四川高中数学学不学选修3-高中数学思想校本课程
9.5 直线与圆的综合应用
一、填空题
1.若圆
x
2<
br>?y
2
?2x?4y?0
的圆心到直线x-y+a=0的距离为
2?
则a的值为
2
________.
?1?2?a?
?
2
?
2
2
解析
圆心为(1,2),利用点到直线的距离公式得化简得|a-1|=1,
解得a=0或?a=2?.
3
2.直线
y
=
x
绕原点按逆时针方向旋转30°,则所得
直线与圆(
x
-2)
2
+
y
2
=3
3的位置关系是________.
解析 由题意可得旋转30°后所得直线方程为
y=3
x
,由圆心到直线距离可知
是相切关系.
答案 相切
3
.若圆(
x
-3)
2
+(
y
+5)
2
=<
br>r
2
上有且只有两个点到直线4
x
-3
y
-2=0的
距离等
于1,则半径
r
的取值范围为________.
解析
由圆心(3,-5)到直线的距离
d
=
答案 (4,6)
答案2或0 <
br>4.已知直线
ax
+
by
+
c
=0与圆
O<
br>:
x
2
+
y
2
=1相交于
A
,B
两点,且
AB
=3,则
→
OA
?
→
OB
=________.
1
解析 由题可知∠
AOB
=120°
,所以
→
OA
?
→
OB
=|
→
OA
|?|
→
OB
|?cos 120°=-.
2
1
答案
-
2
5.已知
x
,
y
满足
x
2
+
y
2
-4
x
-6
y
+12=0,则
x<
br>2
+
y
2
最小值为________.
解析 法一 点(<
br>x
,
y
)在圆(
x
-2)
2
+(
y
-3)
2
=1上,故点(
x
,
y
)到原点距离的<
br>平方即
x
2
+
y
2
最小值为(13-1)
2
=14-213.
?
x
=2+cos α,
法二
设圆的参数方程为
?
?
y
=3+sin
α
|12+15-2|
=5,可得4<
r
<6.
5
则
x
2
+
y
2
=14+4cos α+6sin
α,
所以
x
2
+
y
2
的最小值为1
4-4
2
+6
2
=14-213.
答案 14-213
6.若直线
y
=
x
+
b
与曲线
x
=1-<
br>y
2
恰有一个交点,则实数
b
的取值范围是
________
.
解析 利用数形结合的方法,曲线
x
=1-
y
2
表示在
y
轴右侧的半个单位圆(含边
界),直线y=x+b表示斜率为1,在y轴上截距为b
的直线,注意到b=-1时
有两个交点及b=-2时直线与圆相切,所以实数b的取值范围是-1b=-2.
答案 -17.已知曲线
C
:(
x
-1)
2
+
y
2
=1,点
A(-2,0)及点
B
(3,
a
),从点
A
观察点
B
,
要使视线不被曲线
C
挡住,则实数
a
的取值范围是_
_______.
解析 设过
A
点的⊙
C
的切线是
y=
k
(
x
+2),即
kx
-
y
+2<
br>k
=0.
|
k
+2
k
|2
由=1,得
k
=±. <
br>4
k
2
+1
当
x
=3时,
y
=5<
br>k
=±
5
2.
4
5
??
5
??
-∞,-22,+∞
????
答案
∪
44
????
8.设圆
x
2
+
y
2=1的一条切线与
x
轴、
y
轴分别交于点
A
、
B
,则线段
AB
长度的
最小值为________.
π
?
1
?
解析 设切点为
D
,∠
OAB<
br>=α
?
0<α<
?
,则连接
OD
知
OD⊥
AB
,从而得到
AD
=
2
?
tanα
?
cosα1sinα
=,
BD
==,
sinα
?π
?
cosα
tan
?
-α
?
?
2<
br>?
π
?
cosαsinα12
?
0<α<
??
,所以线段
AB
=+==则线段
AB
长度的
2
?
sinαcosαsinαcosαsin2α
?
