高中数学-圆的方程测试题

高中数学-圆的方程测试题
（满分150分 时间 120分钟）
班级：__________ 姓名：__________ 成绩：__________
一、 选择题（每题5分，共12题，共60分）
1．(x＋1)
2
＋(y－2)
2
＝4的圆心与半径分别为( )
A．(－1，2)，2 B．(1，－2)，2 C．(－1，2)，4 D．(1，－2)，4
2．已知某圆的一条直径的端点分别是A(4，0)，B(0，－6)，则该圆的标准方程是( )
A．(x＋2)
2
＋(y－3)
2
＝13 B．(x＋2)
2
＋(y－3)
2
＝52
C．(x－2)
2
＋(y＋3)
2
＝52 D．(x－2)
2
＋(y＋3)
2
＝13
3．点P(m
2
，5)与圆x
2
＋y
2
＝24的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．不确定
4．已知圆C经过A(5，2)，B(－1，4)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程是( )
A．(x－2)
2
＋y
2
＝13 B．(x＋2)
2
＋y
2
＝17 C．(x＋1)
2
＋y
2
＝40 D．(x－1)
2
＋y
2
＝
20
5．若方程x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝__ ______．
6．圆(x－1)
2
＋y
2
＝1的圆心到直线y＝
13
A． B． C．1
22
3
x的距离为( )
3
D．3
7．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为( )
11
A．(1，－1) B．(，－1) C．(－1，2) D．(－，－1)
22
8．如果过A(2，1)的直线l将圆x
2
＋y2
－2x－4y＝0平分，则l的方程为( )
A．x＋y－3＝0 B．x＋2y－4＝0
C．x－y－1＝0 D．x－2y＝0
9．若方程x
2
＋y
2
－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k的取值范围是( )
A．k>1 B．k<1 C．k≥1 D．k≤1
10．方程x2
＋y
2
＋2ax＋2by＋a
2
＋b
2
＝0 表示的图形是( )
A．以(a，b)为圆心的圆 B．以(－a，－b)为圆心的圆 C．点(a，b) D．点(－
a，－b)
11．已知圆x
2
＋y< br>2
－2ax－2y＋(a－1)
2
＝0(0A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外
12．已知两定点A (－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的
图形的面 积等于( )
A．π B．4π C．8π D．9π
二、填空题（每题5分，共4题，共20分）
13．圆心为点P(2，－2)，且过点(－1，2)的圆的标准方程是________．
14．若圆心在x轴上，半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的
方程是_ _______．
15．圆O的方程为(x－3)
2
＋(y－4)
2
＝25，点(2，3)到圆上的最大距离为________．
16．设圆x
2
＋ y
2
－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是
________．
1 9

三、解答题（共6题，共70分）
17．（12分）求满足下列条件的圆的标准方程： (1)经过点P(5，1)，圆心为点C(8，－3)；(2)经过点P(4，2)，Q(－6，－2)，且 圆心在
y轴上．



18．（12分）等腰三角形ABC的顶点 A(4，2)，底边的一个端点是B(3，5)，求另一个端点C
的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．







19．（12分）已知点 A(－2，－2)，B(－2，6)，C(4，－2)，点P在圆x
2
＋y
2
＝4上运动，求
|PA|
2
＋|PB|
2
＋|PC|
2的最值．






20．（12分）已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)．
(1)求此圆的标准方程；
(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求点P(x，y)到直 线x－y＋1＝0的距离的最大值和最
小值．







21．（10分）求经过两点A(4，2)，B(－1，3)，且在两坐标轴上的 四个截距之和为2的圆的
方程．







2 9

22．（12分）已知圆C：x
2
＋y
2
－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2，3)．
(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值．

