高中数学-圆的标准方程测试题

高中数学-圆的标准方程测试题
自我小测
1．已知一圆的圆心为点(2，－ 3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆
的方程是( )
A.(x－2)＋(y＋3)＝13 B．(x＋2)＋(y－3)＝13
C．(x－2)＋(y＋3)＝52 D．(x＋2)＋(y－3)＝52
2．圆(x－2)＋(y＋3)＝2上的点与点(0，－5)的最大距离为( )
A.
2
B．2
2
C．4
2
D．3
2

3．从点P(3，b)向圆(x＋2)＋(y＋2)＝1作切线，则切线长的最小值为( )
Ａ.5 B．4 C．5.5 D．26
4．过点(－2,0)且倾斜角为45°的直 线
l
被圆x＋y＝5截得的弦长|MN|为( )
A.2
2
B．3 C．2
3
D．6
5．经过原点的直线
l
与圆C：x ＋(y－4)＝4有公共点，则直线
l
的斜率的取值范围是
( )
A.[－
3
，
3
] B.< br>?
?
22
22
22
22
2222
2222< br>?
?
33
?
,
?

33
?
?
?
3
?
?
3
C．(－∞，－
3
]∪[< br>3
，＋∞) D.
?
??,?
?
?
∪
?
3
,??
?
?

3
??
??
6 ．圆(x－3)＋(y＋1)＝1关于直线x＋2y－3＝0对称的圆的方程是__________．
7．过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为________ __．
8．已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线
l：x－y＋1＝0上，
求圆心为C的圆的标准方程．
9．已知△ABC的三个顶点A(1 ,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆的方程．
10．有一种大型商品，A ，B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商
品后，回运的费用是：每单位距离A地的运 费是B地运费的3倍，已知A，B两地距离10
千米，顾客选A或B地购买这件商品的标准是：包括运费 和价格的总费用较低，求A，B两
地售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居 民应如何选择购货地
点．




1
22

参考答案
1．解析：设直径的两个端点为M(a,0)，N(0，b)，
则
a?0b?0
＝2
?
＝4，＝－3
?
b＝－6.
22
所以M(4,0)，N(0，－6)．
因为圆心为(2，－3)，故r＝
(2?4)
2
?(?3?0)
2
＝
13
.
所以所求圆的方程为(x－2)＋(y＋3)＝13.故选A.
答案：A
2．答案：D
3．解析：切线长d＝
(3?2)
2
?(b?2)< br>2
?1
＝
b
2
?4b?28
＝
(b?2)< br>2
?24
，所以
当b＝－2时，d取最小值2
6
.
答案：D
4．解析：
l
的方程为x－y＋2＝0，圆心(0,0)到直线< br>l
的距离d＝
2
，则弦长|MN|＝
2
r
2
?d
2
＝2
3
.
答案：C
5．答案：C
6． 解析：关于直线x＋2y－3＝0对称的两圆半径相等，圆心连线被直线x＋2y－3＝0
垂直平分．设 所求圆的方程为(x－a)＋(y－b)＝1.
22
22
?b?1
?
1
?
19
?
????1,
a?,
?
?
?
?
?
a?3
?
2
5
??
由题意得
?
解得
?

3
?
b?.
?
a?3
?2?
b?1
?3?0.
?
?
5
?
?22
3
??
?
19
?
所以所求圆的方程为
?
x?
?
＋
?
y?
?
＝1.
5
?
5
?
?
?
3
??
?
19
?
答案：
?
x?
?
＋
?
y?
?
＝1
5
?< br>5
?
?
?
7．解析：由题意知A，B两点在圆上，
所以直线AB的垂直平分线x＝3过圆心．
又圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，所以k
BC
＝－1.
所以直线BC的方程为y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋3.
由y＝－x＋3与x＝3联立得圆心C的坐标为(3,0)，
22
所以r＝|BC|＝
(3?2)?(0?1)
＝
2
.
22
22
2

所以圆C的方程为(x－3)＋y＝2.
答案：(x－3)＋y＝2
8．解：因为A(1,1)和B(2，－2)，所以线段AB的中 点D的坐标为
?
的斜率k
AB
＝
22
22
?
31
?
,?
?
，直线AB
?
22
?
?2 ?1
＝－3，
2?1
3
?
1
1
?
＝?
x?
?
，即x－3y－3＝0.
2
?
2
3
?
因此线段AB的垂直平分线
l
′的方程为y＋
圆心C的坐标是方程 组
?
?
x?3y?3?0,
的解．
?
x?y?1?0?
x??3,
解此方程组，得
?
所以圆心C的坐标是(－3，－2)．
y??2.
?
圆心为C的圆的半径长r＝|AC|＝
(1?3)
2< br>?(1?2)
2
＝5.
所以，圆心为C的圆的标准方程是(x＋3)＋(y＋2)＝25.
9．解：(方法一)设△ ABC的外接圆方程为(x－a)＋(y－b)＝r，由已知得
222
22
?
(1?a)
2
?(4?b)
2
?r
2
,
?
a?1,
?
?
222
?
(?2?a)?(3?b)?r,
解 得
?
b??1,

?
r?5.
?
(4?a)
2
?(?5?b)
2
?r
2
.
?
?
故所 求△ABC的外接圆方程为(x－1)＋(y＋1)＝25.
(方法二)因为k
AB
＝
22
4?31
4?5
＝，k
AC
＝＝－3，
1 ?23
1?4
因为k
AB
·k
AC
＝－1，所以AB⊥AC .
所以BC为△ABC外接圆的直径，BC中点为M(1，－1)．
r＝|MA|＝|4＋1|＝5，所以△ABC的外接圆方程为(x－1)＋(y＋1)＝25. 10．解：如图，以A，B所确定的直线为x轴，A，B中点O为坐标原点，建立平面直角
坐标系， 则A(－5,0)，B(5,0)．
22

3

设某地P 的坐标为(x，y)，且P地居民选择A地购买商品便宜并设A地的运费为3a元
千米，B地的运费为a 元千米．
价格＋每单位距离运费×到A地的距离≤价格＋每单位距离运费×到B地的距离，
即3a
(x?5)
2
?y
2
≤a
(x?5)
2?y
2
，
因为a>0，所以3
(x?5)
2
?y2
≤
(x?5)
2
?y
2
，
25
?
?
15
?
?
2
即
?
x?
＋y≤< br>??
.
?
4
?
4
?
??
所以以点 C
?
?
2
2
15
?
25
?
,0< br>?
为圆心，为半径的圆是这两地购货的分界线．
4
?
4
?
圆C内的居民从A地购货便宜．
圆C外的居民从B地购货便宜．
圆C上的居民从A，B两地购货的总费用相等，因此，可随意从A，B两地之一购货．
4