高中数学说题-高中数学角诱导公式
2.3.4 圆与圆的位置关系 优化训练
1.两圆
x
+
y
=9和
x
+
y
-8
x
+6
y
+9=0的位置关系是( )
A.相离
B.相交
C.内切 D.外切
解析:选B.圆
x
2
+
y
2
-8
x
+6
y
+9=0的圆心为(4,-3),半径
为4.两圆心之间的距离为5,∵|3-4|<5<3+4,∴两圆相交.
2.若圆
x
2
+
y
2
-2
ax
+4
y
+(
a
2
-5)=0与圆
x
2
+
y
2
+2
x
-2
ay
+(
a
2
-3)=0相内切,则<
br>a
的值为( )
A.-5或2 B.-1或-2
C.-1
D.-2
答案:B
3.两圆
x
2
+
y
2
=
r
2
与(
x
-2)
2
+(
y
+1)
2
=
r
2
(
r
>0)外切,则
r<
br>的值
是( )
A.5 B.5
5
C. D.25
2
答案:C
4.若圆
x
2
+
y
2
=4与圆
x
2
+
y
2
-2
ax
+
a
2
-1=0相内切,则
a
=
________.
解析
:两圆的圆心和半径分别为
O
1
(0,0),
r
1
=2,<
br>O
2
(
a,
0),
r
2
=
1,由两
圆内切可得
d
(
O
1
,
O
2
)=
r
1
-
r
2
,即|
a
|=1,
所以
a
=±1.
答案:±1
5.点
P
在圆O
:
x
2
+
y
2
=1上运动,点
Q<
br>在圆
C
:(
x
-3)
2
+
y
2=1
上运动,则|
PQ
|的最小值为________.
答案:1
2222
1.已知0<
r
<2+1,则两圆
x
+
y
=
r
与(
x
-1)
2
+(
y<
br>+1)
2
=2
的位置关系是( )
A.外切 B.相交
C.外离 D.内含
解析:选B.设圆(
x
-1)
2
+(
y
+1)
2
=2的圆心为
O
′,
则
O
′(1,-1).
两圆的圆心距离
d
(
O<
br>,
O
′)=1
2
+?-1?
2
=2.
显然有|
r
-2|<2<2+
r
.所以两圆相交.
222
2.圆
C
1
:
x
2
+
y
2
+4
x
-4
y
+7=0和圆
C
2
:
x<
br>2
+
y
2
-4
x
-10
y
+13<
br>=0的公切线有( )
A.2条 B.3条
C.4条 D.0条
解析:选B.由
x
2
+
y
2
+4
x
-4
y
+7=0,得圆心和半径分别为
O
1
(-
2,2),r
1
=1.
由
x
2
+
y
2
-4
x
-10
y
+13=0,得圆心和半径分别为
O
2(2,5),
r
1
=4.
因为
d
(
O
1
,
O
2
)=5,
r
1
+
r
2
=5,即
r
1
+
r
2
=
d
(O
1
,
O
2
),所以两圆
外切,由平面几何知识得两圆
有3条公切线.
3.两圆
x
2
+
y
2
-2
x
+10
y
+1=0,
x
2
+
y
2-2
x
+2
y
-
m
=0相交,
则
m<
br>的取值范围是( )
A.(-2,39) B.(0,81)
C.(0,79) D.(-1,79)
解析:选D.两圆的方程分别可化为(
x
-1)
2
+(
y
+5)
2
=25,(
x
-
1)
2
+(
y
+1)
2
=
m<
br>+2.两圆相交,得|5-
m
+2|<4<5+
m
+2,解之得
-1<
m
<79.
4.已知半径为1的动圆与圆
C
:(
x
-5)
2
+(
y
+7)
2
=16相切,则
动圆圆心的轨迹方程是( )
A.(
x
-5)
2
+(
y
+7)
2
=25
B.(
x
-5)
2
+
(
y
+7)
2
=25或(
x
-5)
2
+(
y
+7)
2
=9
C.(
x
-5)
2+(
y
+7)
2
=9
D.(
x
-5)
2
+(
y
+7)
2
=17或(
x
-5)
2
+(
y
+7)
2
=15
解析:选B.设动圆圆心为M
(
x
,
y
),因为动圆
M
与定圆
C
相切.所
以|
MC
|=1+4=5或|
MC
|=4-1=3
,代入坐标整理,得(
x
-5)
2
+(
y
+7)
2
=25或(
x
-5)
2
+(
y
+7)
2<
br>=9.
