高中数学直线和圆知识点练习

直线和圆
知识点回顾
一、直线方程.
1、直线的倾斜角：一条直 线和x轴正方向上的较小的夹角叫做这条直线的倾斜角，其中直
线与
x
轴平行或重合时 ，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是
0
?
?
?
?180
?
(0?
?
?
?
)
.斜
率:
k?tan< br>?

注：当
?
?90
?
或
x
2?x
1
时，直线
l
垂直于
x
轴，它的斜率不存在.
2、直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜截式.
特别地，当直线经过两点(a,0),(0,b)
，即直线在
x
轴，
y
轴上的截距分别为
a,b(a?0,b?0)
时，
x
y
??1
.
ab
3、（1）直线系：对于直线的斜截式方程
y?kx?b
，
直 线方程是：
①当
b
为定植，
k
变化时，它们表示过定点（0，
b
）的直线束.
②当
k
为定值，
b
变化时，它们表示一组平行直线.
（2）直线系方程
①过定点（
x
1
,
y
1
）的直线系方程是： A(
x
-
x
1
)+B(
y
-
y
1
)=0 (A,B不全为0)
②过直线
l
1
、
l
2
交点的直线系方程：（A
1
x
+B
1
y
+C< br>1
）+λ( A
2
x
+B
2
y
+C
2
）=0 (λ?R）
注：该直线系不含
l
2
.
4、⑴两条直线平行：
l
1
∥
l
2
?k
1
?k
2
（①两直线不重合②斜率都存在）
推论：如果两条直线
l
1
,l
2
的倾斜角为
?
1
,
?
2
则
l
1
∥
l
2
?
?
1
?
?
2
.
⑵两条直线垂直： < br>l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1（①
斜率都存在. ②若有一条直线的斜率不存在，
l
1
?l
2
?k
1
?0
，且
l
2
的
斜率不存在或
k
2
?0
，且
l
1
的斜率不存在. ③
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
是垂直的 充要条件）
5、到角公式：
⑴直线
l
1
到
l
2
的角（方向角）；直线
l
1
到
l
2
的角，是指直线
l
1
绕交点依逆时针方向旋转到
与
l
2
重合时所转 动的角
?
，它的范围是
(0,
?
)
，当
?
?90
?
时
tan
?
?
k
2
?k
1
.
1?k
1
k
2
⑵两条相交直线
l
1
与
l
2
的夹角：两条相交直线
l
1
与
l< br>2
的夹角，是指由
l
1
与
l
2
相交所成的四
?
?
?
?
?
?90
个角中最小的正角
?< br>，又称为
l
1
和
l
2
所成的角，它的取值范围是?
，当，则有
0,
?
?
2
?
?
tan
?
?
k
2
?k
1
.
1?k
1
k
2
6、 点到直线的距离：
⑴点到直线的距离 公式：设点
P(x
0
,y
0
)
，直线
l:Ax?B y?C?0,P
到
l
的距离为
d
，则有

d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
. ⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线
l
1
:Ax?By?C
1< br>?0,l
2
:Ax?By?C
2
?0(C
1
?C2
)
，
它们之间的距离为
d
，则有
d?
注：
22
（1）两点P
1
(x
1
,y
1
)、P
2
(x
2
,y
2
)的距离公式：
|P
.
1
P
2
|?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
C
1
?C
2
A?B
22
.
特例：点P(x,y)到原点O的距离：
|OP|?x
2
? y
2

uuuruuur
（2） 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有 向线段
PP
,其中
12
所成的比为
?
即PP
1?
?
PP
2
x
1
?
?
x
2< br>y?
?
y
2

,y?
1
1?
?1?
?
特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。
P
1< br>(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
).则
x?
7、 关于点对称和关于某直线对称：
⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.
⑵关于某直线对称 的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称
直线距离相等.
若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.
⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对
称点的直线方 程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.
注：①曲线、直线关于一直线（
y ??x?b
）对称的解法：
y
换
x
，
x
换
y.
例：曲线
f
(
x
,
y
)=0
关于 直线
y
=
x
–2对称曲线方程是
f
(
y
+ 2 ,
x
–2)=0.
②曲线C:
f
(
x
,
y
)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是
f
(a –
x
, 2b –
y
)=0.
二、圆的方程.
1、圆 的标准方程：以点
C(a,b)
为圆心，
r
为半径的圆的标准方程是
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
2、圆的 一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
.
?
DE
?
当
D?E?4F?0
时，方程表示一个圆，其中圆心C
?
?,?
?
，半径
r?
2
??
2< br>22
D
2
?E
2
?4F
.
2
当< br>D
2
?E
2
?4F?0
时，方程表示一个点
?
?
?
DE
?
,?
?
.
2
??
2
当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程无图形 ?
x?a?rcos
?
3、圆的参数方程：
?
（
?为参数）.
?
y?b?rsin
?
4、点和圆的位置关系
5、圆与圆的位置关系：
相离，外切，相交，内切，内含。
由圆心距与两半径的长度来确定的，