最小值为2.
答案 2
9.圆
C
:
x
2
+
y
2
+2
x<
br>-2
y
-2=0的圆心到直线3
x
+4
y
+14=0
的距离是________.
解析 圆心为(-1,1),它到直线3
x+4
y
+14=0的距离
d
=
答案 3
|-3+4+14|
=3.
5
10.如果圆
C
:(
x
+
a
)
2
+(
y
-
a
)2
=18上总存在两个点到原点的距离为2,则实
数
a
的取值范围是__
______.
解析 由题意,圆
C
上总存在两个点到原点的距离2,即圆
C
与以
O
为圆心,
半径为2的圆总有两个交点,即两圆相交,
所以
有|32-2|<|
CO
|<32+2,即22<2|
a
|<42,
解得-4<
a
<-2或2<
a
<4.
答案
(-4,-2)∪(2,4)
11.若直线
mx
+
ny
=4和圆<
br>O
:
x
2
+
y
2
=4没有公共点,则过点(
m
,
n
)的直线与椭
圆+=1的交点个数为________.
54
解析 由题意可知,圆心
O
到直线
mx
+
ny
=4的距离大于半径,即得
m
2
+
n
2
<4,所以点(
m
,
n
)在圆
O
内,而圆
O
是以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆,
故点(
m
,
n
)在椭
圆内,因此过点(
m
,
n
)的直线与椭圆必有2个交点.
答案 2
12.若过点
A
(0,-1)的直线
l
与曲线
x
2
+(
y
-3)
2
=12有公共点,则直线
l
的斜率的取值范围为________.
解析 该直线
l
的方程为
y=
kx
-1,即
kx
-
y
-1=0,则由题意, 得
d
=
4133
2
≤23,即
k
≥,解得k
≤-或
k
≥.
333
k
2
+1
x
2
y
2
??
3
??
3
答案
?
-∞,-
?
∪
?
,+∞
?
3
??
3
??
13.直线
l
:
ax
-
by
+8=0与圆
C
:
x
2
+
y
2+
ax
-
by
+4=0(
a
,
b
为非
零实数)的
位置关系是________.
a
??
b
?
a
+
ba
+
b
?
解析 圆的标准方程为
?
x
+
?
2
+
?
y
-
?
2
=
-4,且-4>0,
2
??
2
?
44
?
2222
?
ab
?
即
a
2
+
b
2
>16,圆心
C
?
-,
?
到直线
ax
-
b
y
+8=0的距离
?
22
?
b
???a
?
?
a
?
?
-
?
-
b?+8
?
2
?
|
a
2
+
b
2
-16||
a
2
+
b
2
-16|2
r2
?
2
?
?
d
==<==
r
(
r
是圆
C
a
2
+
b
2
2
a2
+
b
2
2
a
2
+
b
2-16
2?2
r
的半径,则直线与圆相交).
答案 相交
二、解答题
14.已知方程
x
2
+
y
2
-2
x
-4
y
+
m
=0.
(1)若此方程表示圆,求实数
m
的取值范围;
(2)若(1)中的圆与直
线
x
+2
y
-4=0相交于
M
,
N
两点,
且
OM
⊥
ON
(
O
为坐标原点),
求实数
m
的值;
(3)在(2)的条件下,求以
MN
为直径的圆的方程.
解析 (1)原圆的方程可化为(
x
-1)
2
+(
y
-2)
2
=5-
m
,所以
m
<5.
(2)设<
br>M
(
x
1
,
y
1
),
N
(
x
2
,
y
2
),则
x
1
=4-2
y
1
,
x
2
=4-2
y
2
,则<
br>x
1
x
2
=16-8(
y
1
+
y<
br>2
)
+4
y
1
y
2
.
因为
OM
⊥
ON
,所以
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=0,
所以16-8(
y
1
+
y
2
)+5
y
1
y
2
=0,
?
x
=4-2
y
,
由
?