5.若圆(
x
-
a
)
2
+(
y
-
b
)
2
=
b
2
+1始终平分圆(<
br>x
+1)
2
+(
y
+1)
2
=4的周长,则
a
、
b
应满足的关系式是( )
A.
a
2
-2
a
-2
b
-3=0
B.
a
2
+2
a
+2
b
+5=0
C.
a
2
+2
b
2
+2
a
+2
b
+1=0
D.3
a
2
+2
b
2
+2<
br>a
+2
b
+1=0
解析:选B.利用公共弦始终经过圆(
x
+1)
2
+(
y
+1)
2
=4的圆心
即可
求得.两圆的公共弦所在直线方程为(2
a
+2)
x
+(2
b
+2)
y
-
a
2
-
1=0,它经过圆心(-1,-1),
代入得
a
2
+2
a
+2
b
+5=0.
6
.若集合
A
={(
x
,
y
)|
x
2
+
y
2
≤16},
B
={(
x
,
y)|
x
2
+(
y
-2)
2
≤
a
-1}且
A
∩
B
=
B
,则
a
的取值范围
是( )
A.
a
≤1 B.
a
≥5
C.1≤
a
≤5
D.
a
≤5
解析:选D.由
A
∩
B
=
B
知
B
?
A
,故
a
-1≤4,即
a
≤5.
7.集合
A
={(
x
,
y
)|
x
2
+
y
2
=4},
B
={(
x
,
y
)|(
x
-3)
2
+(
y
-4)
2
=
r
2
},其中
r
>0 ,若
A
∩<
br>B
中有且仅有一个元素,则
r
的值是________.
解析:∵
A
∩
B
中有且仅有一个元素,
∴圆
x<
br>2
+
y
2
=4与圆(
x
-3)
2
+
(
y
-4)
2
=
r
2
相切.
当内切时,
3
2
+4
2
=|2-
r
|,解得
r
=7.
当外切时,3
2
+4
2
=2+
r
,解得
r
=3.
答案:3或7
8.若圆
x
2
+
y
2
-2
ax
+
a
2
=2和圆
x
2
+
y
2
-2
by
+
b
2
=1外离,则<
br>a
、
b
满足的条件是____________.
答案:
a
2
+
b
2
>3+22
9.已知
动圆
M
与
y
轴相切且与定圆
A
:(
x
-3
)
2
+
y
2
=9外切,则
动圆的圆心
M
的
轨迹方程是____________.
解析:设点
M
(
x
,y
),动圆的半径为
r
,
由题意,得|
MA
|=r
+3且
r
=|
x
|,
∴?
x
-3
?
2
+
y
2
=|
x
|+3.
当
x
>0时,两边平方化简得
y
2
=12
x
(
x>0);
当
x
<0时,两边平方化简得
y
=0(
x
<0).
答案:
y
2
=12
x
(
x
>0)或
y
=0(
x
<0)
10.求与已知圆
x
2
+<
br>y
2
-7
y
+10=0相交,所得公共弦平行于已
知直线2<
br>x
-3
y
-1=0,且过点(-2,3),(1,4)的圆的方程.
27
解:公共弦所在直线斜率为,已知圆的圆心坐标为(0,),所
32
73
以两圆连心线所在直线方程为
y
-=-
x
,即3
x
+2y
-7=0.设所求
22
圆的方程为
x
2
+
y
2
+
Dx
+
Ey
+
F
=0,则
?
?
1+4+
D
+4
E
+
F
=0,
?
DE
?
?
3?-
2
?+2?-
2
?-7
=0,
22
?-2?
2
+3
2
-2
D
+3
E
+
F
=0,
D
=2,
?<
br>?
