高中数学必修二圆与方程经典例题

习题精选精讲圆标准方程
已知圆心
C(a,b)
和半径
r
，即得圆的标准方程
(x?a)
心
C(a,b)
和半径
r
，进而可解得与圆有关的任何问题.
一、求圆的方程
例1 (06重庆卷文) 以 点
(2,?1)
为圆心且与直线
3x?4y?5?
(A)
(x?2)
(C)
(x?2)
2
2
2
?(y?b)
2
?r
2
；已知圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2< br>?r
2
，即得圆
0
相切的圆的方程为( )
?(y?1)
2
?3
(B)
(x?2)
2
?(y?1)
2
?3

?(y?1)
2
?9
(D)
(x?2)
2
?(y?1)
2
?9

解 已知圆心为
(2,?1)
，且由题意知线心距等于圆半径，即
d
故选(C).
点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程
(x?a)
二、位置关系问题
例2 (06安徽卷文) 直线
x?
(A)
(0,
(C)
( ?
2
?
6?4?5
3
2
?4
2

?3?r
，∴所求的圆方程为
(x?2)
2
?(y?1)
2
?9
，
?(y?b)
2
?r
2
即得圆的方程.
y ?1
与圆
x
2
?y
2
?2ay?0
(a?0)没有公共点，则
a
的取值范围是( )
2?1)
(B)
(2?1,2?1)

2?1,2?1)
(D)
(0,2?1)

2
解 化为标准方程
x
∵直线< br>?(y?a)
2
?a
2
，即得圆心
C(0,a)
和半 径
r?a
.
x?y?1
与已知圆没有公共点，∴线心距
d?
a?1
2
?r?a
，平方去分母得
a
2
?2a?1?2a
2
，解得
?2?1?a?2?1
，注意到
a?0
，∴
0?a?2?1
，故选(A).
点评：一般通过比较线心距
d
与圆半径< br>r
的大小来处理直线与圆的位置关系：
d?r?
线圆相离；
d?r?< br>线圆相切；
d?r?
线
圆相交.
三、切线问题
例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆
x
(A)
2
?y
2
? 4x?2y?
5
?0
相切的直线方程为( )
2
11
x
(B)
y?3x
或
y??x

33
11
(C)
y??3x
或
y??x
(D)
y?3x
或
y?x

33
5
5
22
解 化为标准方程
(x?2)?(y?1) ?
,即得圆心
C(2,?1)
和半径
r?
.
2
2
2k?1
5
设过坐标原点的切线方程为
y?kx
，即
kx? y?0
，∴线心距
d?
，平方去分母得
(3k?1)(k?3)?0
，解得
?r?
2
2
k?1
11
k??3
或，∴所求 的切线方程为
y??3x
或
y?x
，故选(A).
33
点 评：一般通过线心距
d
与圆半径
r
相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点 的半径来处理切线问题.
y??3x
或
y?
四、弦长问题
y?3 ?0
与圆
(x?1)
2
?(y?2)
2
?4
相交于
A、B
两点，且弦
AB
的长为
23
，则
a?
.
22
解 由已知圆
(x?1)?(y?2)?4
，即得圆心
C(1,2)
和半径
r?2
.
例4 (06天津卷理) 设直线< br>ax?
a?1
2
AB
2
)?(3)
2
?2< br>2
，即
(a?1)
2
?a
2
?1
，解得a?0
.
)?r
2
，∴
(
2
a
2< br>?1a
2
?1
AB
22
)?r
2
. 点评： 一般在线心距
d
、弦长
AB
的一半和圆半径
r
所组成的直角 三角形中处理弦长问题：
d?(
2
∵线心距
d?
a?1
，且
d
2
?(
五、夹角问题
例5 (06全国卷一文) 从圆
x
2
?2x?y
2
?2y?1?0
外一点
P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )

3
13
(B) (C) (D) 0
2
25
22
解 已知圆化为
(x?1)?(y?1)?1，即得圆心
C(1,1)
和半径
r?1
.
(A)
设由
P(3,2)
向这个圆作的两条切线的夹角为
?
，则在切线长、半径
r
和
PC
构成的直角三角形中，
cos
?
2
?2
5
，∴
cos
?
?2cos
2
?
2
?1?
3
，故选(B).
5
点评：处理两切线夹角
?问题的方法是：先在切线长、半径
r
和
夹角
?
问题.
六、圆心角问题
PC
所构成的直角三角形中求得
?
的三角函数值， 再用二倍角公式解决
2
2)
的直线
l
将圆
(x?2)
2
?y
2
?4
分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线
l< br>的斜率
k?
.
22
解 由已知圆
(x?2)?y ?4
，即得圆心
C(2,0)
和半径
r?2
.
例6 (06全国卷二) 过点
(1,
设
P(1,2)
，则
k
PC
??2
；∵
PC?
直线
l
时弦最短，从而劣弧所对的圆心角 最小，∴直线
l
的斜率
k??
1
k
PC
?
2
2
.
点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题：在同圆中， 若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长
最短则所对的圆心角也最小.
七、最值问题
例7 (06湖南卷文) 圆
x
2
?y
2< br>?4x?4y?10?0
上的点到直线
x?y?14

?0
的最大距离与最小距离的差是( )
(A) 30 (B) 18 (C)
62
(D)
52

22
解 已知圆化为
(x?2)?(y?2)?18
，即得圆心
C (2,2)
和半径
r?32
.
设线心距为
d
，则圆上的点到直线
x?
选(C).
点评： 圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距
d
与圆半径
r
的关系解决 ：圆上的点到该直线的最大距离为
d
为
d
y?14?0
的最大距离为
d?r
，最小距离为
d?r
，∴
(d?r)?(d?r)?2r?6 2
，故
?r
，最小距离
?r
.
八、综合问题
例8 (06湖南卷理) 若圆
x
2
?y
2
?4x?4y? 10?0
上至少有三个不同的点到直线
l:ax?by?0
的距离为
22，则直线
l
的倾斜
角的取值范围是( )
?
5
?
???
,]
(B)
[,]
(C)
[,]
(D)
[0,]

