高中数学专题训练：圆与方程

高中数学专题训练：圆与方程
I 卷
一、选择题
1． 曲线
f(x)?
为
1?sinx
在点(0,f(0))
处的切线与 圆
C:(x?t)
2
?(y?t?1)
2
?1
的位置关系< br>cosx
( ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．与
t
的取值有关
【答案】A
2．若直线2
ay
－1 ＝0与直线(3
a
－1)
x
＋
y
－1＝0平行，则实数a
等于( )
A．
1
2
B．－
111
2
C．
3
D．－
3

【答案】C
3．若直线
y
＝
x
＋
b
与曲 线
y
＝3－4
x
－
x
2
有公共点，则
b< br>的取值范围是( )
A．[－1,1＋22] B．[1－22，1＋22]
C． [1－22，3] D．[1－2，3]
【答案】C
4． 已知圆C
22
1
：
(x?1)
+
(y?1)
=1，圆
C
2
与圆
C
1
关于直线
x?y?1?0
对 称，则圆
C
2
的方程
为（ ）
A．
(x?2)
2
+
(y?2)
2
=1 B．
(x?2)
2
+
(y?2)
2
=1
C．
(x?2)
2
+
(y?2)
2
=1 D．
(x?2)
2
+
(y?2)
2
=1
【答案】B
5． 平面上的点
(?1,1)和点(3,9)
的距离是(
A．
10
B．
20
C．
30
D．40
【答案】A
6． 已知圆C的半径为
2
，圆心在
x
轴的正 半轴上，直线
3x?4y?4?0
与圆C相切，则圆C的
方程为（ ）
A．
x
2
?y
2
?2x?3?0
B．
x
2
?y
2
?4x?0

C．
x
2
?y
2
?2x?3?0
D．
x
2
?y
2
?4x?0

【答案】D
7．已知圆
C
：(
x
－
a
)
2
＋(y
－2)
2
＝4(
a
>0)及直线
l
：
x
－
y
＋3＝0，当直线
l
被圆
C
截得的弦长为 23
时，
a
等于( )
A．2 B．2－2
C．2＋1 D．2－1
【答案】D
8．圆
x
2
＋
y
2＝50与圆
x
2
＋
y
2
－12
x
－6
y
＋40＝0的公共弦长为( )
A．5 B．6
C．25 D．26
【答案】C
1 9
)

?
x?2?0
?
22
9． 已知点M在曲线
x?y?4x? 3?0
上，点N在不等式组
?
3x?4y?4
所表示的平面区域上，
?
y?3?0
?
那么|MN|的最小值是
A．1 B．
( ）
210

3
C．
210
?1

3
D．2
【答案】A
22
10．已知直线
l
过 点(－2,0)，当直线
l
与圆
x
＋
y
＝2
x有两个交点时，其斜率
k
的取值范围是( )
A．(－22，22)
B．(－2，2)
22
??
，
?

4
??
4
11
D．
?
－，
?

?
88
?
C．
?
－
【答案】C
11． 直线
l:x?3y?0
与圆
C:x?y?4y?0
交于A、B两点，则△AB C的面积为（ ）
A． 3 B．
3
3 C．
23
D．
3

22
【答案】D
12．圆
x
2＋< br>y
2－4
x
＋6
y
＝0的圆心坐标是( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
【答案】D
22
13．若直线3
x
＋
y
＋
a
＝0过圆
x
＋
y
＋2
x
－4
y
＝0的圆心，则
a
的值为
( )
A．－1 B．1
C．3 D．－3
【答案】B
22
x?y?2x?my?4?0
上两点M、N关于直线2x+y=0对称，则圆的半径为（ ） 14．已知圆
A．9
【答案】B

B．3 C．2
3
D．2
2 9

II卷
二、填空题
15． 圆：
x?y?4x ?2y?k?0
与
y
轴交于
A
、
B
两点，其圆心为
P
，若
?APB?90?
，则
实数
k
的值是 ．
【答案】3
16．关于方程
x?y?2ax?2ay?0
表示的圆,下 列叙述中:①关于直线x+y=0对称;②其圆心在
x轴上;③过原点④半径为
22
2 2
2a
.其中叙述正确的是＿＿＿＿（要求写出所有正确命题的序号）
【答案】①③④
22
17．已知
P
是直线3
x
＋ 4
y
＋8＝0上的动点，
PA
、
PB
是圆
x
＋
y
－2
x
－2
y
＋1＝0的两条切线，
A、
B
是切点，
C
是圆心，那么四边形
PACB
面积的最 小值为________．
【答案】22
18． 若圆
x?y?4
与圆< br>x?y?2ay?6?0
（a>0）的公共弦的长为
23
，
则
a?
___________ 。
【答案】1
19 ．若某圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4
x
－3
y
＝0和
x
轴都相切，则该圆的标准方程
是______________．
22
【答案】(
x
－2)＋(
y
－1)＝1
11
22
20．若直线2
ax
－
by
＋2＝0(
a>0，
b
>0)被圆
x
＋
y
＋2
x
－ 4
y
＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小
2222
ab
值为___ _____．
【答案】4

