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高数学直线和
识点总结
知中圆
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直线和圆
一.直线
1.斜率与
倾斜角:
k?tan
?
,
?
?[0,
?
)
(1)
?
?[0,)
时,
k?0
;(2)
?
?
时,
k
不存在;(3)
?
?(,
?
)
时,
k?0
222
(4)当倾斜角从
0
?
增加到
90
?
时,斜率从
0
增加到
??
;
当倾
斜角从
90
?
增加到
180
?
时,斜率从
??增加到
0
2.直线方程
(1)点斜式:
y?y
0
?k(x?x
0
)
(2)斜截式:
y?kx?b
(3)两点式:
y?y
1
x?x
1
?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
?
?
?
xy
(4)截距式:
??1
ab
(5)一般式:
Ax?By?C?0
3.距离公式
(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
(1)点
P
1
(x
1
,y
1
)
,
P
2
(x
2
,y
2
)<
br>之间的距离:
PP
12
?
(2)点
P(x
0
,y
0
)
到直线
Ax?By?C?0
的距离:
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
|
C
1
?C
2
|
A?B
22
(3)平行线间的距离:
Ax?By?C
1
?0
与
Ax?By?C
2
?0<
br>的距离:
d?
4.位置关系
(1)截距式:
y?kx?b
形式
重合:
k
1
?k
2
b
1
?b
2
相交:
k
1
?k
2
平行:
k
1
?k
2
b
1
?b
2
垂直:
k
1
?k
2
??1
(2)一般式:
Ax?By?C?0
形式
重合:
A
1B
2
?A
2
B
1
且
A
1
C<
br>2
?A
2
C
1
且
B
1
C
2
?C
1
B
2
平行:
A
1
B2
?A
2
B
1
且
A
1
C
2<
br>?A
2
C
1
且
B
1
C
2
?
C
1
B
2
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垂直:
A
1
A
2
?B<
br>1
B
2
?0
相交:
A
1
B
2
?A
2
B
1
5.直线系
A
1
x?B
1
y?C
1
+(
?
A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
表示过两直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
和
l
2
:A
2
x?B
2
y
?C
2
?0
交点的
所有直线方程(不含
l
2
)
二.
圆
1.圆的方程
(1)标准形式:
(x?a)
2<
br>?(y?b)
2
?R
2
(
R?0
)
(2)
一般式:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
(
D<
br>2
?E
2
?4F?0
)
?
x?x
0
?rcos
?
(3)参数方程:
?
(
?
是参数)
?
y?y
0
?rsin
?
【注】题目中出现动点求量时,通常可采
取参数方程转化为三角函数问题去解决.
(4)以
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
为直径的圆的方程
是:
(x?x
A
)(x?x
B
)?(y?y
A
)(
y?y
B
)?0
2.位置关系
(1)点
P(x
0
,y
0
)
和圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?R
2
的位置关系:
当
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?R
2
时,点
P(
x
0
,y
0
)
在圆
(x?a)
2
?(y?
b)
2
?R
2
内部
当
(x
0
?a)2
?(y
0
?b)
2
?R
2
时,点
P
(x
0
,y
0
)
在圆
(x?a)
2
?(y
?b)
2
?R
2
上
当
(x
0
?a)2
?(y
0
?b)
2
?R
2
时,点
P
(x
0
,y
0
)
在圆
(x?a)
2
?(y
?b)
2
?R
2
外
(2)直线
Ax?By?C?0
和圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?R
2
的位置
关系:
判断圆心
O(a,b)
到直线
Ax?By?C?0
的距离<
br>d?
当
d?R
时,直线和圆相交(有两个交点);
当
d?R
时,直线和圆相切(有且仅有一个交点);
当
d?R
时,直线和圆相离(无交点);
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系.
(2)代数法:联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交.
|Aa?Bb?C|
A?B
22
与半径
R
的大小关系
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3.圆和圆的位置关系
R?R
2
,半径之差
R
1
?R
2
(
R
1
?R
2
)的大小关系 判断圆心距<
br>d?OO
12
与两圆半径之和
1
当
d?R
1
?R
2
时,两圆相离,有4条公切线;
当
d?R
1
?R
2
时,两圆外切,有3条公切线;
当
R
1
?R
2
?d?R
1
?R
2
时,两圆相交,有2条公切线;
当
d?R
1
?R
2
时,两圆内切,有1条公切线;
当
0?d?R
1
?R
2
时,两圆内含,没有公切线;
4.当两圆相交时,两圆相交直线方程等于两圆方程相减
5.弦长公式:
l?2R
2
?d
2
例1若圆
x
+
y
=1与直线
y
=
kx+2没有公共点,则实数
k
的取值范围是________.