圆心距用d来表示，两圆的半径分别用r,R来表示。
当d>R+r 时，相离。
当d=R+r 时，外切
当R-r当d=R-r 时，内切，
当0=也可能用公共点的个数来确定。
两个公共点时相交，一个公共点时，相切，没有公共点时相离或内含

6、直线和圆的位置关系：
设圆
C
：
(x?a)
2< br>?(y?b)
2
?r
2
(r?0)
； 直线
l
：
Ax?By?C?0(A
2
?B
2
?0)
；
圆心
C(a,b)
到直线
l
的距离
d?
①d?r
时，
l
与
C
相切；
22
?
?
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
附： 若两圆相切，则
?
?
相减为公切线方程.
22
?
?
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
Aa?Bb ?C
A?B
22
.
②
d?r
时，
l
与
C
相交；
C:x2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1< br>?0
附：公共弦方程：设
1
C
2
:x
2
? y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0

有两个交点，则其公共弦方程为
(D
1
?D
2
)x?( E
1
?E
2
)y?(F
1
?F
2
)?0< br>.
③
d?r
时，
l
与
C
相离.
22
?
?
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
附：若两圆相离，则
?
?
相减为圆心
O
1< br>O
2
的连线的中垂线方程.
22
?
x?y?Dx?Ey?F ?0
222
?
④若两圆为同心圆则
x
2
?y
2?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
，
x< br>2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
相减，不表示直线.


经典练习:
一、选择题
1、若直线
?x?y?a??
过圆
x
?
?y
???x??y??
的圆心,则a的值为
（A）
?
1 (B) 1 (C) 3 (D)
?
3

2、
若直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后与圆x
2
+y< br>2
=5相切，则c的值为( )
A.8或-2 B.6或-4
C.4或-6 D.2或-8

3、若直线
y?x?k< br>与曲线
x?1?y
2
恰有一个公共点，则
k
的取值范围是 ( )
（A）
k??2
（B）
22
?
2,??
?
?
?
??,?2
?
（C）
?
?








2,2
（D）
k??2
或(-1,1]
?
4 、已知圆
C:x?y?4x?0
，
l
过点
P(3,0)
的直 线，则（ ）


A．
l
与
C
相交
C．
l
与
C
相离
B．
l
与
C
相切
D．以上三个选项均有可能
5、设两圆
C
1
、
C
2
都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离
C
1
C
2
=
(A)4 (B)
42
(C)8 (D)
233

22
6、在圆
x?y ?2x?6y?0
内，过点
E(0,1)
的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四< br>边形ABCD的面积为
A．
52
B．
102
C．
152
D．
202

7、若曲线
C
1：x
2
?y
2
?2x?0
与曲线
C
2
：y(y?mx?m)?0
有四个不同的交点,则实数
m
的取值范围是 ( )
A.
(?
33
33
,)
B.
(?,0)?(0,)

33
33
33
33
,]
D.
(??,?)?(,??)

33
33
C.
[?
8、在抛物线
y?x
2
?ax?5(a?0)
上取横坐标为x
1
??4
，
x
2
?2
的两点，过这两点引一
条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆
5x
2
?5y
2
?36
相切，则抛物线顶点
的坐标为
（A）
(?2,?9)
（B）
(0,?5)
（C）
(2,?9)
（D）
(1,?6)

9、

二、填空题
1、若直线
x?2y?5?0
与直线
2x?my?6?0
互相垂直，则实数
m
= _____来
2、已知圆C经过
A(5,1),B(1,3)
两点，圆心在X轴上， 则C的方程为___________。
3、过点
(?1,2)
的直线
l< br>被圆
x?y?2x?2y?10?
截得的弦长
2
，则直线
l< br>的斜率为
__________。
4、若直线
l
过点
(3, 4)
，且
(1,2)
是它的一个法向量，则
l
的方程为 ．
2
5、如果实数x、y满足
?
x?2
?
?y?3
，那么
22
y
的最大值是 。
x
22
x?y?8x?15?0
，若直线
y?kx?2
< br>xOy
C
6、在平面直角坐标系中，圆的方程为
上至少存在一点，使得以该点为 圆心，1为半径的圆与圆
C
有公共点，则
k
的最大值是 7、定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C
1
：
y＝x
2
＋a到直线l：y＝x的距离等于C
2
：x
2
＋(y＋4)
2
＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a
＝______________．
三、解答题
1、过点P（-8，0），引圆C：
x
中点的轨迹方程。