1241212632
22
解 已知圆化为
(x?2)?(y?2)?18
，即得圆心
C(2,2)
和半径
r?32
.
(A)
[
??
a
2
?b
2
a
?
5
?< br>2
由直线
l
的斜率
k??
代入得
k?4k?1?0< br>，解得
2?3?k?2?3
，又
tan?2?3
，
tan?2 ?3
，∴直线
l
的
b1212
?
5
?
,]
，故选(B). 倾斜角的取值范围是
[
1212
点评：处理与圆有关的任何 问题总是先通过圆的标准方程，进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决.

圆的方程
1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.
(1) 圆的标准方程：(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
，其中(a，b)是圆心坐标，r是圆的半径；
(2)
∵圆上至少有三个不同的 点到直线
l:ax?by?0
的距离为
22
，∴
d?
2a? 2b
?r?22?2
，即
a
2
?4ab?b
2
?0
，
DE
,?
圆的一般方程：x
2
＋y
2
＋ Dx＋Ey＋F＝0 (D
2
＋E
2
－4F＞0)，圆心坐标为(
?
22
)，半径为r＝
D
2
?E
2
?4F
2

2. 直线与圆的位置关系的判定方法.
(1) 法一：直线：Ax＋By＋C＝0；圆：x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0.

?
??0?相交
?
Ax?By?C?0
?
判 别式
????
一元二次方程
消元
?
??0?相切

?
22
?
x?y?Dx?Ey?F?0
?
??0?相离
?< br>(2) 法二：直线：Ax＋By＋C＝0；圆：(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
，圆心(a，b)到直线的距离为d＝
Aa?Bb?C
A2
?B
2
?
d?r?相交
?
?
?
d? r?相切
.
?
d?r?相离
?
3. 两圆的位置关系的判定方法.
设两圆圆心分别为O
1
、 O
2
，半径分别为r
1
、 r
2
， ｜O
1
O
2
｜为圆心距，则两圆位置关系如下：
｜O
1< br>O
2
｜＞r
1
＋r
2
?
两圆外离；
｜O
1
O
2
｜＝r
1
＋r
2
?
两圆外切；
｜r
1
－r
2
｜＜｜O
1
O
2
｜＜r
1
＋r
2
?
两圆相交；
｜O
1
O
2
｜＝｜r
1
－r
2
｜
?
两圆 内切；
０＜｜O
1
O
2
｜＜｜r
1
－r
2
｜
?
两圆内含.
●点击双基
1.方程x
2
+ y
2
－2（t+3）x+2（1－4t
2
）y+16t
4
+ 9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是
111
B.－1727
1
解析：由D
2
+E
2
－4F>0，得7t
2
－6t－1<0，即－7
A.－12.点P（5a+1，12a）在圆（x－1）
2
+y
2
=1的内部，则a的取值范围是
A.｜a｜＜1 B.a＜
111
C.｜a｜＜ D.｜a｜＜
13513
｜a｜＜解 析：点P在圆（x－1）
2
+y
2
=1内部
?
（5a+1－ 1）
2
+（12a）
2
＜1
?

1
.答案：D
13
3.已知圆的方程为（x－a）
2
+（ y－b）
2
=r
2
（r>0），下列结论错误的是
222
A.当a+b=r时，圆必过原点B.当a=r时，圆与y轴相切
C.当b=r时，圆与x轴相切D.当b解析：已知圆的圆心坐标为（ a，b），半径为r，当b故D是错误的.故选D.答案：D
●典例剖析
【例2】 一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2
7
，求此圆的方 程.
剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.
解：因圆与y轴相切 ，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为（x－3b）
2
+（y－b）
2
=9b
2
.
又因为直线y=x截圆得弦长为2
7
，则有（
|3b?b|
2
）
2
+（
7
）
2
=9b
2
，解得b=±1.故所求圆方程为
（x－3）
2
+（y－1）< br>2
=9或（x+3）
2
+（y+1）
2
=9.
夯实基础
1.方程x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0（D
2
＋E
2
－4F＞0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则
A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=0
解析：曲线关于x+y=0成轴对称图形，即圆心在x+y=0上.答案：A
2.（20XX年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直 线共有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.答案：B
3.（20XX年黄冈市调研题）圆x
2
+y
2
+x－6y+3=0上两点 P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________.
解析：圆心（－
1
，3）在直线上，代入kx－y+4=0，得k=2.答案：2
2
|?10|
=2.再由d－r=2－1=1，知最小距离为1.答案：1
5
4.（20XX年全国卷Ⅲ，16）设P为圆x
2
+y
2
=1上的 动点，则点P到直线3x－4y－10=0的 距离的最小值为____________.
解析：圆 心（0，0）到直线3x－4y－10=0的距离d=
5.（20XX年启东市调研题）设O为坐标原点 ，曲线x
2
+y
2
+2x－6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+ my+4=0对称，又满足
OP
·
OQ
=0.
（1）求m的值；（2 ）求直线PQ的方程.
解：（1）曲线方程为（x+1）
2
+（y－3）
2
=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.

