高中数学圆与圆的位置关系教案设计

4.2.2圆与圆的位置关系
课程标准分析：
《圆与圆的位置关系》这节课 的课程标准：能根据给定直线，圆的方程，判断圆与圆的
位置关系。在此要求学生在知识与技能方面达到 理解，并能独立解决实际问题的要求，另外，
课标还提到了给定直线，圆的方程等几何要素，因此处理本 节内容的前提，要熟知点到直线
的距离公式，圆的标准方程和一般方程，并能根据方程找到圆的圆心和半 径，同时还要理解
和掌握点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系的判断方法。贯穿始末的就是用坐标的 思想
解决几何的问题。综上所述，本节内容从课标的角度讲能力要求比较高。因此它在高考中还
是起到了很重要的作用。
教材分析：
本节课内容是人教版A版教材必修二第四章第二节内容 ，从位置上讲，体现了它的重要
性。另外，初中已经学过了几何法判断圆与圆的位置关系，高中课本的重 提，是平面几何问
题的深化，用坐标的方法来解决几何问题是解析几何的精髓，它为以后处理圆锥曲线了 铺垫，
另外，本节内容可以帮助学生体会数形结合的思想，所以，本节课的内容在教材中起到了承
上启下的作用，意义重大。
教学建议分析：
1.我们学习圆与圆的位置关系可以类比直线 与圆的位置关系，因此给学生自主学习提供了方
法支持。
2.求公共弦所在直线方程和公共弦长我们可采用数形结合的方法。
教学三维目标：
注:A级目标：面向全体学生，重点针对基础较薄弱的学生
B级目标：面向部分学生，重点针对能力较强，学有余力的学生
1.知识与技能
A级目标：①能根据给定圆的方程，用几何和坐标的方法判断两圆的位置关系。
B级目标：②若两圆相交，会求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长
B级目标：③理解几何问题坐标化的思想，深入了解解析几何的本质
2.过程与方法：学生通 过自主探究，结合教师引导，类比直线与圆的位置关系，得到判断圆

与圆的位置关系。
3.情感与价值观:培养学生自主探究及分析问题，解决问题的能力，进一步体会数形结合的
思 想。
教学重点：用坐标法判断圆与圆的位置关系，求弦长问题
教学难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系。
学习方法：教师引导下的学生自主探究，小组合作，配合独立思考，课堂练习。
教学策略：通 过复习旧知识以此联系新知识，引导学生使用类比的方法，自主探究得到圆与
圆的位置关系，不断渗透数 形结合的思想。采用启发发现式，交流合作的方法。
课时安排：1课时
教具准备：三角尺，粉笔，多媒体设备。
教学过程设计：
一．课前准备与探究
1.组织学生上网查找地理资料，了解“日食”形成的原因，探究日食形成过程中的数学问题。
2.组织学生搜集生活中关于圆与圆的位置关系的例子。
3.手工制作两张圆的卡片，一大一小，演示两圆的运动过程，体会五种位置关系。
二．创设情景，导入新课
1．活动：1.请学生简述日食形成过程中的数学问题，并举出生活 中与两圆的位置关系有关
的例子。
2.请学生演示两圆的运动过程，引出圆与圆的五种位置关系。
设计意图:让学生分享与他人的劳动成 果，充分体会数学来源于生活，再次对圆与圆的位置
关系有深刻的理解，活跃课堂气氛，提高学生的积极 性。
注:上述活动的结果可由班级中学习能力较弱的C类生总结，可以提高该类学生的学习兴趣。
2.师：初中时，我们是如何判断两圆的位置关系的？
生：利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断。
师：给出具体的情况吗？
生：可以。（简述过程）
注：上述问题交给C类生或B类学生，增加学生的积极性和自信心。

师：好，非常好（给出多媒体幻灯片）
设
O
1
O
2
的长度为d




外离
d



O

1

R

r

O

2

O

1

R

r

O

2

R

O

1

r

O

2


?R?r
外切
d?R?r
相交
R?r?d?r?R
R

O

r

1

O

2


O

r

1

O

2

R
内切
d?R?r
内含
d?R?r

师：回忆一下前面学过的判断点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系都用了哪些方法？
生：几何和坐标法
师：能说说坐标法的思路吗？
生：联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程，用
?
判断，
??0?直线与圆相交
；
??0?直线与圆相切
；
??0?直线与圆相离