3 9

三、解答题
21．过点
A(0,1),B(4,m)
且与
x
轴相切的圆有且只有一个，求实数
m
的值和这个圆的方程
【答案】由题意，设所求 圆的方程为
(x?a)?(y?b)?b
，
?
点
A(0,1),B( 4,m)
在圆上
2
?
?
2b?1?a
?
?
，
22
?
?
(4?a)?m?2bm?0
222
将上式代入下式并整理得：
(1?m)a?8a?16?m?m?0
①
22
?
满足条件的圆有且只有1个，
?
方程①有且只有1个根， < br>?
m?1
或
??64?4(1?m)(16?m
2
?m)?0
即
m?1
或
m(m?2m?17)?0

?m?1
或
m?0

5
2
25

)?
24
17
2
289
2
当
m?0
时，所 求圆的方程为
(x?4)?(y?)?

24
当
m?1
时， 所求圆的方程为
(x?2)?(y?
2

22．已知圆
C
1
的圆心在坐标原点
O
,且恰好与直线
l
1
:
x?y ?22?0
相切.
(Ⅰ) 求圆的标准方程；
(Ⅱ）设点
A(x
0,
y
0
)
为圆上任意一点,
AN?x
轴于
N,若动点
Q
满足
uuuruuuruuur
OQ?mOA?nON,(其中
m?n?1,m,n?0,m
为常数),试求动点
Q
的轨迹方程
C
2
；
m?
(Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，当
3
2< br>时,得到曲线
C
，问是否存在与
l
1
垂直的一条直线
l
与曲线
C
交于
B
、
D
两点,且
?BOD
为钝角，请说明理由.
【答案】 (Ⅰ)设圆的半径为
r
,圆心到直线1
距离为
d
，则
所以圆
l
d?
|?22|1?1
22
?2

C
1
22
x?y?4
的方程为
(Ⅱ）设动点
Q( x,y)
,
A(x
0,
y
0
)
AN?x
N (x
0
,0)
,轴于
N
,
?
x?(m?n)x< br>0
?x
0
?
y?my
0
(x,y)?m(x
0
,y
0
)?n(x
0
,0)
由题意,，所以
?< br>
4 9

?
x
0
?x?
?
1
1
y?y
A(x,y)
0
?
m
?
m
即: ，将
x
2
y
2
??1
22
2
x?y?4
44m
代入,得
x
2
y2
3
??1
m?
l:
C
43
2
(Ⅲ） 时,曲线方程为，假设存在直线
l
与直线
1
x?y?22?0
垂直,
设直线
l
的方程为
y??x?b

x
2y
2
??1
B(x
1
,y
1
),D(x
2
,y
2
)

l
43
设直线与椭圆交点
?
y??x?b
?
2
22
3x?4y
2
?12?
联立得:，得
7x?8bx?4b?12?0

8b4b
2
?12
x
1
?x
2
?,x
1
x
2
?
2
2
??48(7?b)?0
b?7
77
因 为，解得，且
uuuruuur
OD?OB?x
1
x
2
? y
1
y
2
?x
1
x
2
?(b?x
1
)(b?x
2
)
?2x
1
x
2
?b(x
1
?x
2
)?b
2

8b
2
?2 48b
2
7b
2
?24
2
???b?
777

7b
2
?24
?0
?BOD
7
因为为钝角，所以，
b
2
?
解得
24
7
满足
b
2?7

?-
242242
?b?
77

所以存在直线
l
满足题意


23． 已知圆C经过P(4,?2)
,
Q(?1,3)
两点，且在
(1）求直线PQ与圆C的 方程；
(2）若直线
l
∥
PQ
,且
l
与圆C交于 点A,B,且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线
l
的方
y
轴上截得 的线段长为
43
，半径小于5．
5 9

程
【答案】 (1）直线PQ的方程为：x+y-2=0
设圆心C（a,b），半径为r
13
由于线段PQ的垂直平分线的方程是y-
2
=x-
2

即y=x-1 所以b=a-1 ①
又由在y轴上截得的线段长为4
3

知（a+1）+（b-3）=12+a ②
由①②得：a=1,b=0或a=5,b=4
当a=1,b=0时，r=13 满足题意
当a=5,b=4时，r=37不满足题意
故圆C的方程为（x-1）+y=13
(2）设直线
l
的方程为y=-x+m
A（x
1
,m -x
1
）,B（x
2
,m-x
2
）
则，由题意可知OA⊥OB，即k
OA
?k
OB
=-1
22
2
2
222
∴
(m?x
1
)( m?x
2
???1
x
1
x
2
22
m
2
?12
2
x
1
+x
2
=1+m,x
1
x
2
=
即m-m?（1+m）+m-12=0
∴m=4或m=-3 ∴y=-x+4或y=-x-3
2222
24．在平面直角坐标系
xOy
中 ，已知圆
C
1
：(
x
＋3)＋(
y
－1)＝4和圆
C
2
：(
x
－4)＋(
y
－5)＝4.
(1)判断两圆的位置关系，并求连心线的方程；
(2)求直线
m
的方程， 使直线
m
被圆
C
1
截得的弦长为4，被圆
C
2截得的弦长为2.

