高一数学圆的方程经典例题46

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高一数学圆的方程经典例题46
典型例题一
例1 圆 上到直线 的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求
解．或先求出直线 、 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：
圆 的圆心为 ，半径 ． 设圆心 到直线 的距离为 ，则 ． 如图，
在圆心 同侧，与直线 平行且距离为1的直线 与圆有两个交点，这
两个交点符合题意． 又 ． ∴与直线 平行的圆的切线的两个切点中
有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合
题意的点是平行于直线 ，且与之距离为1的直线和圆的交点． 设所
求直线为 ，则 ， ∴ ，即 ，或 ，也即 ，或 ． 设圆 的圆心到直
线 、 的距离为 、 ，则 ， ． ∴ 与 相切，与圆 有一个公共点；
与圆 相交，与圆 有两个公共点．即符合题意的点共3个． 说明：
对于本题，若不留心，则易发生以下误解： 设圆心 到直线 的距离
为 ，则 ． ∴圆 到 距离为1的点有两个． 显然，上述误解中的 是
圆心到直线 的距离， ，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说
明圆上有两点到此直线的距离为1． 到一条直线的距离等 于定值的
点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的
点就是这两条平行 直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一
般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线 的距离和半径
的大小比较来判断． 典型例题三
例3 求过两点 、 且圆心在直线 上的圆的标准方程并判断点 与圆
的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的
大小，而要判断点 与圆的位置关系，只须看点 与圆心的距离和圆的
半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，
则点在 圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法）
设圆的标准方程为 ． ∵圆心在 上，故 ． ∴圆的方程为 ． 又∵
该圆过 、 两点． ∴ 解之得： ， ． 所以所求圆的方程为 ． 解
法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过 、 两点，所以圆心 必
在线段 的垂直平分线 上，又因为 ，故 的斜率为1，又 的中点为 ，
故 的垂直平分线 的方程为： 即 ． 又知圆心在直线 上，故圆心坐
标为 ∴半径 ． 故所求圆的方程为 ． 又点 到圆心 的距离为 ． ∴

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点 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求
圆的圆心和半径这两个关 键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和
半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又 该如何
来判定直线与圆的位置关系呢？
典型例题四
例4 圆 上到直线 的距离为 的点共有（ ）． （A）1个 （B）2个
（C）3个 （D）4个 分析：把 化为 ，圆心为 ，半径为 ，圆心到
直线的距离为 ，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 ，所以选
C．
典型例题五
例5 过点 作直线 ，当斜率为何值时，直线 与圆 有公共点，如图
所示． 分析：观察动画演示，分析思路． 解：设直线 的方程为 即
根据 有 整理得 解得 ．
典型例题六
例6 已知圆 ，求过点 与圆 相切的切线． 解：∵点 不在圆 上，
∴切线 的直线方程可设为 根据 ∴ 解得 所以 即 因为过圆外一点
作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条
切线为 ． 说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意
补回漏掉的解． 本题还有其他解法，例如把所 设的切线方程代入圆
方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用 ，求出切
点坐标 、 的值来解决，此时没有漏解．
典型例题七
例7 自点 发出的光线 射到 轴上，被 轴反射，反射光线所在的直
线与圆 相切 （1）求光线 和反射光线所在的直线方程． （2）光线
自 到切点所经过的路程． 分析、略解：观察动画演示，分析思路．根
据对称关系，首先求出点 的对称点 的坐标为 ，其次设过 的圆 的
切线方程为 根据 ，即求出圆 的切线的斜率为 或 进一步求出反射
光线所在的直线的方程为 或 最后根据入射光与反射光关于 轴对称，
求出入射光所在直线方程为 或 光路的距离为 ，可由勾股定理求
得 ． 说明：本题亦可把圆对称到 轴下方，再求解．
典型例题八