注：此类问题交给C类学生，一方面起到复习巩固的作用，一方面激发学习热情
师：很好（给肯定的评价）如何判断圆与圆的位置关系？
生：几何法和坐标法（注：全班学生一起得到结论）
师：这节课我们就一起来研究圆与圆的位置关系的判断方法（板书课题）
设计意图：引出课题，并为本节内容提供学习思路和方法。
三．推进新课
自主探究:
1.例题：
已知圆C
1
;x?y?2x?8y?8?0 ,圆C
2
:x?y?4x?4y?2?0

判断两圆的位置关系？若相交求出公共弦所在的直线方程及公共弦长？（幻灯片）
问题：①.你能在同一坐标系中画出两个方程表示的圆吗？
②.根据你所画的图形，可以直观 的判断两个圆的位置关系，如何把这些直观的事实
2222

转化为数学语言呢？
③.如何判断两圆的位置关系呢？具体步骤是什么？
活动:前后四人为一小组，教师引导学生 观察图形思考。并关注多少学生利用图形求解，对
这些学生给予及时表扬。教师在下面巡视，选出代表将 自己的方法写在黑板上。
设计意图:1培养学生自主探究的能力2.让学生板演格式，及时发现问题给予纠正。
3.学生分析问题，解决问题，小组合作的能力。4.加强数形结合的意识。
注: 进行板演 的学生可以选择班级中学习能力较强的A类生，目的是具有示范性，同时也可
以发现学生遇到的障碍，及 时给予帮助。
讨论结果：1.图
2．学生板演几何法和坐标法的做题步骤
解法一：平面几何（略）
解法二：坐标法,联立方程组
①-②得
x
由③得
?2y?1?0
③
?
x
2
?y
2
?2x?8y?8?0
1

?
22
?
x?y?4x?4y?2?0
?
2
???
1?x
带入①，并整理得
y?
2
x
2
?2x?3?0
④
方程④的判别式
??16?0

x
1
,x2,
即而可以求出
y
1
,y
2
因此两圆有不同的交点所 以方程④有两个不等的实数根
A
?
x
1
,y
1
?< br>B
?
x
2
,y
2
?
，只判断不求解
所以两圆的位置关系是相交。
师：很好。谁来说说坐标法的思想是什么？
生：
??0?圆与圆相交
；
??0?圆与圆相切
；
??0?圆与圆相离

注：可由班级中的B类生给出结论，以此提高能力。（面向班级全体学生，实现A级目标）
活动：教师带领学生总结用坐标法和几何法判断圆与圆位置关系的步骤（书写板书）
2.问题：已知上题中的两圆相交，你能否求出公共弦所在的直线方程。
活动：学生审题，思考交流，探讨解题思路，教师及时引导，学生争先发表自己的看法
生1：求出两圆的交点坐标，利用两点式公式就可以求出直线方程。
生2:求出两圆连心弦的 斜率，因为公共弦所在直线与连心线垂直，则可根据
k
1
?k
2
?? 1
得

到公共弦所在直线的斜率。又由中点坐标求出中点，点斜式方程。
师：很好，大家的方法很好，那么你从发现了什么问题啊？
生：坐标法中的③式就是公共弦所在的直线方程！
师：呵呵，好的，请你在图上做出方程③的图。你们的发现对吗？
生：是，原来我们已经求出公共弦所在的方程！
设计意图：充分调动学生的积极性，拓展学生 的思维，深化几何问题坐标化的思想，体现数
形结合的思想。引导学生验证探究的结论，以此获得成就感 。
师总结：这样以来，两圆的公共点的问题就转化为直线
x?2y?1?0