∵点P、Q在圆上且关于直线 x+my+4=0对称，∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m=－1.
（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，
∴设P（x
1
，y
1< br>）、Q（x
2
，y
2
），PQ方程为y=－x+b.将直线y=－x+ b代入圆方程，得2x
2
+2（4－b）x+b
2
－6b+1=0.
Δ
=4（4－b）
2
－4×2×（b
2
－6b+1）>0，得b
2
?6b?1
2－3
2
2
.由 韦达定理得x
1
+x
2
=－（4－b），x
1
·x
2
=.
2
2
b?6b?1
y
1
·y
2< br>=b
2
－b（x
1
+x
2
）+x
1
·x
2
=+4b.∵
OP
·
OQ
=0，∴x
1x
2
+y
1
y
2
=0，即b
2
－6b +1+4b=0.
2
解得b=1∈（2－3
2
，2+3
2
）.∴所求的直线方程为y=－x+1.
培养能力
7.已知实数x、y满足方程x
2
+y
2
－4x+1=0.求（1）
（3）x
2
+y
2
的最大值和最小值.
解：（1）如图，方程x
2
+y
2
－4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以
y
P
O
C
(2,0)
x
y
的最大值和最小值；（2）y－x的最小值；
x
3
为半径的圆.
设
|2k?0|
y
=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为 半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由=
3
，
2
x
k?1

解得k
2
=3.所以k
ma x
=
3
，k
min
=－
3
.
（2）设y －x=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公 式，得
即b=－2±
|2?0?b|
2
=
3
，
6< br>，故（y－x）
min
=－2－
6
.
（3）x
2< br>+y
2
是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则 （x
2
+y
2
）
max
=｜OC′｜=2+
3，（x
2
+y
2
）
min
=｜
OB｜=2－< br>3
.
8.（文）求过两点A（1，4）、B（3，2），且圆心在直线y=0上的圆的 标准方程.并判断点M
1
（2，3），M
2
（2，4）与圆的位置关系.
解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.
因为圆过A、B两点，所以圆心 在线段AB的垂直平分线上.由k
AB
=
4?2
=－1，AB的中点为（2， 3），
1?3
故AB的垂直平分线的方程为y－3=x－2，即x－y+1=0.又圆心在直 线y=0上，因此圆心坐标是方程组
x－y+1=0，
y=0
的解，即圆心坐标为（－1，0）.
半径r=
(?1?1)
2
?( 0?4)
2
=
20
，所以得所求圆的标准方程为（x+1）
2
+y
2
=20.
(2?1)
2
?(3?0)
2
=
18
，|M
1
C|1
在圆C内；而点M2
到圆心C的距离因为M
1
到圆心C（－1，0）的距离为
|M
2
C|=


“求经过两圆
x
2
(2?1)2
?(4?0)
2
=
25
>
20
，所以M2
在圆C外.
?y
2
?6x?4?0
和
x
2
?y
2
?6y?28?0
的交点，并且圆心在直线
x?y?4?0< br>上的圆的方程。”同学们普遍使用下
面两种方法求解：
方法—：先求出两已知圆交点
r，于是可得所求圆方程。
方法二：先求出两已知圆交点
入
x?
程。
但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解，可以更加方便。

经过两已知圆的交点的圆系
设圆C
1
与C
2
的方程为： C
1
:
A
1
?
?1,3
?
,A
2
?
?6,?2
?
，再设圆心坐标为
B(b?4,b)
，根 据
A
1
B?A
2
B?r
，可求出圆心坐标及半径
E
A
1
?
?1,3
?
,A
2
?
?6 ,?2
?
，再设所求圆的方程为：
x
2
?y
2
?D x?Ey?F?0
,其圆心为
?
?
D
2
,?
2?
，代
y?4?0
，再将A
1
,A
2
两点坐标 代入所设圆的方程，可得三个关于D,E,F的三元一次方程组，求出D,E,F的值，这样便可得所求圆的方< br>x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0

C
2
:
x
2
?y
2
?D
2
x? E
2
y?F
2
?0
.
并且两圆相交于两点。引进一个参数
?
，并令：
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
+
?
（
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2< br>y?F
2
）=0 ——① 其中
?
?
-1。
引进两个参数
?
1
和
?
2
，并令：
?< br>1
（
x
2
?y
2
?D
1
x?E1
y?F
1
）+
?
2
（
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
）=0 ——② 其中
?
1
+
?
2
?
0
不论参数 取何值，方程①与②中的x
2
项和y
2
项的系数相等，方程没有xy项，而且 两已知圆的两个交点的坐标适合方程①与②，所以①与
②都是经过两已知圆的交点的圆系，但是①与②稍 有不同：
⑴ 当
?
=0时，方程①的曲线就是圆C
1
;不论
?
为何值，方程①的曲线都不会是圆C
2
。所以方程①表示经过两已知圆的交点的一 切圆，包
括圆C
1
在内，但不包括圆C
2
。
⑵ 当
?
1
=0时，方程②的曲线就是圆C
2
；当
?
2
=0时，方程②的曲线就是圆
C
1
。所以方程②表示经过两已知圆的交点的一切圆， 包括圆C
1
和圆C
2
在内。

下面应用圆系来解本文前面的问题：

设经过已知两圆的交点的圆的方程为：

x
2
?y
2
?6x?4?
?
(x
2
?y
2
?6y?28)?0
. （
??
-1）则其圆心坐标为
(?
33
?
,?)

1?
?
1?
?
33
?
+－4=0， 解得
?
=-7
1?
?
1?
?
222222
∴ 所求圆的方程为：
x?y?6x?4
－7
(x?y?6y?28)?0
即：
x?y?x?7y? 32?0

∵ 所求圆的圆心在直线
x?y?4?0
上∴
?
下面再举两例说明圆系的应用
例1． 求经过两已知圆：
x

2
?y
2
?4x?6?0
和
x
2
?y2
?4y?6?0
的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。
解： 设经过两已知圆交点的圆系的方程为：
x
2
?y
2
?4x?6?< br>?
(x
2
?y
2
?4y?6)?0
（
?
?
-1）
221
其圆心的横坐标为：
x?
，令 =3 得
?
??

