r
r
d


四、圆与圆的位置关系
外离（图1）
?
无交点
?
d?R?r
；外切（图2）
?
有一个交点
?
d?R?r
；
相交（图3）
?
有两个交点
?
R?r?d?R?r
；内切（图4）
?
有一个交点
?
d?R?r
；
内含（图5）
?
无交点
?
d?R?r
；
d
R
图2
r
d
R
图1
r
R
图3
d
r



五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4 个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，
即：
①
AB
是直径 ②
AB?CD
③
CE?DE
④ 弧
BC
?
弧
BD
⑤ 弧
AC
?
弧
AD

中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙
O
中，∵
AB
∥
CD

C
OA
D
O
E
C
B
D
A
4 10
B

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∴弧
AC
?
弧
BD


六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推
3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①
?AOB??DOE
；②
AB?DE
；
③
OC?OF
；④ 弧
BA
?
弧
BD


七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵
?AOB
和
?ACB
是弧
AB
所对的圆心角和圆周角
∴
?AOB?2?ACB


2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙
O
中，∵
?C
、
?D
都是所对的圆周角
∴
?C??D


推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙
O
中，∵
AB
是直径 或∵
?C?90?

∴
?C?90?
∴
AB
是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△
ABC
中，∵
OC?OA?OB

∴△
ABC
是直角三角形或
?C?90?



注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．


5 10
B
O
A
C
B
O
A
C
AO
D
C
E
F
B
C
D
C
BO
A
B
O
A

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八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙
O
中，
∵四边形
ABCD
是内接四边形
∴
?C??BAD?180??B??D?180?

C
D
?DAE??C


九、切线的性质与判定定理
B
A
E
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵
MN?OA
且
MN
过半径
OA
外端
∴
MN
是⊙
O
的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵
PA
、
PB
是的两条切线
∴
PA?PB

O
B
O
M
A
N
B
O
P
A
D
PO
平分
?BPA

P
A
C
C
十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙
O< br>中，∵弦
AB
、
CD
相交于点
P
，
∴
PA?PB?PC?PD

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它 分直径所成的两条
B
O
E
D
A
A
线段的比例中项。
D
E
O
即：在⊙
O
中，∵直径
AB?CD
，∴
CE?AE?BE

6 10
2
P
C
B

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（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙
O
中，∵
PA
是切线，
PB
是割线
∴
PA?PC?PB

（4）割线定理：从 圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙
O
中，∵
PB
、
PE
是割线
∴
PC?PB?PD?PE

十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：
O
1
O
2
垂直平分
AB
。
B
O1
A
O2
2
即：∵⊙
O
1
、⊙O
2
相交于
A
、
B
两点
∴
O
1
O
2
垂直平分
AB

十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：
Rt?O
1
O
2
C
中，
AB
2
?CO
1< br>2
?O
1
O
2
2
?CO
2
2
；
（2）外公切线长：
CO
2
是半径之差；内公切线长：
CO< br>2
是半径之和 。
十四、圆内正多边形的计算
（1）正三角形 在⊙
O
中△
ABC
是正三角形，有关计算在
Rt?BOD
中进行：
B
A
C
O2
B
O1
C
O
A
D
OD:BD:OB?1:3:2
；
（2）正四边形
同理， 四边形的有关计算在
Rt?OAE
中进行，
OE:AE:OA?1:1:2
：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在
Rt?OAB
中进行，
AB:OB:OA?1:3:2
.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇 形：（1）弧长公式：
l?
B
O
A
C
E
D
O
B
A
A
n
?
R
；
180
O
n
?
R
2
1
?lR
（2）扇形面积公式：
S?
3602
n
：圆心角
R
：扇形多对应的圆的半径
l
：扇形弧长
S
：扇形面积
7 10
S
l
B

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2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
S
表
?S
侧
?2S
底
=
2
?
rh?2
?
r
2

（2）圆柱的体积：
V?
?
r
2
h

（2）圆锥侧面展开图
（1）
S?S
?
?
r
2< br>表
侧
?S
底
=
?
Rr

（2）圆锥的体积：
V?
1
2
3
?
rh


A
D
D1
母线长
底面圆周长
B
C
C1
B1
O
R
A
C
r
B
8 10

高中数学直线和圆知识点复习总结
（一）圆的有关性质
［知识归纳］
1. 圆的有关概念：
圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；
弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；
圆的内接三角形、 三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；
圆心角、圆周角、圆内接四边形的外 角。

2. 圆的对称性
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；
圆具有旋转不变性。

3. 圆的确定
不在同一条直线上的三点确定一个圆。

4. 垂直于弦的直径
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；
推论1
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推
出另外三个：① 过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平
分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。

5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心
距相等。
推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组
量相等，那么它 们所对应的其余各组量都分别相等。
此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面 四个条件中的任何一个就能推出另
外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心 角或两条
弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

6. 圆周角
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；
推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。


7. 圆内接四边形的性质
9 10

高中数学直线和圆知识点复习总结
圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

※8. 轨迹
轨迹 符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。
（1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆；
（2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；
（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。



10 10