与
圆C
1
;x
2
?y
2
?2x?8y?8?0< br>（公共点的问题。
,
或者
C
2
:x
2
?y< br>2
?4x?4y?2?0
）
那么，我们就可以用圆心到直线的距离与半径的关系 来判断圆与圆的位置关系。这
是我们经常说的什么思想？
生：化归的思想。
注： 上述过程B级目标的实现。
设计意图：通过教师的总结，使问题进一步深化。
3.问题：你能求出公共弦长吗？
生1：设圆心到公共弦的距离为圆心为d,圆的半径为r利 用关系
公共弦长?2r
2
?d
2

生2: 两点间的距离公 式
d?
?
x
1
?x
2
?
2
??
y
1
?y
2
?
2
求出两圆的交点坐标。
活动:教师首先给予评价，及时表扬学生，选出代表进行两种方法的板演。
注：学生能够基本 完成目标，选出班级中学习能力较强的A类学生处理，具有示范性。（面
向部分学有余力的同学提高能力 ，B级目标的实现）
设计意图:此问是对几何法与坐标法解决问题的深化，也是又一次的对比。再一次 强调了数
形结合的思想的应用，提高了学生解决问题的能力。
四:知能训练
练习：
已知圆C
1
：x?y?2ax?2y?a?15?0,C
2
:x?y ?4ax?2y?4a?0


?
a?0
?
，试求
a为何值时两圆
①相切②相交③相离？
设计意图：进一步巩固坐标法和几何法判断圆与圆的位置关系的应用，并通过此题比较几何
法和 坐标法各自适用的优点。
222222

练习：已知圆
C
1< br>:x?y?6x?7?0
和
C
2
:x?y?6y?27?0
相 交，求出公共弦所
在直线方程和公共弦长？
设计意图：巩固利用坐标法解决问题的方法，并提高学生分析问题的能力。
五．课堂小结：1.我们学到了哪些知识，谈谈你的收获？
2.你能比较几何法和坐标法各自使用的特点吗？
3.学习过程中，我们提到了哪些思想方法？
设计意图：深化主题，再一次将方法升华。
六．布置作业:
基础作业：课本A组习题1，2 （面向全体学生）
提高作业：《走向高考》课堂能力训练（部分学生，重在能力的提高）
选做作业:
已知圆C
1
:x
2
?y
2
?4x?2y?5?0,C
2
:x
2
?y
2
?6x?y?9?0

在平面上找一点P，过点P引两圆的切线并使它们都等于
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（面向班级中
学有余力的 同学）
设计意图：实现目标分层，让学习程度不同的学生都能在课下取得收获，能力得到提高。
七．板书设计:
课题圆与圆的位置关系
1几何法的步骤 学生自主探究： 课堂小结：
板演例题1 .2.3问
2坐标法的步骤
布置作业:
3.求弦长的方法

八．教后反思：
本节课在做完后，效果 还是很不错的，在此有这样的一些想法，首先，让学生去寻找生活
中跟圆与圆的位置关系例子，提高了学 生自主学习的积极性，今后在教学中，尽可能把生活
中的例子引进数学中，让学生更容易学习，也就会更 喜欢学习。在自主探究的环节要放开学
生的手脚，学生会想出很多的方法，不要过多的担心学生不按照老 师的思路走，只有这样我
2222

们才能更好的发现问题解决问题。其次，让学 生板演例题对学生提出了更高的要求，是可以
适当的运用到教学当中去，同时也可以培养学生动手动脑的 习惯 。教学过程中对学生有意识
的分层提问，目的是想让更多的学生成为课堂的主人，也基本上达到了 分层目标的要求。在
今后的教学中还要深层次的研究课标和教材，让我们的分层教学落到实处，发挥的更 好。本
节课中，教师与学生合作愉快，课堂气氛活跃，让我深深的感受到，怎样让我们的学生快乐
学习，怎样让我们的学生学习起来有成就感，是我们在教学中应该时时刻刻思考和努力的方
向。 在课堂实施过程中，学生是不容易探究到公共弦所在的直线方程就是两圆的方程做差得到
的方程，因 此简单的问题没有得到意料的结果。因此在教学设计的时候要能够考虑到这些问
题，课堂上临时决定让学 生做出直线，总之在教师的引导下还是完成了教学。