1?
?
1?
?
3
1
2
22
222
∴ 所求圆的方程为：
x?y?4x?6?(x?y?4y?6)?0
即
x?y?6x?2y?6?0

3
例2． 设圆方程为：

(
?
?4)x
2
?(
?
?4)y
2
?(2
?
?4)x?(12
?
?40)y?48
?
?16 4?0
其中
?
?
－4
4(x
2
?y
2
?x?10y?41)?
?
(x
2
?y
2
?2x ?12y?48)?0

求证： 不论
?
为何值，所给圆必经过两个定点。
证明： 把所给方程写为：
这是经过以下两个圆的交点的圆系的方程：

x
2
?y
2
?x?10y?41?0
所以，不论
?
为何值，所给圆必经过这两个圆的两个交点
22
x?y?2x?12y?48?0
2
直线与圆的位置关系
二、例题选析
例1：求由下列条件所决定圆
x
(1)经过点
P(< br>?y
2
?4
的圆的切线方程；
3,1)
，(2)经过点
Q(3,0)
，(3)斜率为
?1

(3)
2
?1
2
?4
∴点
P(3,1)
在圆上，故所求切线方程为
3x?y?4
。 解：(1)
?
(2)
?3
2
?0
2
?4
∴点
Q
在圆外。
设切线方程为
y?k(x?3)
即
kx?y?3k?0

?
直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，∴
∴所求切线方程为
?3k
1 ?k
2
?2
，∴
k??
2
5

5
2
5(x?3)
。
5
22
(3)设圆的切线方 程为
y??x?b
，代入圆的方程。整理得，
2x?2bx?b?4?0
，∵ 直线与圆相切
y??

∴
??(?2b)
2
?4? 2(b
2
?4)?0
，解得
b??22
。
y?22?0
。
2
∴所求切线方程为
x?
小结：利用圆心 到切线的距离等于半径是解决圆的切线问题的常用方法。判别式法求切线方程适用圆锥曲线，当然对于圆也适用。
例2：已知点
P(x
0
,y
0
)
在圆
x? y
2
?Dx?Ey?F?0
的外部，过
P
作圆的切线，切点为
M
，求证
PM?x
2
y
2
0
?
0
?Dx
0
?Ey
0
?F
。
证明：如图7-53-1，圆 心
C(?
D
2
,?
E
2
)
，

半径
CM?
1
2
D
2
?E
2
?4 F
，
CP?(x
D
2
E
2
0
?
2
)?(y
0
?
2
)

由勾股定理得
PM?CP
2
?CM
2

(xD
2
?
2
E
2
D?E
2
?4F
0
?
2
)?(y
0
?
2
)?
4

?x
2
?y
2
00
?Dx
0
?Ey
0
?F

y
N
C
M
P
O
x图7-53-1

小结：(1)此题的证明，给出了切线长公式，即将圆外一点的坐标 代入
圆的一般方程左端，再取算术平方根即为切线长。
(2)以
CP
为直径 的圆与圆
C
相交于
M
、
N
两点，则
M
、< br>N
为
2
切点。若圆
C
的方程为
x
程为
x
0
x?
?y
2
?r
2
，则两切点连线所在的直 线方
2
y
0
y?r
2
。
例3：从圆外一点
P(a,b)
向圆
x
于
?y
2
?r
2
引 割线，交该圆
A
、
B
两点，求弦
解：如图7-53-2，设
AB
的中点
M(x,y)

连接
OM
，
OM
∵
OM
?(x,y)
，
PM? (x?a,y?b)
，
?PM
，∴
OM?PM?0
，
即
(x,y)(x?a,y?b)?0

∴
x(x?a)?y(y?b)?0

∴
x



Py
2
?y
2
?ax?by?0
，
(? r?x?r)

A
O
M
x
B
图7-53-2
AB
的中点轨迹方程。






小结：此题用向量法求得轨迹方程，显得简明快捷。读者可用一般方
法求轨迹方程，即设出割线方程，和 圆联立方程组，由韦达定理建立
中点坐标的参数方程，继而求得普通方程。还可用两直线垂直的充要条件，但必须讨论斜率存在与不存在两种情况。都比向量法要麻烦。
备选例题：
?(y ?1)
2
?1
上任意一点
P(x,y)
，不
等式
x ?y?m?0
恒成立，求实数
m
的取值范围
例4：已知对于圆
x*
2

解一：作直线
l
：
y??x
，
如图：7-53-3
向下平移与圆相切和相离时有
x?y?m?0
恒成立，
由点到直线的距离公式
?
1?m
?1
?
?m?2?1
。 得
?
2
?
m?0
?
轴对称
轴对称是解析几何的一 个重要内容，利用它不仅可以解决点、线、曲线等关于直线的对称问题，而且还可以解决诸如最值、光线反射、< br>角平分线等问题，并且常得到意想不到的效果。本文将以数例来谈谈它的应用。
例1、已知点A (4,1)，B(0,4)，在直线L：y=3x-1上找一点P，求使|PA|-|PB|最大时P的坐标。
分析：本题的常规方法是：（1）设点（2）列出相应的函数关系式（3）求解。
但本题若这样做，则就会走入死胡同。若巧妙利用轴对称的知识则可以轻松解决。
解：如图， 设点C(x,y)是点B关于直线L的对称点，则由
∴直线BC的方程为：
y
P
C
A
(4,1)
k
l
?3
，得：
k
BC
??
立，解得：D
?
1
，
3
1
y??x ?4
，将其与直线y=3x-1联
B
(0,4)
3
?
37< br>?
,
?
,其中D为BC
?
22
?
中点，利用 中点坐标公式，得C（3,3）。
显然：|PA|-|PB|＝|PA|-|PC|≤|AC|,当且 仅当A、C、P三点
直线AC方程为：
2x?y?9?0
，与L方程联立解得P的坐< br>例2、光线由点C（3，3）出发射到直线L：y=3x-1上，已知
求反射光线方程。
解：设点B是点C关于L的对称点，则由光线反射的知
所求的反射光线的方程即为直线AB所在的直线 方程。
由例1知点C关于L的对称点为B（0,4），
故直线AB的方程易求得为：
o
P
'
x