解得
?
E
=-10,
?
?
F
=2
1.
0.
故所求圆的方
程为
x
2
+
y
2
+2
x
-10
y
+21=
11.已知两圆
x2
+
y
2
-2
x
-6
y
-1=0和<
br>x
2
+
y
2
-10
x
-12
y+
m
=
0.求:
(1)
m
取何值时两圆外切;
(2)
m
取何值时两圆内切,此时公切线方程是什么?
解:两圆的标准方程分别为
(
x
-1)
2
+(
y
-3)
2
=11,(
x
-5)
2
+(
y<
br>-6)
2
=61-
m
.
圆心分别为
C
1
(1,3)、
C
2
(5,6).
半径分别为11和61-
m
.
(1)当两圆外切时,
?5-1?
2
+?6-3?
2
=11+61-
m
.
解得
m
=25+1011.
(2)当两圆内切时,因定圆的半径11小于两
圆圆心间距离5,故
6-33
有61-
m
-11=5.解得
m
=25-1011.因为
kC
1
C
2
==,
5-14
4
所以两圆公切线的斜率是-.
3
4
设切线方程
为
y
=-
x
+
b
,则有
3
4
|×1+3-
b
|
3
=11.
?<
br>4
?
2
??
+1
?
3
?
135解得
b
=±11.
33
135
容易验证,当
b
=+11,直线与后一圆相交,
33
4135
故所求公切线方程为
y
=-
x
+-11.
333
即4
x
+3
y
+511-13=0.
12
.已知圆
A
:
x
2
+
y
2
+2
x
+2
y
-2=0,若圆
B
平分圆
A
的周长,
且圆
B
的圆心在直线
l
:
y
=2
x
上,
求满足上述条件的半径最小的圆
B
的方程.
解:法一:设圆
B
的半
径为
r
,因为圆
B
的圆心在直线
l
:
y
=
2
x
上,所以圆
B
的圆心可设为(
t,
2
t
),则圆
B
的方程是(
x
-
t
)
2
+(
y
-
2
t
)
2
=
r
2
,
即
x
2
+
y
2
-2
tx
-4
ty
+5
t
2
-
r
2
=0.①
因为圆
A
的方程为
x
2
+
y
2
+2
x
+2
y
-2=0,②
所以②-①,得两圆的公共弦所在直线的方程为(2+2
t
)
x
+(2
+4
t
)
y
-
5
t
2
+
r
2
-2=0.③
因为圆
B<
br>平分圆
A
的周长,所以圆
A
的圆心(-1,-1)必须在公
共
弦上,于是将
x
=-1,
y
=-1代入方程③并整理得
r
2
=5
t
2
+6
t
+
?
3
?
2
2121321
??
6=5
t
+
+≥,所以当
t
=-时,
r
min
=.此时,圆
B
的
5
5555
??
?
3
?
2
?
6
?
2
21
方程是
?
x
+
?
+
?
y+
?
=.
5
??
5
?
5
?
法二:如图所示,由已知得
A
(-1,-1),
B
在直线
l
:
y
=2
x
上,
连接
AB
,过
A
作
MN
⊥
AB
,且
MN
交圆
A
于
M
,
N
两点,所以
MN
为圆
A
的直径.因为圆B
平分圆
A
的周长,所以只需圆
B
经过
M
,<
br>N
两点.因
为圆
A
的半径是2,设圆
B
的半径为r
,连接
MB
,所以
r
=|
MB
|=
|
AB
|
2
+|
AM
|
2
=|
A
B
|
2
+4.欲求
r
的最小值,只需求|
AB
|的
最小
值.因为
A
是定点,
B
是
l
上的动点,所以当
AB
⊥
l
,即
MN
∥
l
时,
?<
br>36
?
21
|
AB
|最小.于是,可求得
B
的坐标为
?
-,-
?
,
r
min
=,所以
55
5
??
?
3
?
2
?
6
?2
21
圆
B
的方程是
?
x
+
?
+
?
y
+
?
=.
5
??
5
?
5
?
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