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高中数学 直线与圆的综合应用

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 06:27
tags:高中数学圆

四川高中数学学不学选修3-高中数学思想校本课程

2020年9月21日发(作者:严宽)


9.5 直线与圆的综合应用
一、填空题
1.若圆
x
2< br>?y
2
?2x?4y?0
的圆心到直线x-y+a=0的距离为
2?
则a的值为
2
________.
?1?2?a?
?
2
?
2
2
解析 圆心为(1,2),利用点到直线的距离公式得化简得|a-1|=1,
解得a=0或?a=2?.
3
2.直线
y

x
绕原点按逆时针方向旋转30°,则所得 直线与圆(
x
-2)
2

y
2
=3
3的位置关系是________.
解析 由题意可得旋转30°后所得直线方程为
y=3
x
,由圆心到直线距离可知
是相切关系.
答案 相切
3 .若圆(
x
-3)
2
+(
y
+5)
2
=< br>r
2
上有且只有两个点到直线4
x
-3
y
-2=0的 距离等
于1,则半径
r
的取值范围为________.
解析 由圆心(3,-5)到直线的距离
d

答案 (4,6)
答案2或0 < br>4.已知直线
ax

by

c
=0与圆
O< br>:
x
2

y
2
=1相交于
A
B
两点,且
AB
=3,则

OA
?

OB
=________.
1
解析 由题可知∠
AOB
=120° ,所以

OA
?

OB
=|

OA
|?|

OB
|?cos 120°=-.
2
1
答案 -
2
5.已知
x

y
满足
x
2

y
2
-4
x
-6
y
+12=0,则
x< br>2

y
2
最小值为________.
解析 法一 点(< br>x

y
)在圆(
x
-2)
2
+(
y
-3)
2
=1上,故点(
x

y
)到原点距离的< br>平方即
x
2

y
2
最小值为(13-1)
2
=14-213.
?
x
=2+cos α,
法二 设圆的参数方程为
?
?
y
=3+sin α
|12+15-2|
=5,可得4<
r
<6.
5


x
2

y
2
=14+4cos α+6sin α,


所以
x
2

y
2
的最小值为1 4-4
2
+6
2
=14-213.
答案 14-213
6.若直线
y

x

b
与曲线
x
=1-< br>y
2
恰有一个交点,则实数
b
的取值范围是
________ .
解析 利用数形结合的方法,曲线
x
=1-
y
2
表示在
y
轴右侧的半个单位圆(含边
界),直线y=x+b表示斜率为1,在y轴上截距为b 的直线,注意到b=-1时
有两个交点及b=-2时直线与圆相切,所以实数b的取值范围是-1b=-2.
答案 -17.已知曲线
C
:(
x
-1)
2

y
2
=1,点
A(-2,0)及点
B
(3,
a
),从点
A
观察点
B

要使视线不被曲线
C
挡住,则实数
a
的取值范围是_ _______.
解析 设过
A
点的⊙
C
的切线是
y
k
(
x
+2),即
kx

y
+2< br>k
=0.
|
k
+2
k
|2
由=1,得
k
=±. < br>4
k
2
+1

x
=3时,
y
=5< br>k
=±
5
2.
4

5
??
5
??
-∞,-22,+∞
????
答案 ∪
44
????
8.设圆
x
2

y
2=1的一条切线与
x
轴、
y
轴分别交于点
A

B
,则线段
AB
长度的
最小值为________.
π
?
1
?
解析 设切点为
D
,∠
OAB< br>=α
?
0<α<
?
,则连接
OD

OD
AB
,从而得到
AD

2
?
tanα
?
cosα1sinα
=,
BD
==,
sinα
?π
?
cosα
tan
?
-α
?
?
2< br>?
π
?
cosαsinα12
?
0<α<
??
,所以线段
AB
=+==则线段
AB
长度的
2
?
sinαcosαsinαcosαsin2α
?
最小值为2.
答案 2
9.圆
C

x
2

y
2
+2
x< br>-2
y
-2=0的圆心到直线3
x
+4
y
+14=0 的距离是________.


解析 圆心为(-1,1),它到直线3
x+4
y
+14=0的距离
d

答案 3
|-3+4+14|
=3.
5
10.如果圆
C
:(
x

a
)
2
+(
y

a
)2
=18上总存在两个点到原点的距离为2,则实

a
的取值范围是__ ______.
解析 由题意,圆
C
上总存在两个点到原点的距离2,即圆
C
与以
O
为圆心,
半径为2的圆总有两个交点,即两圆相交,
所以 有|32-2|<|
CO
|<32+2,即22<2|
a
|<42,
解得-4<
a
<-2或2<
a
<4.
答案 (-4,-2)∪(2,4)
11.若直线
mx

ny
=4和圆< br>O

x
2

y
2
=4没有公共点,则过点(
m

n
)的直线与椭
圆+=1的交点个数为________.
54
解析 由题意可知,圆心
O
到直线
mx

ny
=4的距离大于半径,即得
m
2

n
2
<4,所以点(
m

n
)在圆
O
内,而圆
O
是以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆,
故点(
m

n
)在椭 圆内,因此过点(
m

n
)的直线与椭圆必有2个交点.
答案 2
12.若过点
A
(0,-1)的直线
l
与曲线
x
2
+(
y
-3)
2
=12有公共点,则直线
l
斜率的取值范围为________.
解析 该直线
l
的方程为
y
kx
-1,即
kx

y
-1=0,则由题意,
d

4133
2
≤23,即
k
≥,解得k
≤-或
k
≥.
333
k
2
+1
x
2
y
2
??
3
??
3
答案
?
-∞,-
?

