高中数学-圆与圆的位置关系练习题

高中数学-圆与圆的位置关系练习题
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
2222
1.圆x+y-2x=0和圆x+y+4y=0的位置关系是( )
A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
解析：计算两圆心距d=
(1?0)
2
?(0?2)
2< br>?5
,而2-1=1＜d＜3=2+1,∴两圆相交.
答案：C
2
2.已知两圆的半径分别为方程x-7x+12=0的两个根,如果O
1
O
2
=8,则两圆的位置关系是
( )
A.外离 B.外切 C.内切 D.相交
2
解析 ：由方程x-7x+12=0得两个根分别为3或4，故两圆半径之和为7，而两圆心之间的距
离为8， 根据两圆的位置关系知这两圆外离.
答案：A
222222
3.若a+b=1，则 圆(x-a)+y=1与圆x+(y-b)=1的位置关系为____________.
2222< br>解：圆(x-a)+y=1的圆心(a,0),半径r
1
=1;圆x+(y-b)＝1, 圆心(0,b),半径r
2
=1.
∴圆心距d=
a
2
?b
2
=1.
∴|r
1
-r
2
|＜d＜r
1
+r
2
=2,两圆相交.
答案：相交
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
2222
1.两圆x+y=4和x+y-2x+4y+1=0关于直线l对称,则l的方程为( )
A.2x-4y-5=0 B.2x-3y+1=0
C.2x-y+1=0

D.x+3y-1=0
解析：由题意知两圆的圆心分别为C
1
( 0,0)、C
2
(1,-2).
若要两圆关于直线l对称,则C
1
、C
2
关于l对称.
1
,-1),
k
C
1
C
2
=-2.
2
11
所以l的方程为y+1=(x-),即2x-4y-5=0.
22
因为C
1
C
2
的中点为(
答案：A
2222
2.若集合A={(x,y)|x+y≤16},B={(x,y)|x+(y-2)≤a-1 }且A∩B=B,则a的取值范围是
( )
A.a≤1 B.a≥5 C.1≤a≤5 D.a≤5
解析：由A∩B=B知B
?
A,
故0≤a-1≤2.
答案：C
22
3.动圆M与定圆C：x+y+4x=0相外切，且与直线l:x-2=0相切，则动圆M 的圆心的轨迹方
程为( )
22
A.y-12x+12=0 B.y+12x-12=0
22
C.y+8x=0 D.y-8x=0
解：设动圆M的圆心M(x,y)，半径为r.
∵动圆M与圆C相外切，∴|MC|=r+2.
又圆M与直线x-2=0相切，∴r=2-x,d(M,C)=4-x.
1

∴(x+2)+y=4-x,整理得y+12x-12=0.
答案：B 22222
4.若圆x+y=4与x+y-2ax+a-1=0相内切,则a=_________ ___.
解析：两圆的圆心和半径分别为O
1
(0,0),r
1
= 2,O
2
(a,0),r
2
=1,由两圆内切可得d(O
1
,O
2
)=r
1
-r
2
,
即|a|=1,所以a= ±1.
答案：±1
22
5.已知动圆M与y轴相切且与定圆A：(x-3)+y= 9外切，求动圆的圆心M的轨迹方程.
解:设点M(x,y),动圆的半径为r，由题意,得|MA| =r+3且r=|x|，∴
(x?3)
2
?y
2
=|x|+3.当x＞0时，两边平方化简得y=12x(x＞0)；当x＜0时，两边平方化简得y=0(x＜0).
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
2222
1.圆x+y-2x=0和x+y+4y=0的位置关系是( )
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
解析：两圆的圆心和半径分别为O
1
(1,0),r
1
= 1;O
2
(0,-2),r
1
=2,即|O
1
O
2
|=
5
,即2-1＜
5
＜
2+1,所以两圆相交.
答案：C
2
2.内切两圆的半径长是方程x+px+q=0的两根,已知两圆的圆心 距为1,其中一圆的半径为3,
则p+q等于( )
A.1 B.5 C.1或5 D.以上都不对
解：由x+px+q=0,得
?
2
2
222
?
x
1
?x
2
??p,
①因为有一圆半径为3,不妨设x
2
=3, 因为两圆内切,所
?
x
1
x
2
?q,
以|x
1
-3|=1.所以x
1
=4或2.当x
1
=4时,p=-7,q =12;p+q=5.当x
1
=2时,p=-5,q=6,p+q=1.
答案：C
2222
3.圆C
1
:x+y+4x-4y+7=0和圆C
2
:x+y-4x-10y+13=0的公切线有( )
A.2条 B.3条 C.4条 D.0条
2222
解：由x+y+4x-4y+7=0,得圆心和半径分别为O
1
(-2,2),r1
=1.由x+y-4x-10y+13=0,得圆心
和半径分别为O
2
(2,5),r
1
=4.
因为d(O
1
,O
2
) =5,r
1
+r
2
=5,即r
1
+r
2
= d(O
1
,O
2
),所以两圆外切,由平面几何知识得两圆有3条公
切线.
答案：B
4.已知0＜r＜
2?1
,则两圆x+y=r与(x-1 )+(y+1)=2的位置关系是( )
22222
A.外切 B.相交 C.外离 D.内含
22
解析：设圆(x-1)+(y+1)=2的圆心为O′,则O′(1,-1).两圆的圆心距离
d(O ,O′)=
1?(?1)?
22
2
.显然有|
r?2
|＜< br>2
＜
2
+r.所以两圆相交.
答案：B
2222
5.已知圆C
1
:x+y-4x+6y=0和圆C
2
:x+y-6x=0交于 A、B两点,则AB的垂直平分线方程为
( )
A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0
C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0
解析：由平面几何知识,知AB的垂直平分线即为两圆心的连线,把两圆分别化为标准式可得
2

