高中数学经典例题—与圆有关的最值问题

高中数学经典例题-与圆有关的最值问题
I．题源探究·黄金母题
【例1】 已知圆
C:
?
x?1
?
?
?
y?2
??25
，直线
22
精彩解读
【试题来源】人教A版必修2P
144
B组
T6．
【母题评析】本题考查圆的有关最值问题，
考查考生的分析问题、解决问题的能力．
【思路方法】结合圆的有关几何性质解题．
l:
?
2m?1
?x?
?
m?1
?
y?7m?4?0,m
为任意实数．
（1）求证：直线
l
恒过定点；
（2）判断直线
l
被圆截
C
得的弦何时最长、何时最短？并求
截得的弦长最短时
m
的值以及最 短长度．
【答案】（1）
?
3,1
?
；（2）
?
3
，
45
．
4
【解析】（1）直线
l
的方程经过 整理得
?
2x?y?7
?
m?
?
x?y?4
??0
．由于
m
的任意性，于是有
?
2x?y?7,
?
x?3,
解此方程组，得，即直线
l
恒过定点
?
?
x?y?4.
y?1
?
?
D
?
3,1
?
．
（2）因为直线
l
恒过圆
C
内一点
D
，所以当直线
l
经过圆心
C
时被截得的弦最长，它是圆的直径；当直线
l
垂直于
CD
时
被截得的弦长最短．由
C
?
1,2
?
,D
?
3,1
?
，可知直线
CD
的斜
率为
k
CD
??
，故当直线
l
被圆
C
截得的弦 长最短时，直线
1
2
l
的斜率为2，于是有
?
2m?13< br>?2
，解得
m??
，此时直
m?14
线
l
的 方程为
y?1?2
?
x?3
?
，即
2x?y?5?0
。
又
CD?
?
1?3
?
?
?
2?1< br>?
22
?5
，最短弦长为
225?5?45
。直

线
l
被圆
C
截得的弦最短时
m
的值为
?
3
，最短长度是
45
。
4
II．考场精彩·真题回放 < br>【例
2
】【
2017
高考江苏卷】在平面直角坐标系
xOy< br>中，点


A
?
?12,0
?
，
B
?
0,6
?
，点
P
在圆
O:x
2
?y
2
?50
上．若
PA?PB?20
，则点
P
的 横坐标的取值范围是

．

【答案】
?
?
?52,1
?
?

【解析】 不妨设
P
?
x,y
2
y
2
00
?
，则
x
0
?
0
?50
，且易知
x
0
?
?
?
?52,52
?
?
．

因为PA?PB?AP?BP
?
?
x
0
?12,y
0
?
?
?
x
0
,y
0
?6
?
?< br>
x
2
?12x
2
00
?y
0
?6 y
0
?50?12x
0
?6y
0
?20
，故
2x
0
?y
0
?5?0
．

y
B(1,7)

O
52
x
2x-y+5=0A(-5,-5)
所以点
P
?
x
x
2
?y2
0
,y
0
?
在圆
O:?50
上，且在直线< br>2x?y?5?0
的左上方（含直线）．联立
?
?
x
2
?y
2
?50
?
2x?y?5?0
，
得
x
1
??5
，
x
2
?1
，如图所示，结合图形知
x
0
?
?
?
?52,1
?
?
．
< br>【命题意图】本类题主要考查点与圆、直线
与圆、圆与圆位置关系，以及考查逻辑思维
能 力、运算求解能力、数形结合的能力、方
程思想的应用．
【考试方向】这类试题考查根据给定 直线、
圆方程判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位
置关系，同时考查通过数形结合思想、充分< br>利用圆的几何性质解决圆的切线、圆的弦长
等问题．在考查形式上，主要要以选择题、
填 空题为主，也有时会出现在解答题中，中
档题．
【难点中心】
1．直线与圆的位置关系的判断方法
（1）几何法：由圆心到直线的距离
d
与半径
长
r
的大小关系来判断．
若
d?r
，则直线与圆相离；
若
d?r
，则直线与圆相切；
若
d?r
，则直线与圆相交．
（2）代数法

?< br>故填
?
?
?52,1
?
．


【例
3
】【
2015
高考江苏卷】在平面直角坐标系
xOy
中， 以
点
?
1,0
?
为圆心且与直线
mx?y?2m?1?0< br>?
m?R
?
相切的
2．点与圆、圆与圆位置关系的判断方法，
类似的也有几何法和代数法两种；
3．比较圆心距与两个圆的半径和与半径差
的大小关系，特 别是遇到参数问题时，如何
建立等式或不等式是一个难点．
所有圆中，半径最大的圆的标准方程为

．

【 答案】
?
x?1
?
2
?y
2
?2

【解析】解法一（几何意义）：动直线
mx?y?2m?1?0
整理得
m
?
x?2
?
?
?
y?1
?
?0
，则
l
经过定点
M
?
2,?1
?
，故
满足题意的圆与< br>l
切于
M
时，半径最大，从而
r?
?
2?1
?
2
?
?
?1?0
?
2
?2
，故标准方程 为
?
x?1
?
2
?y
2
?2
．