?
,+∞
?

3
??
3
??
13.直线
l

ax

by
+8=0与圆
C

x
2

y
2
ax

by
+4=0(
a

b
为非 零实数)的
位置关系是________.
a
??
b
?
a

ba

b
?
解析 圆的标准方程为
?
x

?
2

?
y

?
2
= -4,且-4>0,
2
??
2
?
44
?
2222
?
ab
?

a
2

b
2
>16,圆心
C
?
-,
?
到直线
ax

b y
+8=0的距离
?
22
?


b
???a
?
?
a
?
?

?

b?+8
?
2
?
|
a
2

b
2
-16||
a
2

b
2
-16|2
r2
?
2
?
?
d
==<==
r
(
r
是圆
C
a
2

b
2
2
a2

b
2
2
a
2

b
2-16
2?2
r
的半径,则直线与圆相交).
答案 相交
二、解答题
14.已知方程
x
2

y
2
-2
x
-4
y

m
=0.
(1)若此方程表示圆,求实数
m
的取值范围;
(2)若(1)中的圆与直 线
x
+2
y
-4=0相交于
M

N
两点, 且
OM

ON
(
O
为坐标原点),
求实数
m
的值;
(3)在(2)的条件下,求以
MN
为直径的圆的方程.
解析 (1)原圆的方程可化为(
x
-1)
2
+(
y
-2)
2
=5-
m
,所以
m
<5.
(2)设< br>M
(
x
1

y
1
),
N
(
x
2

y
2
),则
x
1
=4-2
y
1

x
2
=4-2
y
2
,则< br>x
1
x
2
=16-8(
y
1

y< br>2
)
+4
y
1
y
2
.
因为
OM

ON
,所以
x
1
x
2

y
1
y
2
=0,
所以16-8(
y
1

y
2
)+5
y
1
y
2
=0,
?
x
=4-2
y


?
22
?
x

y
-2
x
-4
y

m
=0,< br>得5
y
2
-16
y

m
+8=0,
所以
y
1

y
2

168+
m
8

y
1
y
2
=,代入①得
m
=.
555



(3)以
MN
为直径的圆的方程为
(
x

x1
)(
x

x
2
)+(
y

y
1
)(
y

y
2
)=0,

x
2

y
2
-(
x
1

x
2
)
x
-(
y
1

y
2
)y
=0.
816
所以所求圆的方程为
x
2

y
2

x

y
=0.
55
15.如图, 已知圆心坐标为(3,1)的圆
M

x
轴及直线
y
=3x
分别相切于
A

B
两点,另一圆
N
与圆M
外切,且与
x
轴及直线
y
=3
x
分别相切于
C

D
两点.
(1)求圆
M
和圆
N
的方程;
(2)过点
B作直线
MN
的平行线
l
,求直线
l
被圆
N截得的弦的长度.



解析 (1)由于⊙
M
与∠
BOA
的两边均相切,故
M

OA

OB
的距离 均为⊙
M
的半
径,则
M
在∠
BOA
的平分线上,同 理,
N
也在∠
BOA
的平分线上,即
O

M

N

点共线,且
OMN
为∠
BOA
的平分线.

M
的坐标为(3,1),∴
M

x
轴的距离为1 ,即⊙
M
的半径为1,则⊙
M
的方
程为(
x
-3) +(
y
-1)=1,
设⊙
N
的半径为
r
,其与< br>x
轴的切点为
C
,连接
MA

NC
由Rt△
OAM
∽Rt△
OCN
可知,
OM

ON

MA

NC

21
即=
?
r
=3,则
OC
=33,
3 +
rr
故⊙
N
的方程为(
x
-33)
2
+ (
y
-3)
2
=9.
(2)由对称性可知,所求的弦长等于点过< br>A
的直线
MN
的平行线被⊙
N
截得的弦长,
此弦的方 程是
y

3
(
x
-3),即
x
-3
y
-3=0,
3
22
3
圆心
N
到该直线的距离
d
=,
2
则弦长为2
r
2

d
2
=33. 16.已知圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶
1;③圆心 到直线l:x-2y=0的距离为
5
.求该圆的方程.
5
解析 设圆的方 程为
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
. < br>令x=0,得
y
2
?2by?b
2
?a
2
? r
2
?0
.
|
y
1
?y
2< br>|
?(y
1
?y
2
)
2
?4y
1< br>y
2
?2r
2
?a
2
?2?

r< br>2
?
?
a
2
?1
?, ①
令y =0,得
x
2
?2ax?a
2
?b
2
?r
2
?0?
|
x
1
?x
2
|=
(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?2 r
2
?b
2
?2r?


r
2
?2b
2
. ②
由①②,得
2b
2
?a
2
?1
.


