高中文科数学直线和圆部分知识整理

高中文科数学直线和圆部分知识整理

一．直线的倾斜角：
1．定 义：在平面直角坐标系中，对于一条与
x
轴相交的直线
l
，如果把
x
轴绕着交点
按逆时针方向转到和直线
l
重合时所转的最小正角记为
?
，那么
?
就叫做直线的倾斜角。
当直线
l
与
x轴重合或平行时，规定倾斜角为0；
2．倾斜角的范围
?
0,
?
?
。
?
2< br>?
【例题】过点
P(?3,1),Q(0,m)
的直线的倾斜角的范围
?
?[,],那么m
值的范围是
33
______ （答：
m??2或m?4
）


二．直线的斜率：
1． 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率
k
，即
k＝tan
?
(
?
≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；
y
1
?y
2
?
x
1
?x
2
?< br>；
k?
2．斜率公式：经过两点
P
、的直线的斜率为
(x, y)P(x,y)
111222
x
1
?x
2
y
【例 题】实数
x,y
满足
3x?2y?5?0
(
1?x?3
)，则的最大值、最小值分别为______
x
2
（答：
,?1
）
3
三．直线的方程： 1．点斜式：已知直线过点
(x
0
,y
0
)
斜率为k
，则直线方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
,它不包
括垂直于
x
轴的直线。
2．斜截式：已知直线在
y
轴上的截距为
b
和斜率
k
，则直线方程为
y?kx?b
, 它不包
括垂直于
x
轴的直线。
y?y
1
x?x
1
3．两点式：已知直线经过
P
、两点，则直线方程为，
(x,y)P(x,y )
?
111222
y
2
?y
1
x
2
?x
1
它不包括垂直于坐标轴的直线。
4．截距式：已知直线在
x
轴和
y
轴上的截距为
a,b
,则直线方程为
xy
??1< br>，它不包
ab
括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
5．一般式：任何直线均可写成
Ax?By?C?0
(A,B不同时为0)的形式。
?
【例题】（1）经过点（2，1）且方向向量为
v
=(－1,
3< br>)的直线的点斜式方程是___________
（答：
y?1??3(x?2)
）；
（2）直线
(m?2)x?( 2m?1)y?(3m?4)?0
，不管
m
怎样变化恒过点______
（答：
(?1,?2)
）；
（3）若曲线
y?a|x|
与
y?x?a(a?0)
有两个公共点，则
a
的取值范围是_______
（答：
a?1
）
四．设直线方程的一些常用技巧：
1．知直线纵截距
b
，常设其方程为
y?kx?b
；
2． 知直线横截距
x
0
，常设其方程为
x?my?x
0
(它不适 用于斜率为0的直线)；

3．知直线过点
(x
0
,y
0
)
，当斜率
k
存在时，常设其方程为
y?k(x?x
0
)?y
0
，当斜率
k
不存在时，则其方程为
x?x
0
；
4．与直线
l:Ax?By?C?0
平行的直线可表示为
Ax ?By?C
1
?0
；
5．与直线
l:Ax?By?C?0
垂直的直线可表示为
Bx?Ay?C
1
?0
.

五．点到直线的距离及两平行直线间的距离：
（1）点
P(x
0
, y
0
)
到直线
Ax?By?C?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
；
（2）两 平行线
l
1
:Ax?By?C
1
?0,l
2
:Ax ?By?C
2
?0
间的距离为
d?
C
1
?C
2
A?B
22
。

六．直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
与直线
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的位置 关系：
1．平行
?
A
1
B
2
?A
2B
1
?0
（斜率）且
B
1
C
2
?B< br>2
C
1
?0
（在
y
轴上截距）；
2．相交
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
；
3．重合
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
且
B
1
C
2
?B< br>2
C
1
?0
。
*直线
l
1
:A< br>1
x?B
1
y?C
1
?0
与直线
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
垂直?
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
。

【例题】（1）设直线
l
1
:x?my?6?0和
l
2
:(m?2)x?3y?2m?0
，当
m
＝__ _____时
l
1
∥
l
2
；
当
m
＝________时
l
1
?
l
2
；当
m
_________时
l
1
与
l
2
相交；当
m＝_________时
l
1
与
l
2
重合
1
（答：－1；；
m?3且m??1
；3）；
2
（2）已 知直线
l
的方程为
3x?4y?12?0
，则与
l
平行，且 过点（—1，3）的直线方
程是______ （答：
3x?4y?9?0
）；