共线时，|PA|-|PB|最大。可求得：
标为（2,5）。
其被直线L反射后经 过点A(4,1)，
y
(0,4)
B
识易知：点B在反射光线上，故
3
y??x?4
。它即为反射光线
4
方程。
例3、已知ΔABC的 顶点A的坐标为(1,4)，∠B、∠C的平分线
P
o
x?y?1?0
，求B C所在的直线方程。
C
A
(4,1)
的分别方程为
x?2y?0< br>和
分析：本题的常规思路是利用L1到L2的角的有关知识解决问题，但较繁，若能注意到角平分
线的有关性质，则可简捷求解。

解：设∠B、∠C的平分线分别为L
1< br>、L
2
,则由角平分线的知识可知：AB与CB关于L
1
对称，AC与
BC关于L2对称，故点A关于L
1
、L
2
的对称点A1、A2都应 该在直线BC上，故BC所在的直线方程即为A
1
A
2
所在的直线方程。 < br>x
198
A
1
(,?),A
2
(?3,0)
（过程略）
55
于是BC方程可求得为：
4x?17y?12?0

利用对称性可求得：

直线和圆
1．自点（－3，3）发出的光线L射到x 轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆
x
2
?y
2
?4x?4y ?7?0
相切，求光线L所在直
线方程．
2222
解：已知圆的标准方程是 (x－2)＋(y－2)＝1，它关于x轴的对称圆的方程是(x－2)＋(y＋2)＝1。
设光线L所在直线方程是：y－3＝k(x＋3)。
由题设知对称圆的圆心C′（2，－2 ）到这条直线的距离等于1，即
d
整理得
12k
2
?
|5k ?5|
1?k
2
?1
．
3434
?25k?12?0,
解得
k??或k??
．故所求的 直线方程是
y?3??(x?3)
，或
y?3??(x?3)
，
4343
即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0．



2．已知圆C：
x
2
?y
2
?2x?4y?4?0
，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出
直线L的方程 ，若不存在说明理由．（14分）
．解：圆C化成标准方程为:
(x?1)
2
?(y?2)
2
?3
2
假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）
由于CM⊥L，∴k
CM
?k
L
=－1 ∴k
CM
=
b?2
??1
，即a+b+1=0，得b= －a－1 ①
a?1

直线L的方程为y－b=x－－，即x－y+b－a=0 ∴ CM=
b?a?3
∵以AB为直径的圆M过原点，∴
MA?MB?OM

2
MB?CB?CM
222
?9?
(b?a?3)
，
2
OM?a
2
?b
2

2
2
(b?a?3)
2
∴
9??a
2
?b
2
② 把①代入②得
2a2
?a?3?0
，∴
a?
3
或a??1

2< br>2
当
a?
3
,时b??
5
此时直线L的方程为：x－ y－4=0；当
a??1,时b?0
此时直线L的方程为：x－y+1=0
22
故这样的直线L是存在的，方程为x－y－4=0 或x－y+1=0．
?y
2
?20
截得长为
62
的弦所在的直线方程．
解：设弦所在的直线方程为
y?4?k(x?6)
，即
kx?y?6k?4?0①
3．（12分）求过点P（6，－4）且被圆
x
则圆心（0，0）到此直线的 距离为
d?
|6k?4|
．
2
1?k
2
y
因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成Rt△， < br>所以
(
|6k?4|
1?k
2
)
2
?(32 )
2
?20
．
O
x
由此解得
k??
7
或
k??1
．
17

y?2?0
．
22
4．（12分）已知圆C:?
x?1
?
?
?
y?2
?
?25
及直 线
l:
?
2m?1
?
x?
?
m?1
?y?7m?4
.
?
m?R
?

（1）证明:不论
m
取什么实数,直线
l
与圆C恒相交；
（2）求直线
l
与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线
l
的方程． ．解:(1)直线方程
l:
?
2m?1
?
x?
?
m?1
?
y?7m?4
,可以改写为
m
?
2x?y?7< br>?
?x?y?4?0
,所以直线必经过直线
代入①得切线方程
?
7
x?y?6?(?
7
)?4?0
或
1717
?x?y ?6?(?1)?4?0
，即
7x?17y?26?0
或
x?
P
?
2x?y?7?0,
?
x?3,
解得
?
即 两直线的交点为A
(3,1)
又因为点
A
?
3,1
?与圆心
C
?
1,2
?
的
2x?y?7?0和x?y?4 ?0
的交点.由方程组
?
x?y?4?0y?1
??
距离
d ?5?5
,所以该点在
C
内,故不论
m
取什么实数,直线
l
与圆C恒相交.
(2)连接
AC
,过
A
作
AC< br>的垂线,此时的直线与圆
C
相交于
B
、
D
.
BD
为直线被圆所截得的最短弦长.此
时,
AC?5,BC?5,所以BD?225? 5?45
.即最短弦长为
45
.
1
,所以直线
BD
的斜率为2.此时直线方程为:
y?1?2
?
x?3
?
,即2x? y?5?0.