解法二（代数法
——
基本不等式）：

由题意
r?d??m?1
m
2
?2m?1
m
2
?1
?
m
2
?1
?1?
2m
m
2
?1

?1?
2
?
1?
2
?2
m?
1
，当且仅当
m?1
时，
m
2m
1
m
取“
?
” ．故标准方程为
?
x?1
?
2
?y
2
?2
．

解法三（代数法
——
?
判别式）：由题意
r?d??m?1
m
2
?1
?
m
2
?2m?1
m
2
?1
，设
t?
m
2
?2m?1
m2
?1
，则
?
t?1
?
m
2
?2m? t?1?0
，
?m?R
，

???
?
?2?
?4
?
t?1
?
?
0
，解得
0?
t
?
2
，
?d
max
22
?2．

【例
4
】【
2015
高考广东卷】已知过原点的动 直线
l
与圆

C
1
:x
2
?y
2
?6x?5?0
相交于不同的两点
A
，
B
．

（
1
）求圆
C
1
的圆心坐标；

（
2
）求线段
AB
的中点
M
的轨迹
C
的方程；
（
3
）是否存在实数
k
，使得直线
l:y?k(x? 4)
与曲线
C
只
有一个交点？若存在，求出
k
的取值范围； 若不存在，说明
理由．

【答案】（
1
）
?
3,0
?
；（
2
）
3
?
9
?
5
??
2
x??y??x
?
3
????
；（
3
）
243
????
?
33
?
?
2525
?
k?
?
?,
?
?
?,
?
．
< br>4477
?
??
?
22
2
【解析】（
1）由
x?y?6x?5?0
得
?
x?3
?
?y?4，所
2
2
以圆
C
1
的圆心坐标为
?
3 ,0
?
；

（
2
）设
M
?
x,y
?
．因为点
M
为弦
AB
中点，即
C
1M?AB
，所以
k
CM
k
AB
??1
，即1
yy
??
1
，所以线
x?3x
段
AB
的中点
M
的轨迹的方程为
3
?
9
?
5
? ?
2
x??y??x
?
3
????
；

2 43
????
3
?
3
?
C,0
r?
（3
）由（
2
）知点
M
的轨迹是以
?
为
?
为圆心，
2
?
2
?
?
525
?
E
半径的部分圆弧
EF
（不包括两端点），且
?
?
3
,
3
?
?
，
??
2

?
5 25
?
F
?
?
3
,?
3
?
?．又直线
l:y?k
?
x?4
?
过定点
D
?< br>4,0
?
，

??
?
3
?
k
?
?4
?
?0
当直线
l
与圆
C
相切时， 由
?
2
?
k
2
?1
2
3
3
得
k??
．

?
4
2
又
k
DE
??k
DF
?
25
?
0?
?
?
?
3
??
?
25
，所以当
??
5
7
4?
3
?
33
?
?
2525
?
k?
?
?,
?
?
?,
?
时，直线
l:y?k
?
x?4
?
与曲
7
?
?
44
?
?
7
线
C
只有一个交点．

III．理论基础·解题原理
考点一 与截距有关的圆的最值问题
形如
t?ax?by
形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
考点二 与斜率有关的圆的最值问题
形如
?
?
y?b
形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
x?a
考点三 与距离有关的圆的最值问题
在运动变化中，动点到直线、圆的距离 会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离
最小，最大等．这些问题常常联系到平面几 何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便可
利用这些结论直接确定最值问题．常见的结 论有：
（1）圆外一点
A
到圆上距离最近为
AO?r
，最远为AO?r
；
（2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；
（3）直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离
d?r
，最近为
d?r
；

（4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积．
（5）直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；
（6）两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离．
考点四 与面积相关的最值问题
与圆有关的最值问题，因与平面几何性质联系密切，且与圆 锥曲线相结合的命题趋势，使与圆相关的最值
问题成为命题宠儿．与圆的面积的最值问题，一般转化为寻 求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，
借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求 解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题，通常以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，多为容易题、中 档题；若以解答题的
形式呈现，则有一定难度．
【技能方法】
1．数形结合法 < br>处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想
求解．
研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解．常见的最值问题有以下 几种类
型：①形如
?
?
y?b
形式的最值问题，可转化为动直线斜率 的最值问题；②形如
t?ax?by
形式的最值问
x?a
题，可转化为动直线 截距的最值问题；③形如(
x
－
a
)
2
＋(
y－
b
)
2
形式的最值问题，可转化为动点到定点的距
离的平方的 最值问题．
2．建立函数关系求最值

根据题目条件列出关于所求目标函数的 关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法
等进行求解．
2．利用基本不等式求解最值
如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如
a ?b
或者
a?b
的表达式求最值，常常利用题设
条件建立两个变量的等量关系 ，进而求解最值．同时需要注意，“一正二定三相等”的验证．
V．举一反三·触类旁通
考向1 与斜率有关的圆的最值问题
【例1】如果直线
2ax?by?14?0< br>?
a?0,b?0
?
和函数
f
?
x
?
?m
22
x?1
?1
?
m?0,m?1
?
的图象 恒过同一个定
b
的取值范围是
a
点，且该定点始终落在圆
?
x?a?1
?
?
?
y?b?2
?
?25
的内部或 圆上，那么
A．
?
，
?
B．
?
，
?
C．
?
，
?
D．
?
，
?