【答案】(1)圆
C
1
的圆心
C
1
(－3,1)，半径
r
1
＝2；
圆
C
2
的圆心
C
2
(4,5)，半径
r
2
＝2. ∴
C
1
C
2
＝7＋4＝65>
r
1
＋
r
2
，
∴两圆相离，连心线所在直线方程为：
4
x
－7
y
＋19＝0.
(2)直线
m
的斜率显然存在．
∵直线
m
被圆
C
1
截得弦长为4.
∴直线
m
过圆
C
1
的圆心
C
1
(－3,1)．
∴设直线
m
的方程为
y
－1＝
k
(
x
＋ 3)．
∴
C
2
(4,5)到直线
m
的距离：
2 2
d
＝
|7
k
－4|28±186
＝3，∴
k＝．
2
46
k
＋1
28±186
(
x
＋3)．
46
222
∴直线方程为
y
－1＝
2
25．已知两 圆
x?y?10x?10y?0,x?y?6x?2y?40?0
，
求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长。
6 9

【答案】（1）
x?y?10x?10y?0,
①；
x?y?6x?2y?40?0
②；
②
?
①得：
2x?y?5?0
为公共弦所在直线的方程；
(2）弦长的一半为
50?20?
2222
30
，公共弦长为
230
。
26．已知点
A
(3,3)、
B
(5,2)到直线l
的距离相等，且直线
l
经过两直线
l
1
：3
x
－
y
－1＝0和
l
2
：
x
＋
y
－3＝0的交点，求直线
l
的方程．
?
?
3
x< br>－
y
－1＝0，
【答案】解方程组
?
?
?
x
＋
y
－3＝0，

得交点
P
(1,2)．
(1)若点
A
、
B
在直线
l
的同侧，则
l
∥
AB
.
3－21
而
k
AB
＝＝－，
3－52
1
由点斜式得直线
l
的方程为
y
－2＝－(x
－1)，
2
即
x
＋2
y
－5＝0； 5
(2)若点
A
、
B
分别在直线
l
的异侧，则 直线
l
经过线段
AB
的中点(4，)，
2
5
－2
y
－2
2
由两点式得直线
l
的方程为＝，
x
－14－1
即
x
－6
y
＋11＝0.
综上所述，直线
l
的方程为
x
＋2
y
－5＝0或
x
－6
y
＋11＝0.
27．如图，已知直线
l
1
:4x?y?0
，直线
l
2
:x?y?1?0
以及
l
2
上一点
P(3,?2)
．

(Ⅰ）求圆心M在
l1
上且与直线
l
2
相切于点
P
的圆⊙M的方程．
(Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下；若直线
l
1
分别与直线
l
2 < br>、圆⊙依次相交于
A
、
B
、
C
三点，利用代数法验< br>证：
|AP|
2
?|AB|?|AC|
.
【答案】（Ⅰ）设圆心为
M(a,b)
，半径为
r
，依题意，
b??4a
.
7 9

设直线
2
的斜率
k
2
??1
，过
P,C< br>两点的直线斜率
故
l
k
PC
，因
PC?l
2
，
k
PC
?k
2
??1
k
PC
?
，
∴
?2?(?4a)
?1
3?a
，
解得
a?1,b??4
.
r?|PC|?22
.
222
(x?1)?(y?4)?(22)
所求圆的方程为 .
1
?
x?
?
?
4x?y?0
?
3
?
??< br>14
?
x?y?1?0
?
y?
2
(?,)
?
3
?
(Ⅱ）联立 则A
33

14200
|AP|
2
?(3?)
2
?(?2?)
2
?
339
则
1
2
4
2
272
2
|AM|?(1?)?(?4?)?
M(1,?4)
339
圆心，
|AB|?|AC|?(|AM|?r)(|AM|?r)
?|AM|
2
?r
2
?
?|AP|
2
2
所以
|AP|?|AB|?|AC|
得到验证 .
272200
?8?
99

AC
上的点（不与点A,C重合）28．已知△
ABC
中，AB=AC,
D
是△
ABC
外接圆劣弧
?
，延长BD
至E。
(1） 求证：AD的延长线平分
?
CDE；
(2） 若
?
BAC=
30?
，
?
ABC中BC边上的高为2+
3
，求 △
ABC
外接圆的面积。
8 9

【答案】（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点

∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠CDF=∠ABC
又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB,
且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF,
对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF,
即AD的延长线平分∠CDE．
(Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,则AH⊥BC．
连接OC,A由题意∠OAC=∠OCA=15, ∠ACB=75,
∴∠OCH=60．
设圆半径为r,则r+
0
00

3
r=2+
3
,解得r=2,外接圆的面积为4
?
。
2





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