3 9

圆的方程 （逐题解析）
二、 选择题（每题5分，共12题，共60分）
1．(x＋1)
2
＋(y－2)
2
＝4的圆心与半径分别为( )
A．(－1，2)，2 B．(1，－2)，2 C．(－1，2)，4 D．(1，－2)，4
解析：选A．由(x＋1)
2
＋(y－2)
2
＝4，可得圆心为(－1，2)，r为2.
2．已知某圆的一条直径的端点分别是A(4，0)，B(0，－6)，则该圆的标准方程是( )
A．(x＋2)
2
＋(y－3)
2
＝13 B．(x＋2)
2
＋(y－3)
2
＝52
C．(x－2)
2
＋(y＋3)
2
＝52 D．(x－2)
2
＋(y＋3)
2
＝13
11
解析：选D．由中点坐标公式得圆心(2，－3)，r＝|AB|＝
22
（4－0）
2
＋（0＋6）
2
＝
13，
故圆的标准方程为(x－2)
2
＋(y＋3)
2
＝13.
3．点P(m
2
，5)与圆x
2
＋y
2
＝24的位置关系是 ( )
A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．不确定
解析：选 B．由m
4
＋25>24可知，点P(m
2
，5)在圆x
2
＋y
2
＝24的外部．
4．已知圆C经过A(5，2)，B(－1，4)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程是( )
A．(x－2)
2
＋y
2
＝13 B．(x＋2)
2
＋y
2
＝17 C．(x＋1)
2
＋y
2
＝40 D．(x－1)
2
＋y
2
＝
20
解析：选D．∵圆心在x轴上，∴设圆心坐标为C(a，0)．
又∵圆C经过A(5，2)，B(－1，4)两点，∴半径r＝|AC|＝|BC|，可得
（ a－5）
2
＋（－2）
2
＝（a＋1）
2
＋（－4）
2
，解之得a＝1，可得半径r＝
（a－5）
2
＋（－2）
2＝20，∴圆C的标准方程是(x－1)
2
＋y
2
＝20.
5 ．若方程x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为 半径的圆，则F＝________．
解析：由已知得
?
D＝－4
??
E
?
，解得
?
E＝8
.
?
－2
＝－4
?
?
F＝4
1
?
?
2
D＋E－4F＝4
22
D
－＝2
2
答案：4
6．圆( x－1)
2
＋y
2
＝1的圆心到直线y＝
13
A． B． C．1
22
3
x的距离为( )
3
D．3
33
x的距离d＝＝
3
3＋9
解析：选A．(x－1)
2< br>＋y
2
＝1的圆心为(1，0)，则圆心到直线y＝
1
.
2
7．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为( )
11
A．(1，－1) B．(，－1) C．(－1，2) D．(－，－1)
22
4 9

解析：选D．由(x －1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，化简得x
2
＋y
2
＋x＋2 y－10＝0，圆心为
1
(－，－1)．
2
8．如果过A(2，1)的直线 l将圆x
2
＋y
2
－2x－4y＝0平分，则l的方程为( )
A．x＋y－3＝0 B．x＋2y－4＝0
C．x－y－1＝0 D．x－2y＝0
解析：选A.由x
2
＋y
2
－2x－4y＝0配 方得，(x－1)
2
＋(y－2)
2
＝5.因为所求直线l将圆平分，
y－1x－2
故直线过圆心(1，2)，则直线l的方程为＝，即x＋y－3＝0.
2－11－2
9．若方程x
2
＋y
2
－4x＋2y＋5k＝0表示圆 ，则k的取值范围是( )
A．k>1 B．k<1 C．k≥1 D．k≤1
解析：选B．若x
2
＋y
2
－4x＋2y＋5k＝0表 示圆，则(－4)
2
＋2
2
－20k>0，得k<1.
10．方程 x
2
＋y
2
＋2ax＋2by＋a
2
＋b
2
＝0表示的图形是( )
A．以(a，b)为圆心的圆 B．以(－a，－b)为圆心的圆 C．点(a，b) D．点(－
a，－b)
解析：选D．由x
2
＋y
2
＋2ax＋2by＋a
2
＋b
2
＝0配方得，(x＋a)
2
＋(y＋b)
2
＝0，所以方程表示
点(－a，－b)．
11．已知圆x
2
＋y
2
－2ax－2y＋(a－1)
2
＝0(0A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外
解析：选B．把原点(0，0)的坐标代入圆的方程得，(a－1)
2
>0(0圆外．
12．已知两定点A(－2，0)，B( 1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的
图形的面积等于( )
A．π B．4π C．8π D．9π
解析：选B．设P点坐标为(x ，y)，由已知得（x＋2）
2
＋y
2
＝2（x－1）
2
＋ y
2
，
化简得，x
2
＋y
2
－4x＝0，即(x －2)
2
＋y
2
＝4.故点P的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，则其面积为πr
2
＝4π.
二、填空题（每题5分，共4题，共20分）
13．圆心为点P(2，－2)，且过点(－1，2)的圆的标准方程是________．
解析：由已知得圆的半径r＝（2＋1）
2
＋（－2－2）
2
＝5，则圆的标 准方程为(x－2)
2
＋(y＋2)
2
＝25.
答案：(x－2)
2
＋(y＋2)
2
＝25
14．若圆心 在x轴上，半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的
方程是_______ _．
|a|
解析：设圆心坐标为(a，0)(a<0)，则＝5，∴|a|＝5.又∵a<0 ，∴a＝－5，
1＋2
2
故圆的方程为(x＋5)
2
＋y
2
＝5.
答案：(x＋5)
2
＋y
2
＝5
15．圆O的方程为(x －3)
2
＋(y－4)
2
＝25，点(2，3)到圆上的最大距离为____ ____．
解析：点(2，3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2，3)的距离最大，最大距离 为点
(2，3)到圆心(3，4)的距离2加上半径长5，即为5＋2.
答案：5＋2

16．设圆x
2
＋y
2
－4x＋2y－11＝0的圆心为 A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是
5 9