2
?y
2
?2x?10y?4?0
的割线，求被此圆截得的弦的

2、如图,在平面直角坐标系
xOy
中, 点
A(0,3)
,直线
l:y?2x?4
,设圆
C
的半径为 1,圆心
在l上.
(1)若圆心
C
也在直线
y?x?1
上 ,过点
A
作圆
C
的切线,求切线的方程;
(2)若圆
C< br>上存在点
M
,使
MA?2MO
,求圆心
C
的横坐标< br>a
的取值范围.

y
A
O
l


x








2
3、在平面直角坐标系
xoy
中，曲线
y?x?6x?1
与坐标轴的交点都在圆
C
上
（Ⅰ）求圆
C
的方程；
（Ⅱ ）若圆
C
与直线
x?y?a?0
交于
A,B
两点，且
OA?OB
，求
a
的值.

直线和圆 参考答案
一、选择题
1、答案：B
2、
【正确解答】A

3、 数形结合的思想，
y?x?k

表示一组斜率为1的平行直线，
x?1?y
2

表示y轴的右半圆。如图可知，选（D）
4、【解析】点
P(3,0)
在圆 内，则
l
必与
C
相交，故选A
5、【答案】C
【解析 】由题意知圆心在直线y=x上并且在第一象限,设圆心坐标为
(a,a)(a?0)
,则a?(a?4)
2
?(a?1)
2
,即
a
2
? 10a?17?0
,所以由两点间的距离公式可求出
C
1
C
2
?2[(a
1
?a
2
)
2
?4a
1
a< br>2
]?2?100?4?17?233
.
6、答案：B
解析：圆的方程标准化方程为
(x?1)?(y?3)?10
，由圆的性质可知，最长弦长为

|AC|?210
，最短弦长BD以
E(0,1)
为中点，设 点F为其圆心，坐标为
(1,3)
故
|EF|?5
，
< br>?|BD|?210?(5)?25
，
?S
ABCD
?
222
1
|AC|?|BD|?102
。
2
7、答案：B 曲 线
x
2
?y
2
?2x?0
表示以
?
1,0
?
为圆心，以1为半径的圆，曲线
y
?
y?mx?m
??0
表示
y?0,或y?mx?m?0
过定点
?
?1,0
?
，
y?0
与圆有两个交点，故
8、答案：A
解析：由已知得 割线上两点的坐标为
(?4,11?4a)
，
(2,2a?1)
，
? k?
(11?4a)?(2a?1)

?4?2
?
12?6a
?a?2
，设切线的方程为
y?(a?2)x?b
，由点到直线的距离公式得： < br>?6
b
2
36
?
??
①；又设直线与抛物线的切点为
(x
0
,y
0
)
，则
y
?
?2x ?a

1?(a?2)
2
5
?2x
0
?a?a?2
，
?x
0
??1
，即切点坐标为
(?1,?a?4)
，且点在直线上，
??a?4?(a?2)?(?1)?b
，解得
b??6
，代入①式中有
a?4(a?0)

?y?x
2
?4x?5?(x ?2)
2
?9
，顶点坐标是
(?2,?9)
。

9、

二、填空题
1、答案1
22
2、答案：
(x?2)?y?10

3、答案：
1
或
17

7
4、【答案】
x?2y?11?0

【解析】由直线的点法式可得 ：
(x?3)?2(y?4)?0
，故方程为
x?2y?11?0
．
5、设直线l：
y?kx
，则
y
表示直线
l
的斜率，直线
l
与圆
x
?
x?2
?
?y
2
? 3
相切时，斜率为最大或最小，所以只要求圆心到直线
y
距离为半径即可。
6、【答案】
4
。
3
O
M
【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离
2
C
x
【解析】 ∵圆C的方程可化为：
?
x?4
?
?y
2
?1
，∴ 圆C的圆心为
(4,0)
，半径为1。
∵由题意，直线
y?kx?2
上至少存在一点
A(x
0
,kx
0
?2)
，以该点为圆心 ，1为半径的圆与
C
有公共点；
∴存在
x
0
?R
，使得
AC?1?1
成立，即
AC
min
?2
。
∵
AC
min
即为点
C
到直线
y?kx?2
的距 离
∴
k
的最大值是
4k?2
k
2
?1
，∴
4k?2
k
2
?1
?2
，解得
0?k?
4
。
3
4
。
3
7、【解析】C
2
：x
2
＋(y＋4)
2
＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l：y＝x的距离为：