22
?
x
+
y
-2
x
-4
y
+
m
=0,<
br>得5
y
2
-16
y
+
m
+8=0,
所以
y
1
+
y
2
=
168+
m
8
,
y
1
y
2
=,代入①得
m
=.
555
①
(3)以
MN
为直径的圆的方程为
(
x
-
x1
)(
x
-
x
2
)+(
y
-
y
1
)(
y
-
y
2
)=0,
即
x
2
+
y
2
-(
x
1
+
x
2
)
x
-(
y
1
+
y
2
)y
=0.
816
所以所求圆的方程为
x
2
+
y
2
-
x
-
y
=0.
55
15.如图,
已知圆心坐标为(3,1)的圆
M
与
x
轴及直线
y
=3x
分别相切于
A
、
B
两点,另一圆
N
与圆M
外切,且与
x
轴及直线
y
=3
x
分别相切于
C
、
D
两点.
(1)求圆
M
和圆
N
的方程;
(2)过点
B作直线
MN
的平行线
l
,求直线
l
被圆
N截得的弦的长度.
解析 (1)由于⊙
M
与∠
BOA
的两边均相切,故
M
到
OA
及
OB
的距离
均为⊙
M
的半
径,则
M
在∠
BOA
的平分线上,同
理,
N
也在∠
BOA
的平分线上,即
O
,
M
,
N
三
点共线,且
OMN
为∠
BOA
的平分线.
∵
M
的坐标为(3,1),∴
M
到
x
轴的距离为1
,即⊙
M
的半径为1,则⊙
M
的方
程为(
x
-3)
+(
y
-1)=1,
设⊙
N
的半径为
r
,其与<
br>x
轴的切点为
C
,连接
MA
、
NC
, 由Rt△
OAM
∽Rt△
OCN
可知,
OM
∶
ON
=
MA
∶
NC
,
21
即=
?
r
=3,则
OC
=33,
3
+
rr
故⊙
N
的方程为(
x
-33)
2
+
(
y
-3)
2
=9.
(2)由对称性可知,所求的弦长等于点过<
br>A
的直线
MN
的平行线被⊙
N
截得的弦长,
此弦的方
程是
y
=
3
(
x
-3),即
x
-3
y
-3=0,
3
22
3
圆心
N
到该直线的距离
d
=,
2
则弦长为2
r
2
-
d
2
=33. 16.已知圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶
1;③圆心
到直线l:x-2y=0的距离为
5
.求该圆的方程.
5
解析 设圆的方
程为
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
. <
br>令x=0,得
y
2
?2by?b
2
?a
2
?
r
2
?0
.
|
y
1
?y
2<
br>|
?(y
1
?y
2
)
2
?4y
1<
br>y
2
?2r
2
?a
2
?2?
得
r<
br>2
?
?
a
2
?1
?, ①
令y
=0,得
x
2
?2ax?a
2
?b
2
?r
2
?0?
|
x
1
?x
2
|=
(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?2
r
2
?b
2
?2r?
得
r
2
?2b
2
. ②
由①②,得
2b
2
?a
2
?1
.
又因为圆心(a,b)到直线x-2y=0的距离为
a?2b??1
.
5
?
得
d?
?a?2b?
?
5
?
即
5
5
5
?
2b
2
?a
2
?1?
?
2b
2
?a
2
?1?
?
a??1?
?
a?
1?
综上,可得
?
或
?
解得
?
或
?
b??1b?1?
a?2b?1a?2b??1?
??
??
于是
r
2
?2b
2
?2
.
所求圆的方程
为
(x?1)
2
?(y?1)
2
?2
或?
(x?1
)
2
?
?
(y?1)
2
?2
.
17.
如图,在平面直角坐标系
xOy
中,已知曲线
C
由圆弧
C
1
和圆弧
C
2
相接而成,
两相接点
M
、
N<
br>均在直线
x
=5上,圆弧
C
1
的圆心是坐标原点
O<
br>,半径为13,圆
弧
C
2
过点
A
(29,0).
