高中数学-圆的一般方程测试题

高中数学-圆的一般方程测试题
自我小测
1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x＋y＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )
A.－1 B．1 C．3 D．－3
2．过原点且与x轴、y轴的交点分别为A(a ,0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)的圆的方程为( )
A.x＋y＋ax＋by＝0 B．x＋y－ax－by＝0
C．x＋y＋ax－by＝0 D．x＋y－ax＋by＝0
3．过(1,2)的直线平分圆x＋y＋4x＋3＝0，则该直线的方程是( )
A.3x－2y＋4＝0 B．x＝1 C．2x－3y＋4＝0 D．y＝2
4． 圆x＋y－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是
( )
.36 B．18 C．6
2
D．5
2

5．已知 A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x＋y－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积的最
大值为 ( )
A.3－
2
B．4－
2
C.
2222
22
2222
2222
22
6?2
D．3＋
2

2
6．如图所示，定圆半径为a，圆心为(b，c)，则直线a x＋by＋c＝0与直线x－y＋1＝0
的交点在( )

A.第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．已知直线3x＋4y－10＝0与圆x＋y－5 y＋F＝0相交于A，B两点，且OA⊥OB(O是
原点)，则F＝__________.
8．若点P(a，b)关于直线
l
的对称点为P′(b＋1，a－1)，则圆C：x＋y－6x －2y＝0
关于直线
l
对称的圆C′的方程为__________．
9．设圆C的方程为x＋y－4x－5＝0，
(1)求该圆的圆心坐标及半径；
(2)若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1)，求直线AB的方程．
22
22
22
1

10．已知定点O(0,0)， A(3,0)，动点P到定点O的距离与到定点A的距离的比值是
求动点P的轨迹方程，并说明方程表示 的曲线．
1
?
，
11．设△ABC顶点坐标A(0，a)，B(－
3a
，0)，C(
3a
，0)，其中a>0，圆M为△ABC
的外接圆．
(1)求圆M的方程；
(2)当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．





2

参考答案
1．解析：化圆为标准形式(x＋1)＋(y－2)＝5，圆心为(－1,2)．
因为直线过圆心，所以3×(－1)＋2＋a＝0，所以a＝1.
答案：B
2．解 析：因为圆过三点O(0,0)，A(a,0)，B(0，b)，所以将三点坐标代入圆的一般方
程即可 ；本题也可以采用验证法．
答案：B
3．解析：由于直线平分圆，把圆的方程化为标准方程 得圆心(－2,0)，则直线过圆心(－
2,0)．又直线过点(1,2)，由两点式得直线方程为2x －3y＋4＝0.
答案：C
4．解析：x＋y－4x－4y－10＝0?(x－2)＋(y －2)＝18，即圆心为(2,2)，半径为3
2
.
2222
22
由 点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为
10
＝5
2
，由数形结合思想(图 略)，可得
2
该圆上的点到已知直线的距离的最小值为2
2
，最大值为82
，故所求距离之差为6
2
.
答案：C
5．解析：要使△A BC的面积最大，只需点C到AB的距离最大，亦即求圆上的点到直线
AB的距离的最大值，则应为圆心 到直线AB的距离d与半径r之和．由于圆心C(1,0)到直线
AB：x－y＋2＝0的距离d为1?0?2
2
＝
3232
，即C到AB的距离的最大值为＋1，故
22
?
32
?
1
△ABC的面积的最大值为×|AB|×
?
?
2
?1
?
?
＝3＋
2
.
2
??
答案：D
b?c
?
x??,
?
?
ax?by?c?0,
?
a?b
6．解析：由图象得出b＜0，c>0，又a >0，由
?
解得
?

a?c
x?y?1?0,
?< br>?
y?.
?
a?b
?
由于圆远离y轴，可知|a|＜|b|.
又a>0，b＜0，从而有a＜－b，即a＋b＜0.
因为圆心在x轴的上方，且圆与x轴相交，则有a>c>0，
所以a－c>0，且－b>a>c>0，所以b＋c＜0.
所以x＝－
b?ca?c
＜0，y＝＜0.
a?ba?b
所以交点在第三象限．
答案：C
3

7．解析：易得圆x＋y－5y＋F＝0的圆心坐标为
?
0,
?
，它在直 线3x＋4y－10＝0上，
再由OA⊥OB，可知圆x＋y－5y＋F＝0过原点O，将O(0,0) 代入圆的方程可求得F＝0.
答案：0
8．答案：(x－2)＋(y－2)＝10
9．解：(1)将x＋y－4x－5＝0，配方，得(x－2)＋y＝9，所以圆心坐标为C(2,0)，半径r＝3.
(2)由题可设直线AB的斜率为k.
由圆的知识可知：CP⊥AB.所以k
CP
·k＝－1.
又k
CP
＝
2222
22
22
22
?
?
5
?
2
?
1?0
＝1?k＝－1.
3?2
所以直线AB的方程为y－1＝－1(x－3)，即x＋y－4＝0.
10．解：设动点P的坐标为(x，y)，
则由
?
|PO|＝|PA|，得λ(x＋y)＝(x－3)＋y，
2222
整理，得(λ－1)x＋(λ－1)y＋6x－9＝0.
因为λ>0，所以 当λ＝1时，则方程可化为2x－3＝0，故方程表示的曲线是线段OA
的垂直平分线．
22
?
3
?
?
3
??
2
当λ≠1时，则方程可 化为
?
x?
，即方程表示的曲线是以
?
?
＋y＝
?
??
?
?1
?
?1
??
??
3
3
?
??
?,0
为圆心，为半径的圆．
??
?
?1
?
?1
??
11．解：(1)设圆M的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0.
因为圆M过点A(0，a)，B(－
3a
，0)，C(
3a
，0)，
22
2
2
?
a
2
?aE?F?0,
??
所以
?
3a?3aD?F?0,

?
?
?< br>3a?3aD?F?0,
解得D＝0，E＝3－a，F＝－3a，
所以圆M的方程为x＋y＋(3－a)y－3a＝0.
(2)圆M的方程可化为(3＋y)a－(x＋y＋3y)＝0.
22
22
?
3?y?0,
由
?
2
得x＝0，y＝－3.
2
?
x?y?3y?0,
所以圆M过定点(0，－3)．
4