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例8 如图所示，已知圆 与 轴的正方向交于 点，点 在直线 上运动，
过 做圆 的切线，切点为 ，求 垂心 的轨迹． 分析：按常规求轨迹
的方法，设 ，找 的关系非常难．由于 点随 ， 点运动而运动，可
考虑 ， ， 三点坐标之间的关系． 解：设 ， ，连结 ， ， 则 ， ，
是切线 ， 所以 ， ， ， 所以四边形 是菱形． 所以 ，得 又 满
足 ， 所以 即是所求轨迹方程． 说明：题目巧妙运用了三角形垂心
的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方 程．做题时应注意分
析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关
联点轨 迹方程已知，可考虑代入法．

典型例题九
例9 求半径为4，与圆 相切，且和直线 相切的圆的方程． 分析：
根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解． 解：则题意，设所求圆
的方程为圆 ． 圆 与直线 相切，且半径为4，则圆心 的坐标为
或 ． 又已知圆 的圆心 的坐标为 ，半径为3． 若两圆相切，则
或 ． (1)当 时， ，或 (无解)，故可得 ． ∴所求圆方程为 ，或 ． (2)
当 时， ，或 (无解)，故 ． ∴所求圆的方程为 ，或 ． 说明：对
本题，易发生以下误解： 由题意，所求圆与直线 相切且半径为4，
则圆心坐标为 ，且方程形如 ．又圆 ，即 ，其圆心为 ，半径为3．若
两圆相切，则 ．故 ，解之得 ．所以欲求圆的方程为 ，或 ． 上述
误解只考虑了圆心在直线 上方的情形，而疏漏了圆心在直线 下方的
情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的． 典
型例题十
例10 已知圆 与直线 相交于 、 两点， 为原点，且 ，求实数 的
值． 分析：设 、 两点的坐标为 、 ，则由 ，可得 ，再利用一元
二次方程根与系数的关系求解．或因为通过原点的直线的斜率为 ，
由直线 与圆的方程构造以 为未知数的一元二次方程，由根与系数关
系得出 的值，从而使问题得以解决． 解法一：设点 、 的坐标
为 、 ．一方面，由 ，得 ，即 ，也即： ． ① 另一方面， 、
是方程组 的实数解，即 、 是方程 ② 的两个
根． ∴ ， ． ③ 又 、 在直线 上， ∴ ． 将③代入，得 ． ④

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将③、④代入①，解得 ，代入方程②，检验 成立， ∴ ． 解法二：
由直线方程可得 ，代入圆的方程 ，有 ， 整理，得 ． 由于 ，故
可得 ． ∴ ， 是上述方程两根．故 ．得 ，解得 ． 经检验可知 为
所求． 说明：求解本题时，应避免去求 、 两点的坐标的具体数值．除
此之外，还应对求出的 值进行必要的检验，这是因为在求解过程中
并没有确保有交点 、 存在． 解法一显示了一种解这类题的通法，
解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于 的二次齐次方程，
虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人
以一种淋漓酣畅，一气呵成 之感．
典型例题十一
例11 求经过点 ，且与直线 和 都相切的圆的方程． 分析：欲确定
圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点 ，故只需确
定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分
线上． 解：∵圆和直线 与 相切， ∴圆心 在这两条直线的交角平
分线上， 又圆心到两直线 和 的距离相等． ∴ ． ∴两直线交角的
平分线方程是 或 ． 又∵圆过点 ， ∴圆心 只能在直线 上． 设圆
心 ∵ 到直线 的距离等于 ， ∴ ． 化简整理得 ． 解得： 或 ∴
圆心是 ，半径为 或圆心是 ，半径为 ． ∴所求圆的方程为 或 ． 说
明：本题解决 的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，
从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与 两已知直线相切的
圆的方程的常规求法． 典型例题十二
例12 设圆满足：(1)截 轴所得弦长为2；(2)被 轴分成两段弧，其
弧长的比为 ，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线 的距离
最小的圆的方程． 分析：要求圆的方程 ，只须利用条件求出圆心坐
标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其
圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点
到直线的距离公式，通过求最小值的 方法找到符合题意的圆的圆心坐
标，进而确定圆的半径，求出圆的方程． 解法一：设圆心为 ，半径
为 ． 则 到 轴、 轴的距离分别为 和 ． 由题设知：圆截 轴所得
劣弧所对的圆心角为 ，故圆截 轴所得弦长为 ． ∴ 又圆截 轴所得
弦长为2． ∴ ． 又∵ 到直线 的距离为 ∴ 当且仅当 时取“=”