2
解析:由题意知 >1,解得-3<
k
<3.
2
1+
k
答案:(-3, 3)
2222<
br>例2已知两圆
C
1
:
x
+
y
-2
x
+10
y
-24=0,
C
2
:
x
+
y
+2
x
+2
y
-8=0,则两圆公共弦所在的直线方程是
____________.
解析:两圆相减即得
x
-2
y
+4=0.
答案:
x
-2
y
+4=0
22例3设直线
x
-
my
-1=0与圆(
x
-1)+(y
-2)=4相交于
A
、
B
两点,且弦
AB
的
长为23,则实数
m
的值是
________.
|1-2
m
-1|3
解析:由题意得,圆心(1,2)到直线
x
-
my
-1=
0的距离
d
=4-3=1,即=1,解得
m
=±.
2
3
1+
m
答案:±
3
3
22
22
例4若
a
,
b<
br>,
c
是直角三角形
ABC
三边的长(
c
为斜边),则
圆
C
:
x
+
y
=4被直线
l
:
a
x
+
by
+
c
=0所截得的
弦长为________. <
br>解析:由题意可知圆
C
:
x
+
y
=4被直线
l
:
ax
+
by
+
c
=0所截得的弦长为2
=
c
,所以所求弦长为23.
答案:23
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2
22
4-
?
?
c
?
222
22
?
,由于
a
+
b
?
a
+
b
?
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例5已知
⊙
M
:
x
+(
y
-2)=1,
Q
是
x
轴上的动点,
QA
,
QB
分别切⊙
M
于
A
,
B
两点.
42
(1)若|
AB
|=,求|
MQ
|及直线
MQ
的方程;
3
(2)求证:直线
AB
恒过定点.
22
解:(1)设直
线
MQ
交
AB
于点
P
,则|
AP
|=,又
|
AM
|=1,
AP
⊥
MQ
,
AM
⊥AQ
,得|
MP
|=
3
2
|
MA
|
又∵|
MQ
|=,∴|
MQ
|=3.
|
MP
|
22
22
81
2
1-=, 93
设
Q
(
x,
0),而点
M
(0,2),由
x
+2=3,得
x
=±5,
则
Q
点的坐标为(5,0)或(-5,0).
从而直线
MQ
的方程为2
x
+5
y
-25=0或2
x
-5
y<
br>+25=0.
(2)证明:设点
Q
(
q,
0),由几何性质
,可知
A
,
B
两点在以
QM
为直径的圆上,此圆的方程为<
br>x
(
x
-
q
)+
y
(
y
-
2)
?
3
?
=0,而线段
AB
是此圆与已知圆的公共弦,相
减可得
AB
的方程为
qx
-2
y
+3=0,所以直线
AB
恒过定点
?
0,
?
.
?
2
?
22
例6过点(-1,-2
)的直线
l
被圆
x
+
y
-2
x
-2
y
+1=0截得的弦长为 2,则直线
l
的斜率为________.
2
2
解析:将圆的方程化成标准方程为(
x
-1)+(
y
-1)=1,
其圆心为(1,1),半径
r
=1.由弦长为2得弦心距为
2|2
k
-3|2
2
. 设直线方程为
y
+2=
k
(
x<
br>+1),即
kx
-
y
+
k
-2=0,则=,化简得7
k
-24
k
+17=0,得
k
=1
2
22
k
+1
17
或
k
=.
7
17
答案:1或
7
例7圆
x-2
x
+
y
-3=0的圆心到直线
x
+3
y<
br>-3=0的距离为________.
|1-3|
解析:圆心(1,0),
d
==1.
1+3
答案:1
例8圆心在原点且与直线
x
+
y
-2=0相切的圆的方程为
____________________.
222
解析:设圆的方程为
x
+
y
=
a
(
a
>0)
|2|
∴=
a
,∴
a
=2,
1+1
22
∴
x
+
y
=2.