?
34
?
?
43< br>?
?
34
?
?
43
?
?
34
?
?
43
?
?
34
?
?
43
?
【答案】C
【解析】函数
f
?
x
?
?m
x?1
?1
恒过定点
?
?1,2
?
．将点
?
?1,2
?
代入直线
2ax?by?14?0
可得
22
? 2a?2b?14?0
，即
a?b?7,
?
a?0,b?0
?
．由点
?
?1,2
?
在圆
?
x?a?1
?
?
?
y?b?2
?
?25
内部或圆上
可得
??1?a?1
?
?
?
2?b?2
?
?25
即< br>a
2
?b
2
?25
?
a?0,b?0
?．
?
22
?
a?b?7
?
a?3
?
a ?4
?
或
?
．所以
?
22
?
a?b?25
?
b?4
?
b?3
点
?
a,b
?
在以
A
?
3,4
?
和
B
?
4,3
?
为端点的线段上运动．
坐标原点连线的斜率．所以
?
b
表示以A
?
3,4
?
和
B
?
4,3
?
为端点的线段上的点与
a
3?03
?
b
?
4?04
3b4
?
b
?
????
，．所以
??
．故C正确 ．
???
a4?04a3?03
4a3
??
min
??< br>max
【例2】已知圆
C:x
2
?y
2
?8x?15 ?0
，直线
y?kx?2
上至少存在一点
P
，使得以点
P< br>为原心，半径为
1的圆与圆
C
有公共点，则
k
的最小值是 （ ）

A．
?
4535
B．
?
C．
?
D．
?

3453
【答案】A

【跟踪练习】
1．已知实数x、y满足x
2
+y
2
=4，则
2xy
的最小值为 （ ）
x?y?2
A．
2?22
B．
22?2
C．
2?22
D．
?2?22

【答案】A
2．在平面直角坐标系
x?y
中，圆
C
1
:
?
x?1
?
?
?
y?6
?
?25
，圆
C
2
:
?
x?17< br>?
?
?
y?30
?
?r
2
．若圆
C
2
上存在一点
P
，使得过点
P
可作一条射线与圆
C
1
依次交于点
?
，
?
，满足
???2??
，则半径
r
的取值
范围是_______．
【答案】
?
5,55
?

2222

【解析】由题，知圆
C
1
的圆心为
(?1,6)
，半径为5，圆C
2
的圆心为
(17,30)
，半径为
r
，两圆圆心距 为
(17?1)
2
?(30?6)
2
?30
，如图，可知当
AB
为圆
C
1
的直径时取得最大值，所以当点
P
位 于点
P
1
所在位
置时
r
取得最小值，当点
P
位于点
P
2
所在位置时
r
取得最大值．因为
|AB|max
?10
，
|PA|?2|AB|
，所以
r
min
?5
，
r
max
?55
．

3．过点< br>M
?
1,2
?
的直线
l
与圆
C
：< br>?
x?3
?
?
?
y?4
?
?25
交 于
A,B
两点，
C
为圆心，当
?ACB
最小时，直
22
线
l
的方程是 ．
【答案】:
x?y?3?0

【解析】：要使
?ACB
最小，由余弦定理可知， 需弦长
AB
最短．要使得弦长最短，借助结论可知当
M
?
1,2?
为弦的中点时最短．因圆心和
M
?
1,2
?
所在直线 的
k?
4?2
?1
，则所求的直线斜率为
?1
，由点斜式< br>3?1
可得
y?1??(x?2)?x?y?3?0
．
【点评】此题通过两次转化，最终转化为求过定点的弦长最短的问题．
4．若圆C：
x
2
?y
2
?
2
x?
4
y?
3< br>?
0
关于直线
2ax?by?6?0
对称，则由点（a，b）向圆所作 的切线长的
最小值是_____________．
【答案】4

【 点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题，解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直，从而
得 出一个直角三角形．
考向2 与截距有关的圆的最值问题
【例3】【2017北京海淀模拟】设为不等式
有公共点，则的取值范围是_____．
【答案】或者
表示的平面区域，直线与区域
【解析】由题设
【跟踪练习】
到直线的距离，解之得，应填答案．
1．【2017江苏南通高三第三次调研考试】在平面直 角坐标系xOy中，已知点
为圆
【答案】2
上一动点，则的最大值是____．
，点，