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号，此时 ． 这时有 ∴ 或 又 故所求圆的方程为 或 解法二：同解
法一，得 ． ∴ ． ∴ ． 将 代入上式得： ． 上述方程有实根，
故 ， ∴ ． 将 代入方程得 ． 又 ∴ ． 由 知 、 同号． 故
所求圆的方程为 或 ． 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的
方程，若变换为求面积最小呢？ 典型例题十三
例13 两圆 与 相交于 、 两点，求它们的公共弦 所在直线的方
程． 分析：首先求 、 两点的坐标，再用两点式求直线 的方程，但
是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不
求”的技巧． 解：设两圆 、 的任一交点坐标为 ，则有： ①
② ①－②得： ． ∵ 、 的坐标满足方程 ． ∴方程 是过 、 两点
的直线方程． 又过 、 两点的直线是唯一的． ∴两圆 、 的公共弦
所在直线的方程为 ． 说明：上述解法中，巧妙地避开了求 、 两点
的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与
方程的概念达到了目标．从解题的 角度上说，这是一种“设而不求”
的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深< br>刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛． 典
型例题十四
例14 已知对于圆 上任意一点 ，不等式 恒成立，求实数 的取值
范围． 解：运用圆的参数方程，设 的坐标为 ， 即 ， ， ∵ 恒成
立 ∴ 恒成立 即 恒成立 ∴只需 大于等于 的最大值． 令 的最大
值为 ∴ 说明：在上述解法中我们运用了圆上点的参数设 法．采用这
种设法的优点在于，一方面可以减少参数的个数，另一方面可以灵活
地运用三角公式 ．从代数的观点看，这种设法的实质就是三角代
换． 另外本题也可以不用圆的参数方程求解，本题的实质就是求最
值问题，方法较多．但以上述解法较简． 典型例题十五
例15 试求圆 ( 为参数)上的点到点 距离的最大(小)值． 分析：利
用两点间距离公式求解或数形结合求解． 解法一：设 是圆 上任一
点，则 ．所以 ． 因为 ，所以 ，因此 当 时， ． 当 时， ． 解
法二：将圆 代入普通方程得 ． 如图所示可得， 、 分别是圆上的
点到 的距离的最小值和最大值．易知： ， ． 说明： (1)在圆的参
数方程 ( 为参数)中， 为圆心， 为半径，参数 的几何意义是：圆

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的半径从 轴正向绕圆心按逆时针方向旋转到 所得圆心角的大小．若
原点为圆心，常常用 来表示半径为 的圆上的任一点． (2)圆的参数
方程也是解决某些代数问题的一个重要工具． 典型例题十六
例16 已知圆的方程为 ，圆内有定点 ，圆周上有两个动点 、 ，使 ，
求矩形 的顶点 的轨迹方程． 分析：利用几何法求解，或利用转移
法求解，或利用参数法求解． 解法一：如图，在矩形 中，连结 ， 交
于 ，显然 ， ， 在直角三角形 中，若设 ，则 ． 由 ，即 ， 也
即 ，这便是 的轨迹方程． 解法二：设 、 、 ，则 ， ． 又 ，即 ．①
又 与 的中点重合，故 ， ，即 ② ①＋②，有 ． 这就是所求的
轨迹方程． 解法三：设 、 、 ， 由于 为矩形，故 与 的中点重合，
即有 ， ① ， ② 又由 有 ③ 联立①、②、③消去 、 ，
即可得 点的轨迹方程为 ． 说明：本题的条件较多且较隐 含，解题
时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷
入困境之中． 本 题给出三种解法．其中的解法一是几何方法，它充
分利用了图形中隐含的数量关系．而解法二与解法三， 从本质上是一
样的，都可以称为参数方法．解法二涉及到了 、 、 、 四个参数，
故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆 的参数方程，只涉
及到两个参数 、 ，故只需列出三个方程便可．上述三种解法的共同
之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的 思想方法求解．
典型例题十七
例17 设点 是圆 是任一点，求 的取值范围． 分析一：利用圆上任
一点的参数坐标代替 、 ，转化为三角问题来解决． 解法一：设圆 上
任一点 则有 ， ∴ ，∴ ∴ ． 即 （ ） ∴ ． 又∵ ∴ 解之得： ． 分
析二： 的几何意义是过圆 上一动点和定点 的连线的斜率，利用此
直线与圆 有公共点，可确定出 的取值范围． 解法二：由 得： ，
此直线与圆 有公共点，故点 到直线的距离 ． ∴ 解得： ． 另外，
直线 与圆 的公共点还可以这样来处理： 由 消去 后得： ， 此方
程有实根，故 ， 解之得： ． 说明：这里将圆上的点用它的参数式
表示出来，从而将求变量 的范围问题转化成三角函数的有关知识来
求解．或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方
便．