22
答案:
x
+
y
=2
例
9已知圆
C
经过
A
(5,1),
B
(1,3)两点,圆心在
x
轴上,则圆
C
的方程为________________.
2
2
圆
C
的方程为
x
+
y
+
Dx
+
F
=0,
?
?
26+5
D
+
F
=0,
则
?
?
10+
D
+
F
=0,
?
22
2
?
?
D
=-4,
解得
?
?
?<
br>F
=-6.
2
圆
C
的方程为
x
+
y
-4
x
-6=0.
22
[答案] (1)C
(2)
x
+
y
-4
x
-6=0
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22
例10 (1)与曲线
C
:
x
+
y
+
2
x
+2
y
=0相内切,同时又与直线
l
:
y=2-
x
相切的半径最小的圆的半径是
________.
22
(2)已知实数
x
,
y
满足(
x<
br>-2)+(
y
+1)=1则2
x
-
y
的最大值为__
______,最小值为________.
解析:(1)依题意,曲线
C
表示的是
以点
C
(-1,-1)为圆心,2为半径的圆,圆心
C
(-1,-1)到直线
y
=2-
|-1-1-2|22+232
x
即
x
+
y
-2=0的距离等于=22,易知所求圆的半径等于=.
22
2
(2)令
b
=2
x
-
y
,则
b
为直线2<
br>x
-
y
=
b
在
y
轴上的截距的相反数,当直
线2
x
-
y
=
b
与圆相切时,
b
取得最<
br>|2×2+1-
b
|
值.由=1.解得
b
=5±5,所以2<
br>x
-
y
的最大值为5+5,最小值为5-5.
5
32
答案:(1) (2)5+5 5-5
2
y
-2
22
例11已知
x
,
y
满足
x
+
y
=1,则的最小值为________.
x
-1
y<
br>-2
y
-2
解析:表示圆上的点
P
(
x
,<
br>y
)与点
Q
(1,2)连线的斜率,所以的最小值是直线
PQ
与圆相切时的斜率.设
x
-1
x
-1
|2-
k
|3
y
-23
直线
PQ
的方程为
y
-2=
k<
br>(
x
-1)即
kx
-
y
+2-
k
=
0.由
2
=1得
k
=,结合图形可知,≥,故最小值
4
x<
br>-14
k
+1
3
为.
4
3
答案:
4
22
例12已知两点
A
(-2,0),B
(0,2),点
C
是圆
x
+
y
-2
x
=0上任意一点,则△
ABC
面积的最小值是________.
3解析:
l
AB
:
x
-
y
+2=0,圆心(1,
0)到
l
的距离
d
=,
2
3
则
AB
边上的高的最小值为-1.
2
1?
3
-1
?
故△
ABC
面积的最小值是×22×
??
=3-2.
2
?
2
?
答案:3-2
例13平面直角坐标系xoy中,直线
x?y?1?0
截以原点O为圆心的
圆所得的弦长为
6
(1)求圆O的方程;
(2)若直线
l
与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于D,E,当DE长最小时,求直线
l
的方程;
(3)设M,P是圆O上任意两点,点M关于x轴的对称点为N,若直线MP、NP分别交于x轴
于点
(m,0)和(n,0),问mn是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
解:
⑴因为
O
点到直线
x?y?1?0
的距离为
1
2
,
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所以圆
O
的半径为
(
1
2
)
2
?(
6
2
)?2
,
2
故圆
O
的方程为
x
2
?y
2
?2
.
⑵设直线
l
的方程为
??1(a?0,b?0)
,即bx?ay?ab?0
,
由直线
l
与圆
O
相切
,得
ab
a
2
?b
2
11
DE
2
?a
2
?b
2
?2(a
2
?b
2
)(2
?
2
)≥8
,
ab
当且仅当
a?b?2
时取等号,此时直线
l
的方程为
x?y?2?0
.
?2
,即
x
a
y
b
111
??
,
a
2
b
2
2
⑶设
M(x
1,y
1
)
,
P(x
2
,y
2
)
,则
N(x
1
,?y
1
)
,
x
1
2
?y
1
2
?2
,
x
2
2
?y
2
2
?2
,
x
1
y
2
?x2
y
1
xy?x
2
y
1
,
,0)<
br>,
m?