（3）两条直线
ax?y?4? 0
与
x?y?2?0
相交于第一象限，则实数
a
的取值范围是
____ （答：
?1?a?2
）；

（4）直线
l
过点（１，０） ，且被两平行直线
3x?y?6?0
和
3x?y?3?0
所截得的线
段长为9，则直线
l
的方程是________ （答：
4x?3y?4?0和x?1
）

七．对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：如
（1）已知点
M(a,b)与点
N
关于
x
轴对称，点P与点N关于
y
轴对称，点Q 与点P
关于直线
x?y?0
对称，则点Q的坐标为_______（答：
(b ,a)
）

（2）点Ａ（４，５）关于直线
l
的对称点为Ｂ(－2 ,7)，则
l
的方程是_________
（答：
y=3x＋3
）；
（3）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直 线
l
:3x－4y+4=0反射。如果反射光
线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所 在直线的方程是_________
（答：
18x＋y?51?0
）；
十．圆的方程：
1．圆的标准方程：
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
2
。
22

2． 圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0(D
2< br>＋E
2
－4F?0)
，
特别提醒：只有当
D
2＋E
2
－4F?0
时，方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
才表示圆心为
DE1
(?,?)
，
D
2
?E
2
?4F
的圆。半径为二元二次方程
Ax
2
?Bxy?Cy
2
?Dx?Ey?F?0
222
表示圆的充要条件是
A?C?0,
且
B?0
且
D
2
?E
2
? 4AF?0
。

3．
A
?
x
1
,y1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
为 直径端点的圆方程
?
x?x
1
??
x?x
2
??
?
y?y
1
??
y?y
2
?
?0< br>
【例题】（1）圆C与圆
(x?1)
2
?y
2
?1
关于直线
y??x
对称，则圆C的方程为____________
（答：
x
2
?(y?1)
2
?1
）；
（ 2）圆心在直线
2x?y?3
上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________
（答：
(x?3)
2
?(y?3)
2
?9
或
(x?1)
2
?(y?1)
2
?1
）；
（3）方程x< br>2
+y
２
－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____
1
（答：
k?
）；
2
22
十一．点与圆的位置关 系：已知点
M
?
x
0
,y
0
?
及圆
C：
?
x-a
?
?
?
y?b
?
?r2
?
r?0
?
，
（1）点M在圆C外
?CM?r?< br>?
x
0
?a
?
?
?
y
0
? b
?
?r
2
；
（2）点M在圆C内
?
CM?r?
?
x
0
?a
?
?
?
y
0
?b
?
?r
2
；
（3）点M在圆C上
?CM?r?
?
x
0
?a
?
?
?
y
0
?b< br>?
?r
2
。

十二。直线与圆的位置关系：
直线
l:Ax?By?C?0
和圆
C：
?
x?a
?
?< br>?
y?b
?
?r
2
?
r?0
?
有相 交、相离、相切。可从
代数和几何两个方面来判断：
（1）代数方法（判断直线与圆方程联立 所得方程组的解的情况）：
??0?
相交；
??0?
相离；
??0?
相切；
（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d
，
则
d?r?
相交；
d?r?
相离；
d?r ?
相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用
几何方法较简捷。
【例题】（1）若 直线
ax?by?3?0
与圆
x
2
?y
2
?4x? 1?0
切于点
P(?1,2)
，则
ab
的值____
（答：2）；
（2）直线
x?2y?0
被曲线
x
2
?y
2
?6x?2y
?15?0
所截得的弦长等于
（答：
45
）；
（3）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C :(x-2)
2
+(y-3)
2
=1上的最短路程是
（答：4）；

十三．圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断） ：已知两圆的圆心分
别为
O
1
，O
2
，半径分别为
r
1
,r
2
，则
（1）当
|O
1
O2
??r
1
?r
2
时，两圆外离；
（2）当
|O
1
O
2
??r
1
?r
2
时，两圆外切 ；
（3）当
r
1
?r
2
<|O
1
O2
??r
1
?r
2
时，两圆相交；
（4）当
|O
1
O
2
???r
1
?r
2
|
时，两圆内切；
22
22
22
22

（5）当
0?|O
1
O
2
???r
1
?r
2
|< br>时，两圆内含。