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典型例题十八
例18 已知对于圆 上任一点 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范
围． 分析一：为了使不等式 恒成立，即使 恒成立，只须使 就行了．因
此只要求出 的最小值， 的范围就可求得． 解法一：令 ， 由 得：
∵ 且 ， ∴ ． 即 ，∴ ， ∴ ，即 又 恒成立即 恒成立． ∴ 成
立， ∴ ． 分析二：设圆上一点 [因为这时 点坐标满足方程 ]问题
转化为利用三解问题来解． 解法二：设圆 上任一点 ∴ ， ∵ 恒成
立 ∴ 即 恒成立． ∴只须 不小于 的最大值． 设 ∴ 即 ． 说明：
在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆 上的点
设为 ( )．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵
活地运用三角公式．从代数观点来看， 这种做法的实质就是三角代换．
典型例题十九
例19 (1)已知圆 ， 为圆 上的动点，求 的最大、最小值． (2)已
知圆 ， 为圆上任一点．求 的最大、最小值，求 的最大、最小值． 分
析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程
或数形结合解决． 解：(1)(法1)由圆的标准方程 ． 可设圆的参数
方程为 （ 是参数）． 则 （其中 ）． 所以 ， ． (法2)圆上点到
原点距离的最大值 等于圆心到原点的距离 加上半径1，圆上点到原
点距离的最小值 等于圆心到原点的距离 减去半径1． 所以 ． ． 所
以 ． ． (2) (法1)由 得圆的参数方程： 是参数． 则 ．令 ，
得 ， ． 所以 ， ． 即 的最大值为 ，最小值为 ． 此时 ． 所以
的最大值为 ，最小值为 ． (法2)设 ，则 ．由于 是圆上点，当直
线与圆有交点时，如图所示， 两条切线的斜率分别是最大、最小
值． 由 ，得 ． 所以 的最大值为 ，最小值为 ． 令 ，同理两条
切线在 轴上的截距分别是最大、最小值． 由 ，得 ． 所以 的最大
值为 ，最小值为 ． 典型例题二十
例20 有一种大型商品， 、 两地都有出售，且价格相同．某地居民
从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离 地的运费是 地的
运费的3倍．已知 、 两地距离为10公里，顾客选择 地或 地购买
这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求 、 两地的售
货区域的分界线的 曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民

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应如何选择购货地点． 分析：该题不论是问题的背景或生活实际的
贴近程度上都具有深刻的实 际意义和较强的应用意识，启示我们在学
习中要注意联系实际，要重视数学在生产、生活以及相关学科的 应
用．解题时要明确题意，掌握建立数学模型的方法． 解：以 、 所
确定的直线为 轴， 的中点 为坐标原点，建立如图所示的平面直角
坐标系． ∵ ，∴ ， ． 设某地 的坐标为 ，且 地居民选择 地购
买商品便宜，并设 地的运费为 元公里， 地的运费为 元公里．因
为 地居民购货总费用满足条件： 价格＋ 地运费≤价格＋ 地的运费
即： ． ∵ ， ∴ 化简整理得： ∴以点 为圆心 为半径的圆是两地
购货的分界线． 圆内的居民从 地购货便宜，圆外的居民从 地购货
便宜，圆上的居民从 、 两地购货的总费用相等．因此可随意从 、 两
地之一购货． 说明：实际应用题要明确题意，建议数学模型．