12
y
2
?y
1
y
2
?y
1
xy?xyxy?xy
直线
NP
与
x
轴交点
(
1221
,0)
,
n?
1221
,
y
2
?y
1
y
2
?y
1
直
线
MP
与
x
轴交点
(
x
1
y
2<
br>?x
2
y
1
x
1
y
2
?x
2
y
1
x
1
2
y
2
2
?x
2
2
y
1
2
(2?y
1
2
)y
2
2
?(2?y
2
2
)y
1
2
mn?g
???2
,
2222
y?yy?yy?yy?y
21212121
故
mn
为定值2.
例14圆x
2
+y
2
=8内一点P(-1,2
),过点P的直线l的倾斜角为
?
,直线l交圆于A、B两点.
(1)当
?
=
3
?
时,求AB的长;
4
(2)当弦AB被点P平分时,求直线l的方程.
解:(1)当
?
=
3
?
时,k
AB
=-1,
4
直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.
故圆心(0,0)
到AB的距离d=
从而弦长|AB|=2
8?
1
=
30
.
2
0?0?1
2
=
2
,
2
(2)
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,则x
1
+x
2
=-2,y
1
+y
2
=4
.
22
?
?
x
1
?y
1
?8,
由
?
22
?
?
x
2
?y
2
?8,
两式相减得(
x
1
+x
2
)(x
1
-x
2
)+(y1
+y
2
)(y
1
-y
2
)=0,
即-2(x
1
-x
2
)+4(y
1
-y
2
)=0,
∴k
AB
=
y
1
?y
2
1
?
.
x
1
?x
2
2
∴直线l的方程为y-2=(x+1),即x-2y+5=0.
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1
2
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例15已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x-y+10=0上.
(1)若动圆C过点(-5,0),求圆C的方程;
(2)是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆
O:x
2
+y
2
=r
2
相外切的圆有且仅有一个,若存在,
请求出来;若不
存在,请说明理由.
解:
(1)依题意,可设动圆C的方程为(x-a)
2
+(y-b)
2
=25,
其中圆心(a,b)满足a-b+10=0.
又∵动圆过点(-5,0),∴(-5-a)
2
+(0-b)
2
=25.
解方程组
?
?
?
a?b?10?0
22
?
?
(?5?a)?(0?b)?25
,
可得
?
?
a??10
?
a??5
或
?
,
b?0b?5
??
10
1?1
故所求圆C的方程为(x+
10)
2
+y
2
=25或(x+5)
2
+(y-5)
2
=25.
(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d==5
2
.
当r满足r+5
<d时,动圆C中不存在与圆O:x
2
+y
2
=r
2
相外切
的圆;
当r满足r+5>d时,r每取一个数值,动圆C中存在两个圆与圆O:x
2
+y
2
=r
2
相外切;
当r满足r+5=d,即
r=5
2
-5时,动圆C中有且仅有1个圆与圆O:x
2
+y
2=r
2
相外切.
题目
1.自点
A(?1,4)
作圆
(x?2)
2
?(
y?3)
2
?1
的切线
l
,则切线
l
的方程为
.
2.求与圆
x
2
?y
2
?5
外切于点
P(?1,2)
,且半径为
25
的圆的方
程.
3.若点P在直线l
1
:x+y+3=0上,过点P的直线l
2
与曲线C:(x-5)
2
+y
2
=16相切于点M,则PM的最小
值 .
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4.设O为坐标原点,曲
线x
2
+y
2
+2x-6y+1=0上有两点P、Q,满足关于直线x+my
+4=0对称,又
OQ
=0. 满足
OP
·
(1)求m的值;
(2)求直线PQ的方程.
5.已知圆C:x
2
+y
2
-2x
+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l,使l被圆C截得的弦AB,以AB为直径的圆经
过原点
,若存在,写出直线l的方程;若不存在,说明理由.
6.
已知曲线C:x
2
+y
2
-4ax+2ay-20+20a=0.
(1)证明:不论a取何实数,曲线C必过定点;
(2)当a≠2时,证明曲线C是一个圆,且圆心在一条直线上;
(3)若曲线C与x轴相切,求a的值.
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