点睛：首先根据问题将的表达式列出来，做最值问题的小题， 首先得明确问题表达式，然后根据函数或
者基本不等式求解最值，本题解题关键在于，写出表达式后要将 其化为斜率的定义求法来理解从而求得结
论．
2．【2018安徽六安模拟】若直线
y??
x
1
?m
与曲线
y?
2
2
4?x< br>2
恰有三个公共点，则实数
m
的取值范
围是 （ ）
A．
(1,2)
B．
(2?1,2?1)
C．
(1,2?1)
D．
(2,2?1)

思路分析：直 线
y??
x1
?m
与曲线
y?|4?x
2
|
恰有三个公共点，实数
m
的取值范围，可以转化为直
22
线
y? ?
x1
?m
的图象与曲线
y?|4?x
2
|
的图象 有三个交点时实数
m
的取值范围，作出两个函数
22
1
|4?x
2
|
的图象是易错点，
2
的图象，通过图象观察临界直线，从而求出
m
的取值范围；本题曲线
y?
画 图时要分类讨论，知图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成．

3．【2018湖 北稳派教育高三上学期第二次联考】已知圆C的圆心在
x
轴的正半轴上，且
y
轴和直线
x?3y?2?0
均与圆C相切．
(1)求圆C的标准方程；
( 2)设点
P
?
0,1
?
，若直线
y?x?m
与圆C 相交于M，N两点，且
?MPN
为锐角，求实数
m
的取值范围．
【 答案】（1）
?
x?2
?
?y
2
?4
；（2）?
?2?22,
2
?
?
?
?1?5
?
?1?5
?(,?2?22）
．
?
?
2
?
2

试题解析：
（
1
）设圆
C
的标准方程为：故由题意得，解得，

∴圆
C
的标准方程为：．

（
2
）由
{
y?x?m
?
x?2
?
2
?y?4
2

消去
y
整理得．

∵直线
y?x?m
与圆
C
相交于
M
，
N
两点，∴，解得，

设，则．∴

依题意得
PM?PN?x
1
x
2?
?
y
1
?1
??
y
2
?1
?
?x
1
x
2
?
?
x
1
?m?1
??
x
2
?m?1
?

?2x
1
x
2
?
?
m?1
??
x
1
?x
2
?
?
?
m?1
?
?0
，∴
m
2< br>?
?
m?1
??
2?m
?
?
?
m? 1
?
?0
，整理得
m
2
?m?1?0
，

?1?5
或
2
．

22
解得或．又，∴
? 2?22?m?
?1?5
?m??2?22
．故实数
m
的取值范围是
2
22
点睛：（1）对于
?BAC
为锐角的问题（或点A在以BC为 直径的圆外，或
AB＋AC?BC
），都可
转化为
AB?AC?0
， 然后坐标化，转化为代数运算处理．
（2）对于直线和圆位置关系的问题，可将直线方程和圆的方程联 立消元后根据所得的二次方程的判别式、
根据系数的关系，借助于代数运算处理．解题时注意“设而不求 ”、“整体代换”等方法的运用，以减少计算量、
提高解题速度．
考向3 与距离有关的圆的最值问题
【例4】【2018广西南宁模拟】在平面直角坐标系
xOy中，已知
?
x
1
?2
?
?y
1
2?5
，
x
2
?2y
2
?4?0
，则
2
2
?
x
1
?x
2
?
?
?
y
1
?y
2
?
A．
22
的最小值为（ ）
5115
1121
B． C． D．
55
55
【答案】B

【跟踪练习】
1．【2018江西赣州红色七校一联】已知圆C：（a<0）的圆心在直线
上，且圆C上的点到直线的距离的最大值为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】圆的方程为 ，圆心为① ，
圆C上的点到直线的距离的最大值为②
由①②得，
a
<0，故得 ， =3．
点睛：圆上的点到直线的距离的最大值，就是圆心到直线的距离加半径；再就是二元化一元的应用． < br>2．【2018山西临汾一中、忻州一中、长治二中、康杰中学模拟】已知
A
?
2,0
?
，直线
4x?3y?1?0
被圆
C:
?
x ?3
?
2
?
?
y?m
?
2
?13(m?3 )
所截得的弦长为
43
，且
P
为圆
C
上任意一点， 则
PA
的最大值为（
A．
29?13
B．
5?13
C．
27?13
D．
29?13

【答案】D
）

?
3 m?11
?
16
2
?(23）=13
【解析】根据弦心距、半径、半 弦长的关系得：
?
，解得： 或 (舍
m?
m?2
?
5< br>3
??
去)，当
m?2
时，
PA
的最大值
PC?r?29?13
，故选D．
3．【2017辽 宁辽南协作校一模】圆
x
2
+
y
2
-4
x
-4
y
-10=0上的点到直线
x
+
y
-8=0的最大距离 与最小距离的
差是（ ）
A．18 B．6
【答案】C
C．5
2
D．4
2