2
5（12分）已知圆x
2
+y
2
+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值 ．
又直线
AC
的斜率
k
AC
??
?
y< br>1
?y
2
?4
?
x
2
?y
2
?x?6y?m?0
?
2
解：由
?
?5y?20y?12?m?0

?
?
12?m

y
1
y
2
?
?
x?2y?3?0
?
5
?
又OP⊥OQ， ∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=0,而x
1
x
2
=9－6(y
1
+y
2
)+4y
1
y
2
=
4m?27

y
5
4m?2712?m
∴
??0
解得m=3.
55



22
P
Q
O
x
6.已知圆C：(x+4)+y=4和点A(-2
3
，0)，圆D的圆心在y轴上移动，且恒 与圆C外切，设圆D与y 轴交于点M、N. ∠MAN是否为定
值？若为定值，求出∠MAN的弧度数；若不为定值，说明理由.
【解】设 圆D的方程为
x
2
?(y?b)
2
?r
2
(r?0 ),
那么
M(0,b?r),N(0,b?r).

因为圆D与圆C外切, 所以
2?r
又直线
MA,NA
的斜率分别为
?16?b
2
?b
2
?r
2
?4r?12.

b?rb?r
k
MA
?,k
MB
?.

2323
b?r

?tan?MAN?
43r43r
?< br>2323
???3??MAN?.
为定值
b?rb?r
12?b2
?r
2
4r3
1?
2323
?
b?r

7．（14分）已知圆
x
半径长．
解：将
x
2< br>?y
2
?x?6y?m?0
和直线
x?2y?3?0
交于P、 Q两点，且OP⊥OQ （O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及
?3?2y
代入方程
x
2
?y
2
?x?6y?m?0
，得
5y
2
?20y?12?m?0
．
m?12
设P
?
x
1
,y
1
?
，Q
?
x
2
,y
2
?
，则
y
1
,y
2
满足条件：
y
1
?y
2
?4,
．
y
1
y
2
?
5
∵ OP⊥OQ, ∴
x< br>1
x
2
?y
1
y
2
?0,
而
x
1
?3?2y
1
，
x
2
?3?2y
2
，∴
x
1
x
2
?9?6
?
y
1< br>?y
2
?
?4y
1
y
2
．
1
5
，3），半径
r?
．
2
2
2222
8．（14分）求圆心在直线
x?y?0
上，且过两圆
x?y?2x?10y ?24?0
，
x?y
?2x?2y?8?0
交点的圆的方程．
∴
m?3
，此时Δ
?0
，圆心坐标为（－
解法一：（利用圆心到两交点 的距离相等求圆心）将两圆的方程联立得方程组



?
x
2
?y
2
?2x?10y?24?0
?
22
?
x ?y?2x?2y?8?0
，
解这个方程组求得两圆的交点坐标A（－4，0），B（0，2）．
因所求圆心在直线
x?y?0
上，故设所求圆心坐标为
(x,?x)
，则它到上面的两上交点
x
2
?(2?x)
2
，
2
（－4，0）和（0 ，2）的距离相等，故有
(?4?x)
2
?(0?x)
2
?





即
4x??12
，∴
x??3< br>，
又
r?
2
．
y??x?3
，从而圆心坐标是（－ 3，3）
(?4?3)
2
?3
2
?10
， 故所求圆的方程为
(x?3)?(y?3)?10
．
解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程）
同解法一求得两交点坐标A（－4，0） ，B（0，2），弦AB的中垂线为
2x?y?3?0
，
y?0
交点（－3，3）就是圆心，又半径
r?10
，
22
故所求圆的方程为
(x?3)?(y?3)?10
．
它与直线
x?
设所求圆的方程为
(x?a)
2
解法三：（用待定系数法求圆的 方程）
同解法一求得两交点坐标为A（－4，0），B（0，2）．

?(y? b)
2
?r
2
，因两点在此圆上，且圆心在
x?y?0
上， 所以得方

?
a??3
?
(?4?a)
2
?b< br>2
?r
2
?
程组
?
a
2
?(3? b)
2
?r
2
，解之得
?
b?3
，
?< br>?
a?b?0
?
?
?
r?10
故所求圆的方程为(x?3)
2




?(y?3)
2
?10
．
解法四：（用“圆系”方法求圆的方程．过后想想为什么？）
设所求圆的方程为
x< br>2
?y
2
?2x?10y?24?
?
(x
2
?y
2
?2x?2y?8)?0
2(1?
?
)2(5?
?< br>)8(3?
?
)
x?y??0
．
1?
?
1 ?
?
1?
?
1?
?
5?
?
因圆心在直线< br>x?y?0
上，所以
??0
，解得
?
??2
．
1?
?
1?
?
即
x
2
?y
2
?
(
?
??1)
，
1?
?
5?
?
可知圆心坐标为
(,?)
．
1?
?
1?
?
将
?
??2
代入所设方程并化简， 求圆的
方程
x
2
?y
2
?6x?6y?8?0

9．(12分) 已知一个圆截y轴所得的弦为2，被x轴分成的两段弧长的比为3∶１．（1）设圆心 为（a，b），求实数a，b满足的关系式；（2）
当圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时，求圆 的方程．
r
⑴设圆心P（a，b），半径为r，则 |b|＝，2b
2
＝r
2
．又|a|
2
＋1＝r
2
，所以a
2
＋ 1＝r
2
，所以2b
2
＝a
2
＋1；
2
|a－2b|
(2)点P到直线x－2y＝0的距离d＝ ，5d
2
＝a
2
－4ab＋4b
2
≥a
2
＋4b
2
－2（a
2
＋b
2
）＝2b
2
－a
2
＝ 1．
5
?
a＝b，
?
a＝1，
?
a＝－1，
所以
?
22
所以
?
或
?

