高中数学圆的方程专题复习.doc

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内容：圆与方程
本章考试耍求
考试内容

要求层次
A


B

圆与方程
圆的标准方程与一般方程
直线与圆的位置关系
两
1
员
1
的位置关系
C
V


用直线和圆的方程解决简单的 问
题
空间直角坐标 系
空间直角坐标系
空间两点间的距离公式
—*、圆的方程
【知识要点】
V


1
?圆心为
C(a,b),
半 径为
r
的圆的标准方程为:
(x-a)
+(y-b) = r (r >
0)
a = b = 0Wi
f
圆心在原点的圆的方程为：
x
+y = r.
22
222
（n Jn
+ F
2
-4F
2
2.
圆的一般方程
x
2
+
2
+）
X
+

?
F = o
,圆心为点—乂，—土 ,半径
Q八匕

I 2 2
丿
其屮
?）
2
+E
2
-4F>0
?
2
3
.圆系方程:过圆
C] :
x
+ y + D
}
x + E
}
y +
=0
与圆
C?:
x + y + D
2
x + E
2
y+ F
2
=0

2222
交点的圆系方程是
x
2
+ + D,x+ E,y + F
；
+ >1（.? + + D
2
X
+ E
2
y + F
2
） = 0
（不含圆
C
2
）, 当
A = -l
时圆系方程变为两圆公
共弦所在直线方程.
【互动探究】
考点一求圆的方程
问题
1.
求满足下列各条件圆的方程：
(1)
以两点人(-
3,-1), 3(5,5)
为直径端点的圆的方程是 ______________________________
(2)
求经过
A(5,2), B(3,-2)
两点，圆心在宜线
2
兀-
)，
=3
上的圆的方程;
⑶过点
4(4,1)
的圆
C
与直线
x-y- = 0
相切于点
B
(
2,l),
则圆
C
的方程是?
考点二圆的标准方程与一般方程
问题
2.
方程
F
+丿
2+
Q
兀+
2
砒，+
2
夕
+
Q
_] = 0
表示圆，则
Q
的取值范围是

考点三轨迹问题
问 题
3.
点
P
(
4,-2)
与圆
X

+

=4
上任一点连线的中点轨迹方程是
2

问题
4.
设两点
A(-3,0), 5(3,0),
动点
P
到点
A
的距离与到点
3
的距离的比为
2,
求
P点的轨迹.
二、直线和圆、


的位置关系
【知识要点】
1
?直线与圆的位置关系
将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别 %△,
位置关系 相切 相交 相离
圆的半径为”圆心
C
到直
d — r

d
d> r

线的距离为〃，则直线 圆的位置关系满足以下关系：
几何特征
代数特征
A=0 A>0 A<0
2
.直线截圆所得弦长的计算方法：
利用垂径定理和勾股定理：
AB = 2yr
2
-d
2
(其中厂为圆的半径，
d
直线到圆心的距离).
3
.圆与圆的位置关系：① 设两圆的半径分别为?和厂，圆心距为
d,
则两圆的位置关系满足关系:
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
几何特征
d>R + r

d = R + r

R-r
d = R-r

0
代数特征 无实数解
一组实数解 两组实数解
一组实数解 无实数解
②设两圆
C
l
:x
2
4- + D
1
x+E
1
^4-fi=0, C
2
:x
2
+ r 4-O
2
x+E
2
y + F>=0,
若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程
4
.相切问题的解法：
① 利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解
② 利用鬪心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为-
1
(或一条直线存在斜率，另一条不存在)
③ 利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即△ = ()來求解.
特殊地，已知切点
P(x
0
,y
0
)
，圆兀
2
+尸=斥的切线方程为 _______________________ .
IM1
(兀—
Q
)2
+(〉，_防=
r
2
的切线方程为 _____________________________________
【互动探究】 考点一 直线与圆的位置关系
问题
1:(1)
已知圆
C
：
+ y2_4x = 0,
过点
P(3,0)
的直线，贝
I
」
A. Z
与
C
相交
B
与
C
相切
C.
与
C
相离
D.
以上三个选项均有可能
(
2
)
直线