2

点睛：判断直线 与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含
有参数，或圆心 到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
4．【2017安徽宣城二模】已知
P
是 圆
x
2
?y
2
?4
上一点，且不在坐标轴上，
A
?
2,0
?
，
B
?
0,2
?
，直线
PA
与
y
轴交于点
M
，直线
PB< br>与
x
轴交于点
N
，则
AN?2BM
的最小值为___ _______．
【答案】8
【解析】设点
P
?
2cos
?
,2sin
?
?
，则直线PA的方程：
y?
sin< br>?
2sin
?
?
0,?
?
x?2
?
，则
M
?
??

cos
?
?1
?
cos
?
?1
?
同理
N
?
?
2cos< br>?
4sin
?
?
2cos
?
?
,0
?
，则
AN?2BM

?6?
的最小值为8．
?
sin
?
?1cos
?
?1
?
sin
?
? 1
?
2
5．【2107吉林省延边州模拟】点
N
是圆
?x?5
?
?y
2
?1
上的动点，以点
A
?3,0
?
为直角顶点的
Rt?ABC
另外两顶
B,C
在 圆
x
2
?y
2
?25
上，且
BC
的中点为
M
，则
MN
的最大值为__________．

【答案】
15?41

2
【解析】
x
2
y
2
6．【2017山东济宁3月模拟考试】在平面直角坐标系xOy
中，椭圆
C
：
2
?
2
?1(a?b? 0)
的离心率
ab
是
3
xy
，且直线
l
1
：
??1
被椭圆
C
截得的弦长为
5
．
2
ab
（Ⅰ）求椭圆
C
的标准方程；
（Ⅱ）若直线
l
1
与圆
D
：
x
2
?y
2
?6x?4y?m?0
相切：
（i）求圆
D
的标准方程；
（ii）若直线
l
2
过定点
?
3,0
?
，与椭圆
C
交于不同的两点
E< br>、
F
，与圆
D
交于不同的两点
M
、
N
，求
EF?MN
的取值范围．
x
2
22
?y
2
?1
；（II）（i）
?
x?3
?
?
?
y ?2
?
?5
；（ii）
?
0,8
?
．
【 答案】（I）
4

【解析】试题分析：（Ⅰ）由直线
l
1
过定点
?
a,0
?
，
?
0,b
?
，可 得到
a
2
?b
2
?5
，再结合
c3
?，即可求
a2
出椭圆的方程；（Ⅱ）（i）利用圆的几何性质，求出圆心到直线
l
1
的距离等于半径，即可求出
m
的值，即
可求出圆
D
的标准方程；（ii）首先设直线
l
2
的方程为
y?k
?
x?3
?
，利用韦达定理即可求出弦长
EF
的表
达式，同理利用圆的 几何关系可求出弦长
MN
的表达式，即可得到
EF?MN
的表达式，再用换元 法
?
9
?
t?1?4k
2
?
?
1,
?
，即可求出
EF?MN
的取值范围．
?
5
?
试题解析：（Ⅰ）由已知得直线
l
1
过定点
?
a,0
?，
?
0,b
?
，
a
2
?b
2
?5
，
x
2
c3
22222
?y
2
?1
．
又
?
，
a?b?c
，解得
a?4
，
b ?1
，故所求椭圆
C
的标准方程为
a2
4
（Ⅱ）（i）由（ Ⅰ）得直线
l
1
的方程为
22
x
?y?1
，即x?2y?2?0
，又圆
D
的标准方程为
2
?
x?3< br>?
?
?
y?2
?
?13?m
，∴圆心为
?< br>3,2
?
，圆的半径
r?
∴圆
D
的标准方程为
?
x?3
?
?
?
y?2
?
?5
．
22
3?2?2?2
1?2
22
?5
，
（ii）由题可得直线
l
2
的斜率存在，设
l
2
：
y?k
?
x?3
?
，与椭圆
C
的两个交点为
E
?
x
1
,y
1
?
、
F
?x
2
,y
2
?
，
由
{
x
2
y?k
?
x?3
?
,
4
?y
2
? 1,
消去
y
得
1?4k
2
x
2
?24k< br>2
x?36k
2
?4?0
，由
??0
，得
0 ?k
2
?
??
1
，
5
24k
2
36k
2
?4
x
1
?x
2
?
，
x
1
x
2
?
，
22
1?4k1?4k< br>2
∴
EF?1?k
?
?
x
1
?x
2
?
?4x
1
x
2
?
?
2
???
1?k
?
2
?
?
24k
2
?
2
36k
2
?4
?
?
?
?
?4?4?< br>2
?
2
1?4k
?
1?4k
??
?
?
?
3k?2?3k
k?1
2
?
1?k
??
1?5k
?
．
?
1?4k
?
22
2
2
又圆
D
的圆心
?
3,2
?
到直线
l
2
：
kx?y?3k?0
的距离
d??
2
k?1
2
，