(1)求圆弧
C
2
的方程;
(2)曲线
C上是否存在点
P
,满足
PA
=30
PO
?若存在,指出
有几个这样的点;
若不存在,请说明理由;
(3)已知直线
l
:
x
-
my
-14=0与曲线
C
交于
E
、
F<
br>两点,当
EF
=33时,求坐标
原点
O
到直线
l的距离.
解析 (1)圆弧
C
1
所在圆的方程为
x
2
+
y
2
=169.
令
x
=5,解得
M<
br>(5,12),
N
(5,-12).
则线段
AM
的中垂线的
方程为
y
-6=2(
x
-17).
令
y
=0,得
圆弧
C
2
所在圆的圆心为
O
2
(14,0),
又
圆弧
C
2
所在圆的半径为
r
2
=29-14=15,所以圆
弧
C
2
的方程为(
x
-14)+
y
=225(x
≥5).
(2)假设存在这样的点
P
(
x
,
y
),则由
PA
=30
PO
,得
x
2
+
y
2
+2
x
-29=0.
?
x
+
y
+2
x
-29=0,
由
?
22
?
x<
br>+
y
=169-13≤
x
≤5
22
22
,<
br>
解得
x
=-70(舍).
?
x
+
y
+2
x
-29=0,
由
?
22
?
x
-14+
y
=225
22
5≤
x
≤29,
解得
x
=0(舍).
综上知这样的点
P
不存在.
(3)因为
EF
>2
r
2
,
EF
>2r
1
,所以
E
、
F
两点分别在两个圆弧上.
设点
O
到直线
l
的距离为
d
.
因为直线
l
恒过圆弧
C
2
所在圆的圆心(14,0), <
br>所以
EF
=15+13
2
-
d
2
+142
-
d
2
,
即13
2
-
d
2
+14
2
-
d
2
=18,解得
d
2=
所以点
O
到直线
l
的距离为
1 615
.
4
1 615
.
16
18.如图,在平面直角坐标系
xO
y
中,已知
F
1
(-4,0),
F
2
(4,0),
A
(0,8),直线
y
=
t
(0<
t
<8
)与线段
AF
1
,
AF
2
分别交于点
P
,
Q
.
(1)当
t
=3时,求以
F
1<
br>,
F
2
为焦点,且过
PQ
中点的椭圆的标准方程;
(2)过点
Q
作直线
QR
∥
AF
1
交
F<
br>1
F
2
于点
R
,记△
PRF
1
的外
接圆为圆
C
.
求证:圆心
C
在定直线7
x
+4
y
+8=0上.
解析 (1)当
t
=3时,
PQ
中点为(0,3),所以
b
=3,又椭圆焦点为
F
1
(-4,0),
F
2
(4
,0),所以
c
=4,
a
2
=
b
2
+c
2
=25,所以椭圆的标准方程为+=1.
259
x
2y
2
t
?
xy
?
(2)证明 因为
Q
在直线
AF
2
:+=1上,所以
Q
?
4-,
t?
.
2
?
48
?
?
t
?
由
P
与
Q
关于
y
轴对称,得
P
?
-
4,
t
?
,又由
QR
∥
AF
1
,得
R
(4-
t,
0).
?
2
?
设△
PR
F
1
的外接圆方程为
x
2
+
y
2
+
Dx
+
Ey
+
F
=0,则有
16-4
D
+
F
=0,
?
?
4-
t
+4-
tD+
F
=0,
?
t
???
t
?
-4?
?
+
t
+
?
-4
?
D
+<
br>tE
+
F
=0,
2
?
?
???
2<
br>?
2
22
D
=
t
,
?
?
7
解得
?
E
=4-
t
,
4
??
F
=4
t
-4,
?t
7
??
t
??
7
?
所以该圆的圆心
C
?
-,
t
-2
?
满足7?
?
-
?
+4
?
t
-2
?
+8=8-8=0,
?
28
??
2
??
8
?
即圆心
C
在直线7
x
+4
y
+8=0上.
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