：

nu-y + -m
与圆
C
：
x
2
+(y-l)
2
= 1
的位置关系是
4
相离
B.
相切
C.
相交
D
无法确定，与加的取值有关.
⑶过点
P
(
l,3)
引圆兀
2 +
)
,2 _4
兀_
4
〉，-
10 = 0
的弦，则所作的弦屮最短的弦长为
A 2
A
2 B.4 C.8
D.
4V2
(
4)
求圆心为
(1,2) Ji
与直线
5x-l2y-7 =
0
相切的圆 _____________________________________
考点二 直线与圆相切的有关问题
问题
2
?
(1)
圆
x
2
+ -4.r = 0
在点
P(1,V3
)处的切线方程为 _________________________
(2)
过点
P
(
2,3)
的圆
X
2

+

=4
的切线方程是 _____________________________________
是

⑶过直线
x+y-2^2=0±
点
P
作圆
x
2
+ y
2
=l
的两条切线，若两条切线的夹角是
60
。, 则点
P
的坐标是 考点三直线与圆相交时的弦长
问题
问题
3
?
已知圆
C
方程为：兀
2+
〉,
2 =4.
直线 过点
P(l,2),
且与圆
C
交于
A
、
B
两点,若|的=
2
巧, 求直线的方程.
问题
4.
己知直线:
2mx-y-8m-3 =
0
和圆
C: F +
才 一
6
兀+
12y+ 20 = 0
；
(l)me?
吋 ，证明与＜?总相交；
(
2)
加取何值吋，被
C
截得弦长最短，求此 弦长.
考点四 圆与圆的位置关系
问题
5. (1))
圆
(
X
+

2)
2

+

= 4
与圆(兀-
2
尸
+0-1)2 =9
的位置关系为
A
内切
B.
相交
C.
外切
D
相离
(2) (2013
重庆)已知圆
C
1
:(
X
-2)
2
+(
J
-3)
2

=

1
,圆
C
2
:(x-3)
2
+(y-4)
2
=9, M,N
分别是圆
C,,C
2
±
的动点，
P
为兀轴 上的动点，则
|PN|
的最小值为
A 5^2-4
B,
V17-1 C. 6-2V2 D. V17
问题
6.
已知圆
OC,
：

X
2

+

+2
X
+

2
J
-8

=

0-^OC
2
：
x
2
+ -2x + 10y-24 = 0
相交于
A, 3
两点，
(1)
求公共弦
AB
所在的直线方程；
(
2)
求圆心在直线
y
二-兀上，且经过两点的圆 的方程；
【巩固训练】
1
.圆 +才-
4x + 6y +11 = 0
的圆心和半径分别是 _____________________
2.
已知圆
x
2
+
才+
2
兀-
4y + 4 = 0
关于直线
y = 2
兀+
b
成轴对称,贝
ij b = ______
3.
圆(兀+
2
尸+尸=
5
关于原点
(
0,0)
对称的圆的方程为 _______________________
4.
圆 +尸_
2
尤-
6y + 9 = 0
关于直线
2x + y + 5 = 0
对称的圆的方程是 _____________________
5.
两个圆严+)，+
2
兀
+2
)
一
2
二< br>0
与
C
2
x
2
+ y-4x-2y + l = 0
的公切线冇月.仅冇 ___________________________
|PM| +

6.
圆
x
2
+^
2
-4x-4y-10 = 0±
的点到直线
x+y-14 = 0
的最大距离与最小距离的差是 __________________________

7.
若
P（2, -1）
为圆
（x-l）
2
+ y
2
=25
的弦
43
的中点，则直线
A3
的方程是 ______________________
8.
由直线尸兀+
1
上的一点向圆（兀
-3）2
+），=
1
引切线，则切线长的最小值为 ________________________
9
?直线
yr
被圆兀$$ + （丿_
=4
截得的弦长为 _____________________________
10
.圆
r + b+2x+4
）
一
3 = 0
上到直线兀
+y + l
二
0
的距离为血的点共有 ____________ 个
11
?由点
P
（
0,l）
引圆+
4
的割线,交圆于两 点，使厶人。〃的面积为近
（
O
为原点），求直线的方程.
12. [2014-
全国新课标卷
I]
已知点
P（2, 2）,
圆
C
：

”+歹
2_8
》
M, O
为坐标原点.
（1）
求
M
的轨迹方程；
⑵
^OP = OM
时，求的方程及
△
POM
的面积.
2
0,
过点
P
的动直线与圆
C
交于
A, B
两点，线段朋,= 的屮点为