5k
2
?1
∴圆
D
截直线
l
2
所得弦长
MN?2r?d?2
，
2
k?1
22
∴
EF?MN?4
?
1?k
??
1?5k
?
?2
?
1?4k
?
22
2
2
5k
2
? 1
?8
2
k?1
1?25k
4
?
1?4k
?
2
2
，
?
t?1
?
1?25
?
2
?
t?1
4
?
?
1
??
1
?
?
9
?
?
2
2
?2?9?50
设
t?1?4k?
?
1,
?
，
k?
，则
EF?MN?8
????
?25
，
2< br>t
4
?
5
?
?
t
??
t
?
∵
y??9x
2
?50x?25
的对称轴为
x?
2
25
?
5
?
，在
?
,1
?
上单调 递增，
0?y?16
，
9
?
9
?
?
1
??
1
?
∴
0??9
??
?50
???25?16
，∴
0?EF?MN?8
．
?
t
??< br>t
?
【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线，直线与圆的位置关系 ，常采取联立直线和
圆锥曲线方程，利用一元二次方程的根与系数关系求解，对于直线与圆的位置关系， 常采取圆的几何性质
较多，运算量较少点，圆锥曲线类的题目的特点就是运算量大，要求学生具有较强的 运算能力，属于难题．
考向4 与面积相关的最值问题
【例5】 在平面直角坐标系中，
A,B
分别是
x
轴和
y
轴上的动点，若以
AB为直径的圆
C
与直线
2
2x?y?4?0
相切，则圆
C
面积的最小值为_______________．
【答案】
?

4
5
【例6】动圆C经过点
F(1,0)
，并且与直线
x??1相切，若动圆C与直线
y?x?22?1
总有公共点，则
圆C的面积的最小值__ _______________．

【答案】
4
?

【解析】设圆心为
(a,b)
，半径为
r
，
r?|CF|?|a? 1|
，即
(a?1)
2
?b
2
?(a?1)
2，即
a?
1
2
b
，∴圆心为
4
b
2< br>|?b?22?1|
b
2
1
2
1
2
4
??1
，∴
(b,b)
，
r?b?1
，圆心到直线
y?x ?22?1
的距离为
d?
4
44
2
1
b??2(2 2?3)
或
b?2
，当
b?2
时，
r
min
??4?1?2
，∴
S
min
?
?
r
2
?4
?
．
4
【跟踪练习】
1．设
m,n?R
， 若直线
mx?ny?1?0
与
x
轴相交于点
A
，与
y
轴相交于点
B
，且
l
与圆
x
2
?y2
?4
相交
所得弦的长为
2
，
O
为坐标原点， 则
?ABO
面积的最小值为_____________．
【答案】
3

【解析】
l
与圆相交所得弦的长为2，故弦心 距
d?
1
m
2
?n
2
?2
2
?1
2
?3
，所以
m
2
?n
2
?
1 1
?
1
?
?2mn
，
?mn?
，
l
与
x
轴相交于点
A
?
,0
?
，与
y轴相交于点
B
36
?
m
?
?
1
??
,0
?
，

?
n
?
?S
? AOB
?
1111111
OAOB????6?3
．
22mn2m n2
22
2．【2017届高三七校联考期中考试】已知直线
l:x?y?1
与圆M
：
x?y?2x?2y?1?0
相交于A
，
C两点，
点B
，
D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为 ．
【答案】
30

2222
【解析】
x?y?
2
x?
2
y?
1
?
0
?
(
x?1)
?
(
y?
1)
?
3
，圆心
M到直线
l:x?y?1
距离为
|1?1?1|1
?
，
B D
为过圆心
M
且垂直于
AC
的直径时，四边形
ABCD面积取最大值，为
22
111
?AC?BD??23??23?30
．< br>
222

3．【2017河南安阳二模】已知圆：
面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
，动点在圆：上，则
【答案】B

222222
4．【2018河南洛阳模拟】已知两动圆
F
1:(x?3)?y?r
和
F
2
:(x?3)?y?(4?r)(0?r? 4)
，
把它们的公共点的轨迹记为曲线
C
，若曲线
C
与y
轴的正半轴的交点为
M
，且曲线
C
上的相异两点
A, B
满足：
MAMB?0
．
（1）求曲线
C
的方程；（2） 证明直线
AB
恒经过一定点，并求此定点的坐标；
（3）求
?ABM
面积
S
的最大值．
x
2
364
?y
2
?1
；（2）证明见解析，定点坐标为
N(0,?)
；（3）
． 【答案】（1）
525

4
【解析】
试题分析：（1）设两动圆的 公共点为Q，则有
QF
1
?QF
2
?4(?F
1
F
2
)
，根据椭圆的定义可知
Q
的轨迹
为椭圆，由此求出轨 迹方程；（2）先求出
M(0,1)
，设
A(x
1
,y
1< br>),B(x
2
y
2
)
，当直线
AB
斜率存在 时设直线方程
为
y?kx?m
与椭圆方程联立，由韦达定理计算
MA?MB ?x
1
x
2
?(kx
1
?m?1)(kx
2
?m?1)?0
得
m?
3
5
?3
，所以直
5线恒过定点
N(0,?)
，验证当直线
AB
斜率不存在时也过此点即可； （3）将三角形面积分割成两部分进行
计算，即
△ABM
面积
S?S
?MNA
?S
?MNB
即可求出面积的最大值．
13225k
2< br>?4
，令
t?25k?4
，换元，由基本不等式
?MN?x
1
?x
2
??
225
1?4k
2