又因为圆心(a,b)到直线x-2y=0的距离为
a?2b??1
.
5
?

d?
?a?2b?
?
5
?

5
5
5
?
2b
2
?a
2
?1?
?
2b
2
?a
2
?1?
?
a??1?
?
a? 1?
综上,可得
?

?
解得
?

?

b??1b?1?
a?2b?1a?2b??1?
??
??
于是
r
2
?2b
2
?2
.
所求圆的方程 为
(x?1)
2
?(y?1)
2
?2
或?
(x?1 )
2
?
?
(y?1)
2
?2
.
17. 如图,在平面直角坐标系
xOy
中,已知曲线
C
由圆弧
C
1
和圆弧
C
2
相接而成,
两相接点
M

N< br>均在直线
x
=5上,圆弧
C
1
的圆心是坐标原点
O< br>,半径为13,圆

C
2
过点
A
(29,0).

(1)求圆弧
C
2
的方程;
(2)曲线
C上是否存在点
P
,满足
PA
=30
PO
?若存在,指出 有几个这样的点;
若不存在,请说明理由;
(3)已知直线
l

x

my
-14=0与曲线
C
交于
E

F< br>两点,当
EF
=33时,求坐标
原点
O
到直线
l的距离.
解析 (1)圆弧
C
1
所在圆的方程为
x
2

y
2
=169.

x
=5,解得
M< br>(5,12),
N
(5,-12).
则线段
AM
的中垂线的 方程为
y
-6=2(
x
-17).

y
=0,得 圆弧
C
2
所在圆的圆心为
O
2
(14,0),
又 圆弧
C
2
所在圆的半径为
r
2
=29-14=15,所以圆 弧
C
2
的方程为(
x
-14)+
y
=225(x
≥5).
(2)假设存在这样的点
P
(
x

y
),则由
PA
=30
PO
,得
x
2

y
2
+2
x
-29=0.
?
x

y
+2
x
-29=0,

?
22
?
x< br>+
y
=169-13≤
x
≤5
22
22
,< br>
解得
x
=-70(舍).


?
x

y
+2
x
-29=0,

?
22
?
x
-14+
y
=225
22
5≤
x
≤29,
解得
x
=0(舍).
综上知这样的点
P
不存在.
(3)因为
EF
>2
r
2

EF
>2r
1
,所以
E

F
两点分别在两个圆弧上.
设点
O
到直线
l
的距离为
d
.
因为直线
l
恒过圆弧
C
2
所在圆的圆心(14,0), < br>所以
EF
=15+13
2

d
2
+142

d
2

即13
2

d
2
+14
2

d
2
=18,解得
d
2
所以点
O
到直线
l
的距离为
1 615
.
4
1 615
.
16
18.如图,在平面直角坐标系
xO y
中,已知
F
1
(-4,0),
F
2
(4,0),
A
(0,8),直线
y

t
(0<
t
<8 )与线段
AF
1

AF
2
分别交于点
P

Q
.

(1)当
t
=3时,求以
F
1< br>,
F
2
为焦点,且过
PQ
中点的椭圆的标准方程;
(2)过点
Q
作直线
QR

AF
1

F< br>1
F
2
于点
R
,记△
PRF
1
的外 接圆为圆
C
.
求证:圆心
C
在定直线7
x
+4
y
+8=0上.
解析 (1)当
t
=3时,
PQ
中点为(0,3),所以
b
=3,又椭圆焦点为
F
1
(-4,0),
F
2
(4 ,0),所以
c
=4,
a
2

b
2
c
2
=25,所以椭圆的标准方程为+=1.
259
x
2y
2
t
?
xy
?
(2)证明 因为
Q
在直线
AF
2
:+=1上,所以
Q
?
4-,
t?
.
2
?
48
?
?
t
?

P

Q
关于
y
轴对称,得
P
?
- 4,
t
?
,又由
QR

AF
1
,得
R
(4-
t,
0).
?
2
?
设△
PR F
1
的外接圆方程为
x
2

y
2

Dx

Ey

F
=0,则有
16-4
D

F
=0,
?
?
4-
t
+4-
tD
F
=0,
?
t
???
t
?
-4?
?

t

?
-4
?
D
+< br>tE

F
=0,
2
?
?
???
2< br>?
2
22

D

t

?
?
7
解得
?
E
=4-
t

4
??
F
=4
t
-4,


?t
7
??
t
??
7
?
所以该圆的圆心
C
?
-,
t
-2
?
满足7?
?

?
+4
?
t
-2
?
+8=8-8=0,
?
28
??
2
??
8
?
即圆心
C
在直线7
x
+4
y
+8=0上.

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