两圆心分别为C
1
(2,-3)、C
2
(3,0 ),因为C
1
C
2
斜率为3,所以直线方程为y-0=3(x-3),化为一 般
式可得3x-y-9=0.
答案：C
22222
6.若圆(x-a)+ (y-b)=b+1始终平分圆(x+1)+(y+1)=4的周长,则a、b应满足的关系式是
( )
22
A.a-2a-2b-3=0 B.a+2a+2b+5=0
2222
C.a+2b+2a+2b+1=0 D.3a+2b+2a+2b+1=0
22
解析：利用两圆的公共弦始终经过圆(x+1)+ (y+1)=4的圆心即可求得.把两圆分别化成一般
2
式方程,作差可得公共弦方程为(2a +2)x+(2b+2)y-a-1=0,它经过圆心(-1,-1),代入后有
2
a+2a+ 2b+5=0.
答案：B
7.两圆相交于两点(1,3),(m,-1),两圆圆心都在直 线x-y+C=0上,则m+C的值为
_______________.
解析：由两圆的公 共弦的垂直平分线为两圆心的连线,可得
?1?3
=1,所以m=-3.又两公共
m? 1
点(1,3)和(-3,-1)的中点(-1,1)在直线x-y+C=0上,所以C=2.所以m+ C=-1.
答案：-1
22222
8.集合A={(x，y)|x+y=4}，B ={(x，y)|(x-3)+(y-4)=r}，其中r>0，若A∩B中有且仅有
一个元素，则r的 值是____________.
解析：两圆有内切或外切两种情况.
答案：3或7
22
9.求半径为1，且与圆x+y=4相切的动圆圆心的轨迹方程.
解：设动圆圆 心为M,若两圆内切,则d(M,O)=|2-1|=1,由圆的定义M点轨迹是以O为圆心,1
22< br>为半径的圆,圆的方程为x+y=1;若两圆外切,则d(M,O)=|2+1|=3,由圆的定义M点轨 迹是以
222222
O为圆心,3为半径的圆,方程为x+y=9.这两种情况也可合并为(x +y-1)·(x+y-9)=0.
2222
10.已知圆C
1
:x+y+ 2x+6y+9=0和圆C
2
:x+y-6x+2y+1=0.求C
1
、C< br>2
的公切线方程.
解：圆C
1
的圆心坐标C
1
(- 1,-3),r
1
=1,C
2
(3,-1),r
2
=3,因 为|C
1
C
2
|＞r
1
+r
2
,所以两圆 外离,有四
条公切线.
易求得C
1
C
2
的方程为x-2y -5=0,设公切线的交点为M(2y
0
+5,y
0
).
(2y< br>0
?5?1)
2
?(y
0
?3)
2
1
MC
1
r
1
5
?
,即由
?
,得y
0
=-4或y
0
=
?
.所以M(-3,-4)或
MC2
r
2
2
(2y
0
?5?3)
2
?( y
0
?1)
2
3
M(0,
?
5
). 2
|?k?3?3k?4|
1?k
2
(1)当M的坐标为(-3,-4) 时,设圆的两外公切线方程为y+4=k(x+3),即kx-y+3k-4=0,由点C
1
到 其距离等于1,可得=1,解得k=0或k=
4
.
3
所以两外公切线方程为y+4=0或4x-3y=0.
(2)当M的坐标为(0,
?
其距离等于1,可得
55
)时,设圆的两内公切线方程为y+=kx,即2 kx-2y-5=0,由点C
1
到
22
4?4k
2
=1,解 得k=
?
|?2k?6?5|
3
.
4
3

所以内公切线方程为3x+4y+10=0,但由两圆外离知道内公切线有两条,所以另一条斜率不存
在,则方程为x=0.
综上,所求的公切线的方程为y+4=0,4x-3y=0,3x+4y+10=0或x=0.
4