?
2b＝a＋1，
?
b＝1，
?
b＝－1．
所以（x－1）
2
＋（y－1）
2
＝2或（x＋1）
2
＋（ y＋1）
2
＝2．

10 已知圆C与圆
x

设圆C的圆心为
(a,b)
，
2
?y
2
?2x?0
相外切，并且与直线
x?3y?0
相切于点
Q(3,?3)
，求圆C的方程

?
b?3
?3
?
?
a?3
a?4< br>或
?
a?0
则
?
?
?
??
b??4 3
?r?2或r?6

b?0
a?3b
?
?
?(a?1)
2
?b
2
?1?
?
2
?
2 222
所以圆C的方程为
(x?4)?y?4或x?(y?43)?36

1 1.（1997全国文，25）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶ 1；③圆心到直线l：x－2y=0的距
离为
5
，求该圆的方程.
5
.解：设圆的方程为（x－a）
2
+（y－b）
2
=r
2
.令x=0，得y
2
－2by+b
2
+a
2
－r
2
=0.
|y
1
－y
2
|=
|x
1
－x
2
|=
(y
1
?y
2
)
2
?4y
1
y
2
?2r
2
?a
2
=2，得r
2
=a
2
+1 ①令y=0，得x
2
－2ax+a
2
+b
2
－r
2
=0，
②由①、②，得2b
2
－a
2
=1
(x
1
?x< br>2
)
2
?4x
1
x
2
?2r
2?b
2
?2r
，得r
2
=2b
2

|a?2b|5
5
，得d=，即a－2b=±1.
?
5
5
5
?
2b
2
?a
2
?1,
?
2b
2
?a
2
?1
?
a??1
?
a?1
综上可得
?
或
?
解得
?
或
?
于是r2
=2b
2
=2.
?
b??1
?
b?1?
a?2b?1;
?
a?2b??1
又因为P（a，b）到直线x－2y =0的距离为
所求圆的方程为（x+1）
2
+（y+1）
2
=2或（ x－1）
2
+（y－1）
2
=2.

12.（1997全 国理，25）设圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足 条件（1）、（2）的所
有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.


.解：设所求圆的圆心为P（a，b），半径为r，则P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.
由题设圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，圆P截x轴所得弦长为
又圆P截y轴所得弦长 为2，所以有r
2
＝a
2
＋1，从而有2b
2
－a
2
＝1
又点P（a，b）到直线x－2y=0距离为d＝
2
r，故r
2
＝2b
2
，
|a?2b|
，
5
所以5d< br>2
＝|a－2b|
2
＝a
2
＋4b
2
－4a b≥a
2
＋4b
2
－2（a
2
＋b
2
）＝ 2b
2
－a
2
＝1
当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d
2
＝1，从而d取得最小值，
?
a?b
?
a?1
?
a??1
由此有
?
解方程得
?
或
?
由于r
2
＝2b
2
，知r＝
2
，
22
?
b?1
?
b??1
?
2b?a?1
于是所求圆的方程为（x －1）
2
＋（y－1）
2
＝2或（x＋1）
2
＋（y＋1）
2
＝2
13.（2002北京文，16）圆x
2
＋y
2< br>－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为 ．
.答案：2
解析：圆心到直线的距离d＝
|3?4?8|
＝3∴动点Q到直 线距离的最小值为d－r＝3－1＝2
5
经过两已知圆的交点的圆系及应用
2
在高中数学第二册（上）第82页有这样一道题：“求经过两圆
x
和
x
2?y
2
?6x?4?0
?y
2
?6y?28?0
的交点 ，并且圆心在直线
x?y?4?0
上的圆的方程。”同学们普遍使用下面两种方法求解： 方法—：先求出两已知圆交点
A
1
?
?1,3
?
,A< br>2
?
?6,?2
?
，再设圆心坐标为
B(b?4,b)
，根据
A
1
B?A
2
B?r
，可求出圆心坐标及
E
A
1
?
?1,3
?
,A
2
?
? 6,?2
?
，再设所求圆的方程为：
x
2
?y
2
? Dx?Ey?F?0
,其圆心为
?
?
D
2
,?
2< br>?
，
半径r，于是可得所求圆方程。
方法二：先求出两已知圆交点
代 入
x?y?4?0
，再将A
1
,A
2
两点坐标代入所设圆的 方程，可得三个关于D,E,F的三元一次方程组，求出D,E,F的值，这样便可得所求
圆的方程。
但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解，可以更加方便。

弦长
【例题】 已知直线l∶x+2y-2=0与圆C∶x
2
+y
2
=2 相交于A、B两点，求弦长AB.
【思考与分析】 一条直线和圆相交，直线被圆所截得部分的长称为弦长.下面我们将采用两种方法来求出弦长AB.

解法一：设A（x
1
，y
1
）、B（x2
，y
2
），则A、B坐标即方程组
从方程组中消去x可得：5y
2
-8y+2=0，

的解，

又A、B在直线l∶x+2y-2=0上，即x
1
+2y
1
-2=0，x
2
+2y
2
-2=0，A

∣AB∣，∣CA∣=，∣CM∣为原点到直线l∶x+2y-2=0 解法二：作CM⊥AB于M，M为AB中点，在Rt△CMA中，∣AM∣=
的距离，即∣CM∣＝，

【小结】 解法一给出了已知一条直线与一条曲线相交于A、B两点，求∣ AB∣的一般办法，设已知直线为l∶y=kx+b，与已知曲线C的
交点为A（x
1
，y
1
）、B（x
2
，y
2
），则有y
1
=kx
1
+b，y
2
=kx2+b，即y
1
-y
2
=k（x
1
-x
2
），