d?
0? (?4)
2
?22
，故曲线C
2
到直线l：y＝x的距离为
d
?
?d?r?d?2?2
．
另一方面：曲线C
1
：y＝x
2
＋a，令
y
?< br>?2x?0
，得：
x?
1
，曲线C
1
：y＝x
2
＋a到直线l：
2
11
?(?a)
9
24
1 1
y＝x的距离的点为(，
?a
)，
d'?2??a?
．
24
4
2
【答案】

三、解答题
[思路分析] 方法一，
?
x?1
?
?
?
y?5
?
?22

22
9

4
∵CM⊥PM，∴弦AB的中点M的轨迹是以
P（-8，0）、C（1，-5）中点为圆心，|PC|
长为直径的圆。
7
??
5
?
53
?
?
x?
?
?
?
y?
?
?
（圆C的内部）
2
??
2
?
2
?
方法二，设M（x，y）为
AB
中点，过点P（-8，0） 的直线
22
y?k
?
x?8
?
，又设A（
x1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），
由方程组
x
2
?y
2
?2x?10y?4?0


y?k
?
x?8
?

可以得到
1?k
?
2
?
x?
?
16k22
?10k?2x?64k
2
?80k?4?0

?
据韦达定理可以得解。
方法三，
M
?
x, y
?
, CM?
?
x?1, y?5
?
, PM?
?
x?8, y
?
?CM?PM , ?CM?PM?0 ?
?
x-1??
x?8
?
?y
?
y?5
?
?0
化 简得
x?7x?y?5y?8?0
（圆C的内部）
22
< br>?
y?2x?4
2、
【答案】
解:(1)由
?
得圆心 C为(3,2),∵圆
C
的半径为
y?x?1
?
∴圆
C
的方程为:
(x?3)?(y?2)?1

显然切线的斜率一定存在,设所 求圆C的切线方程为
y?kx?3
,即
kx?y?3?0

22< /p>

∴
3k?2?3
3
?1
∴
3k?1?k
2
?1
∴
2k(4k?3)?0
∴
k?0
或者
k ??

4
k
2
?1
3
x?3
即
y?3
或者
3x?4y?12?0

4
∴所求圆C的切线方程为:
y?3
或者
y??
(2)解:∵圆
C
的圆心在在直线
l:y?2x?4
上,所以,设圆心C为(a,2a-4)
则圆
C
的方 程为:
(x?a)
2
?
?
y?(2a?4)
?
?1

2
又∵
MA?2MO
∴设
22
M为(x,y) 则
x
2
?(y?3)
2
?2x
2
?y
2< br>整理
得:
x?(y?1)?4
设为圆D
∴点M应该既在圆C上又在圆D上 即:圆C和圆D有交点
∴
2?1?a2
?
?
(2a?4)?(?1)
?
?2?1

2
由
5a
2
?8a?8?0
得
x?R

由
5a
2
?12a?0
得
0?x?
12

5
终上所述,
a
的取值范围为:
?
0,
?
12
?

?
?
5
?
2
3、【解析】（Ⅰ ）曲线
y?x?6x?1,
与
y
轴交于点
(0,1)
，与与
x
轴交于点
(3?22,0),(3?22,0)

2222
因而圆心坐标为
C(3,t),
则有
3?(t?1)?(22)?t,?t?1.
22
22
半径为
3?(t?1)?3
，所以圆方程是
(x?3)?(y?1)?9
.
?
x?y?a?0,
.
（Ⅱ） 设点
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
满足
?
22
(x?3)?(y?1)?9
?
2< br>解得：
2x?(2a?8)x?a?2a?1?0
.
???56?16a?4a ?0

22
x
1,2
(8?2a)?56?16a?4a
2
a
2
?2a?1
?
?x
1
?x
2
?4?a,x
1
?x
2
?

4
2
QOA? OB,?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0,y< br>1
?x
1
?a,y
2
?x
2
?a
.
?2x
1
x
2
?a(x
1
?x
2
)?a
2
?0,
解得
?a??1
，满足
V
?0，
?a??1