试题 解析： （1）设两动圆的公共点为Q，则有
QF
1
?QF
2
?4( ?F
1
F
2
)
．由椭圆的定义可知
Q
的轨迹为x
2
?y
2
?1
．
椭圆，
a?2,c?3< br>．所以曲线
C
的方程是：
4
（2）证法一：由题意可知：
M( 0,1)
，设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，
当
AB
的斜率不存在时， 易知满足条件
MA?MB?0
的直线
AB
为：
x?0
过定点
N(0,?)

3
5
当
AB
的斜率存在时，设直线
AB
：
y?kx?m
，联立方程组：
?
x
22
?
?y?1①
，把②代入①有：
(1?4k
2
)x< br>2
?8kmx?4m
2
?4?0

?
4
?< br>y?kx?m②
?
?8km
4m
2
?4
x
1
?x
2
?
③，
x
1
?x
2
?④，
2
2
1?4k
1?4k
因为
MA?MB?0，所以有
x
1
?x
2
?(kx
1
?m?1)( kx
2
?m?1)?0
，
(1?k
2
)x
1?x
2
?k(m?1)(x
1
?x
2
)?(m?1)< br>2
?0
，把③④代入整理：
4m
2
?4?8km
2
(1?k)?k(m?1)?(m?1)?0
，（有公因式m－1）继续化简得：
2 2
1?4k1?4k
2
(m?1)(5m?3)?0
，
m?
?3
或
m?1
（舍），
5
3
5
综合斜率不存在的 情况，直线
AB
恒过定点
N(0,?)
．
证法二：（先猜后证）由 题意可知：
M(0,1)
，设
A(x
1
,y
1
)< br>，
B(x
2
,y
2
)
，
如果直线
AB
恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在
y
轴上，设为
N(0,m )
；
取特殊直线
MA:y?x?1
，则直线
MB
的方程为
y??x?1
，

?
x
2
2
??y?1
解方程组
?
4
?
y?x?1
?
得点< br>A(?,?)
，同理得点
B(,?)
，
8
5
35
8
5
3
5
此时直线
AB
恒经过
y< br>轴上的点
N(0,?)

3
5
下边证明点
N(0,? )
满足条件
MA?MB?0

3
5
当
AB
的斜率不存在时，直线
AB
方程为：
x?0
，
点
A、B< br>的坐标为
(0,?1)
，满足条件
MA?MB?0
；
当AB
的斜率存在时，设直线
AB
：
y?kx?
3
，联立 方程组：
5
?
x
2
?y
2
?1①
?24k64
?
4
22
(1?4k)x?x??0

，把 ②代入①得：
?
525
?
y?kx?
3
②
?
5
?
x
1
?x
2
?
24k
?64
x?x?
③，④，
12
2
2
5(1?4k)
25(1? 4k)
所以
MA?MB?x
1
?x
2
?(y
1?1)(y
2
?1)?x
1
?x
2
?(kx
1
?)(kx
2
?)

8
5
8
5
? (1?k
2
)x
1
x
2
?
8k64
?64 8k24k64
?(1?k
2
)?????0

(x
1?x
2
)?
22
25(1?4k)
5
5(1?4k)< br>25
525
（3）
△ABM
面积
S?S
△MNA?S
△MNB
＝
14
MNx
1
?x
2
＝
(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
? x
2

25
3225k
2
?4
由第（2）小题的③ ④代入，整理得：
S?

?
2
251?4k
因
N< br>在椭圆内部，所以
k?R
，可设
t?25k
2
?4?2
，
S?
32t
32
?(t?2)

2
9
4t?9
4t?
t

92564
64
4t??
，
?
S?
（
k?0
时取到最大值）．所以
△ABM
面积
S
的最大值为
．
25
t2
25
考点：1．椭 圆的定义与几何性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．基本不等式．
考向5 与圆有关的最值问题综合题
【例7】已知实数x，y满足方程x
2
＋y
2
－4x＋1＝0，求：
y
（1）的最大值和最小值；
x
（2）y－x的最大值和最小值；
（3）x
2
＋y
2
的最大值和最小值．

【点 评】研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解．常见的最值问题有以下几
种类 型：①形如
μ
＝
y
－
b
x
－
a
形 式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如
t
＝
ax
＋
by
形式的最
值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(
x
－
a
)
2
＋(
y
－
b
)
2
形式的 最值问题，可转化为动点到定点
的距离的平方的最值问题．
x
2
?y
2
?1
上的点，则
P,Q
两点间的最大距离是【例8】设
P,Q< br>分别为
x?
?
y?
6
?
?
2
和椭圆
10
2
2
________________．