________．
解析：由已知得圆心A的坐标为(2，－1)，设M为(x，y)，则P 点的坐标为(2x－2，2y
＋1)．
因为P点在圆x
2
＋y
2< br>－4x＋2y－11＝0上，所以(2x－2)
2
＋(2y＋1)
2
－ 4(2x－2)＋2(2y＋1)
－11＝0，
化简得，x
2
＋y
2
－4x＋2y＋1＝0.
答案：x
2
＋y
2
－4x＋2y＋1＝0

三、解答题（共6题，共70分）
17．求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)经过点P(5，1)，圆心为点C(8，－3)；
(2)经过点P(4，2)，Q(－6，－2)，且圆心在y轴上．
解：(1)圆的半径r＝ |CP|＝（5－8）
2
＋（1＋3）
2
＝5.
圆心为点C(8，－3)，
∴圆的标准方程为(x－8)
2
＋(y＋3)
2
＝25.
(2)设所求圆的方程是x
2
＋(y－b)
2
＝r
2
.
∵点P、Q在所求圆上，依题意有
?
r＝
4
，
?
?
?
?

5
?
36＋（2＋b）＝r
?
?
b＝－
2
.
?
16＋（2－b）
2
＝r
2
22
2
1455145
∴所求圆的方程是x
2
＋(y＋)
2
＝.
2 4
18．等腰三角形ABC的顶点A(4，2)，底边的一个端点是B(3，5)，求另一个端点C的轨 迹
方程，并说明它的轨迹是什么．
解：设另一端点C的坐标为(x，y)，依题意，
得|AC|＝|AB|，由两点间距离公式得，
（x－4）
2
＋（y－2）
2
＝（4－3）
2
＋（2－5）
2
，
整理得，(x－4)
2
＋(y－2)
2
＝10.
这是以点A(4，2)为圆心，以10为半径的圆．
但A，B，C为三角形的顶点，
所以A，B，C三点不共线．当B与C重合时，C(3，5)；
当BC为直径时，C(5，－1)，
所以端点C的轨迹方程是
6 9

(x－4)
2
＋(y－2)
2
＝10(其中点(3，5)和(5，－1)除外)．
故端点C的轨迹是以A(4，2)为圆心，10为半径的圆，
但要除去(3，5)和(5，－1)两点．如图所示．


19．已知点A (－2，－2)，B(－2，6)，C(4，－2)，点P在圆x
2
＋y
2
＝ 4上运动，求|PA|
2
＋|PB|
2
＋|PC|
2
的最值 ．
解：设P(x，y)，则x
2
＋y
2
＝4.
|PA|
2
＋|PB|
2
＋|PC|
2
＝(x＋2)
2＋(y＋2)
2
＋(x＋2)
2
＋(y－6)
2
＋(x －4)
2
＋(y＋2)
2
＝3(x
2
＋y
2
)－
4y＋68＝80－4y.
∵－2≤y≤2，∴72≤|PA|
2
＋ |PB|
2
＋|PC|
2
≤88，
即|PA|
2
＋|PB|
2
＋|PC|
2
的最大值为88，最小值为72.

20．已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)．
(1)求此圆的标准方程；
(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求点P(x，y)到直 线x－y＋1＝0的距离的最大值和最
小值．
解：(1)由题意，结合图(1)可知圆心(3，0)，r＝2，
所以圆C的标准方程为(x－3)
2
＋y
2
＝4.
7 9

(2)如图(2)所示，过点C作CD垂直于直线x－y＋1＝0，
垂足为D．由点到直线的距离公式可得
|CD|＝
|3＋1|
＝22.
2
又P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2.
结合图形易知点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2.

21．求经过两点A(4，2)，B(－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．
解：设圆的一般方程为x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0，得x
2
＋Dx＋F＝0，
所以圆在x轴上的截距之和为x
1
＋x
2
＝－D；
令x＝0，得y
2
＋Ey＋F＝0，
所以圆在y轴上的截距之和为y
1
＋y
2
＝－E；
由题设 ，得x
1
＋x
2
＋y
1
＋y
2
＝－(D＋ E)＝2，
所以D＋E＝－2.①
又A(4，2)，B(－1，3)两点在圆上，
8 9

所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②
1＋9－D＋3E＋F＝0，③
由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，
故所求圆的方程为x
2
＋y
2
－2x－12＝0.
22．已知圆C：x
2
＋y
2
－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2 ，3)．
(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值．
解：(1)因为点P(a，a＋1)在圆上，
所以a
2
＋(a＋1)
2
－4a－14(a＋1)＋45＝0，
所以a＝4，P(4，5)，
所以|PQ|＝（4＋2）
2
＋（5－3）
2
＝210，
3－5
1
k
PQ
＝＝.
－2－4
3
(2)因为圆心C坐标为(2，7)，
所以|QC|＝（2＋2）
2
＋（7－3）
2
＝42.
因为圆的半径是22，
所以点Q在圆外，
所以|MQ|
max
＝42＋22＝62，
|MQ|
min
＝42－22＝22.




9 9