【答案】
62

【例9】设
m?R
，过定点 A的动直线
x?my?0
和过定点B的动直线
mx?y?m?3?0
交于点< br>P(x,y)
，
则
|PA|?|PB|
的最大值是 ．
【答案】5
【跟踪练习】
1．【2018广西桂林柳州模拟】已知圆
C< br>1
:
?
x?2a
?
?y
2
?4
和圆
C
2
:x
2
?
?
y?b
?
?1< br>只有一条公切线，若
22
a,b?R
且
ab?0
，则
11
?
的最小值为（ ）
a
2
b
2
A．2 B．4 C．8 D．9
【答案】D

【易错点睛】 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中
“正”(即条件 要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条
件才能应 用，否则会出现错误．
2．【2017甘肃兰州高三第一次诊断性考试】已知圆
若圆上存在点 ，使得
和两点，，，
，则当取得最大值时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设为圆上一点，由题意知，，即，，

，，，

所以所在直线倾斜角为
30
，所以的纵坐标为，的横坐标为 ，所以，故选
D
．

3．【2018黑龙江海林朝鲜中学】已知两点
A
?
a,0
?
，
B
?
?a,0
?
（
a?0
），若曲线
x
2
?y
2
?23x?2y ?3?0
上存在点
P
，使得
?APB?90?
，则正实数
a
的取值范围为（ ）
A．
?
0,3
?
B．
?
1,3
?
C．
?
2,3
?
D．
?
1,2
?

【答案】B

4．【2017吉林吉林大学附中高三第七次模拟】已知圆
C
：
x?3??
2
?
?
y?1
?
?1
和两点
A< br>?
?t，0
?
，
2
PB?0
，则
t
的最小值为（ ）
B
?< br>t，0
?
(t?0)
，若圆
C
上存在点
P
， 使得
PA·

A．
3
B．
2
C．
3
D．
1

【答案】D
【解析】由题意可得点P的轨迹方程是以
AB
位直径的圆，当两圆外切时有：
?
3
?
2
?1
2
?t
min
?1?t< br>min
?1
，
即
t
的最小值为1．本题选择D选项． 点睛：在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围
5．【 2017天津河西区二模】若直线
ax?by?2?0
（
a?0
，
b?0
）被圆
x
2
?y
2
?2x?4y?1?0
截 得的
弦长为4，则
11
?
的最小值为（ ）
ab
A．
313
?2
B．
2
C．
D．
?22

242
【答案】A
【解析】由 题意得
?
x?1
?
?
?
y?2
?
?4 ，所以直线
ax?by?2?0
过圆心，即
?a?2b?2?0,a?2b?2
，
22
11
?
11
??
a?2b
?1
?
2ba
?
1
?
2ba
?
3?22
3?2?
?
因此
??
?
?
??
，选A．
?
?
?
3??
?
?
?
?
?
ab
?
ab
??
2
?
2
?
ab
?
2
?
ab2
??
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“ 拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件
要求中字母为正数)、“定”(不等式的另 一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出
现错误．

< br>6．【2018安徽合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会上学期第一次联考】从直线
y?x< br>上一动点出发的
两条射线恰与圆
C:x
2
?
?
y?2
?
?1
都相切，则这两条射线夹角的最大值为__________．
2
【答案】
?

2
【解析】
当动点与圆心连线 与y=x垂直时，两条射线夹角的最大，如图，易得夹角的最大值为
??
．答案：

22
7．若在圆O:
x
2
?y
2
?1
上存 在点N，使得∠OMN=45°，则
x
0
的取值范围是________．
【答案】
[?1,1]



过OA⊥MN，垂足为A，在
Rt?OMA
中，因为∠OMN=45，所以
|OA|?|OM|sin45
o
=
2
|OM|?1
，
2
解得
|OM|?2，因为点M（
x
0
，1），所以
|OM|?x
0
2?1?2
，解得
?1?x
0
?1
，故
x
0的取值范围是
[?1,1]
．

8．【湖北省黄石市2017届 高三年级九月份调研，10】圆
x
2
?y
2
?2ax?a
2
?4?0
和圆
x
2
?y
2
?4by?1?4b2
?0
恰有三条公切线，若
a?R,b?R
，且
ab?0
，则
11
?
2
的最小值为 ．
2
ab
【答案】
1

9．【2017江苏苏北三市（连云 港、徐州、宿迁）高三年级第三次调研】在平面直角坐标系
．若圆
__________．
存在以为中点的弦，且，则实数
中，圆：
的取值范围是
【答案】(或)
， 如图所示，过点O作圆C的两条
，即 ，连结CB，由
【解析】由于原C存在 以G位中点的弦AB，且AB=2GO，故
切线，切点分别为B，D，圆上要存在满足题意的点A，只需
可得： ， ．

10．【2016-2017学年天津市静海县第一中学高二上学期期末五校联考理】
在平面 直角坐标系
当
中，直线被圆截得的弦的中点为，且满足，
取得最大值时，直线的方程是 __________．
【答案】