这 两个公式一般称为直线与曲线相交所得线段长公式，显然这个公式只与已知直线的斜率k及交点的坐标（x
1
，y
1
）、（x
2
，y
2
）有关，而
与曲线C本身是什么曲线无关，因此这个公式在以后的学习中会得到普遍应用.
解法二针对圆 本身的特点给出了简单的解法，由于解析几何本身解决的是几何图形的问题，因此对于图形本身的特点给予充分的 挖掘和
运用（例如凡有关圆的弦的问题，应该注意弦心距）往往会找到解题的捷径
圆的方程例析
. 求圆心坐标和半径
【例1】 求下列各圆的圆心坐标和半径:
（1）x
2
+y
2
－x= 0；（2）x
2
+y
2
+2ax=0（a≠0）；（3）x
2
+y
2
+2ay－1=0.
【思考与分析】 我们先配方得标准方程，然后写出圆心坐标及半径.解： （1）配方
∴ 圆心为半径为r=
2
（2）配方得（x+a）+y
2
=a
2
，
.

∴ 圆心为（-a，0），半径为r=（注意：这里字母a不知道正负，而半径为正值，所以要加绝对值）.
（3）配方得x
2
+（y+a）
2
=1+a
2
，
∴ 圆心为（0，-a），半径为r=
22
【拓展】 讨论方程x+y+2ay+1=0（a∈R）表示曲线的形状.
解： 配方得x
2
+（y+a）
2
=a
2
-1，
当a<-1或a>1时，此方程表示的曲线是圆心为（0，-a），半径为r=的圆；
当a=±1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为（0，-a）；
当-1 2. 求圆的标准方程
【例2】 已知一个圆经过两点A（2，－3）和B（－2，－5），且圆心在直线l：x－2y－3＝0上，求 此圆的方程.
【思考与分析】 求圆的方程，需要确定圆心和半径，我们可以先设定圆心的坐 标，再利用它到A、B两点的距离相等来确定，从而求得
圆的方程.
解： 设点C为圆心，∵ 点C在直线l：x－2y－3＝0上，
∴ 可设点C的坐标为（2a＋3，a）.
又∵ 该圆经过A、B两点，∴ |CA|=|CB|.

解得a＝－2，

∴ 圆心坐标为C（－1，－2），半径r＝.
22
故所求圆的方程为（x＋1）＋（y＋2）=10.
3. 求圆的一般方程
【例3】 △ABC的三个顶点坐标分别为A（－1，5）、B（－2，－2）、C（5，5），求其外接圆的方程.
【思考与分析】 本题与圆心坐标和半径没有关系，我们选用圆的一般式方程即可.三角形的三 个顶点都在其外接圆上，所以可以联立方
程组，从而求得圆的方程.
解： 设所求圆的方程为x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得方程组
解得D＝－4，E＝－2，F＝-20.
∴ △ABC的外接圆方程为x
2
＋y
2
－4x－2y-20=0.
【小结】 通过这部分知识的学习，我们要掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程， 从圆的标准方程熟练地
求出它的圆心和半径；掌握圆的一般方程及圆的一般方程的特点，能将圆的一般方 程化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径
如何确定圆的方程
已知两点P
1
（4，9）、P
2
（6，3），求以P
1
P
2
为直径的圆 的方程.
【思考与分析】 根据已知条件，我们需要求出圆的圆心位置，又由点P
1
P
2
的坐标已知，且P
1
P
2
为所求圆的直径，所 以圆的半径很容易
求出，这是常规的解法，如下面解法1所示，另外还有一些其它的解法，我们大家一起 来欣赏：
解法1：设圆心为C（a，b）、半径为r.
由中点坐标公式，得 a＝＝5，b＝
∴ C（5，6），再由两点间距离公式，得
＝6.

22
∴ 所求的圆的方程为（x－5）＋（y－6）＝10.
解法2：设P（x，y）是圆上任意一点 ，且圆的直径的两端点为P
1
（4，9）、P
2
（6，3），
∴ 圆的方程为（x－4）（x－6）＋（y－9）（y－3）＝0，
化简得 （x－5）
2
＋（y－6）
2
＝10，即为所求.
解法3：设P（x，y）是圆上任意一点.
由圆的性质有三角形PP1P2为直角三角形，

22
∴（x－4）＋（y－9）＋（x－6）
2
＋（y－3）
2
＝（4－6）
2
＋（9－3）
2
，
化简得 x
2
＋y
2
－10x－12y＋51＝0.
∴ （x－5）
2
＋（y－6）
2
＝10，即为所求的圆的方程.
解法4：设P（x，y）是圆上不同于P
1
、P
2
的任意一点.
∵ 直径上的圆周角为直角， ∴ PP
1
⊥PP
2
.
（1）当PP
1
、PP
2
的斜率都存在时，

（2）当PP
1
、PP
2
的斜率有一个不存在时，PP
1
、 PP
2
的方程为x＝4或x＝6，这时点P的坐标是（4，3）或（6，9），均满足方程（* ）.
又P
1
（4，9）、P
2
（6，3）也满足方程（*），
所以，所求圆的方程为 （x－5）
2
＋（y－6）
2
＝10.
【小结】 本题我们分别采用了4种解法求解，其中解法2技巧性最强；解法3主要是运用了“圆中直径所对的圆 周角是90°”这一结论；
解法4是通过直线的斜率来求.不同的方法极大地开阔了我们的思路
圆的切线方程
在直线与圆的位置关系中，求过定点的圆的切线方程问题是一类很重要的题型. 我们都知道有这样的结论：过圆x
2
＋y
2
＝r
2
上一点A （x
0
，y
0
）
的切线方程为xx
0
＋yy
0
＝r
2
，那么你知道在运用这个结论的时候要注意些什么吗？
【例题】 求过点A（2，1）向圆x
2
＋y
2
＝4所引的切线方程.
解法一：设切点为B（x
0
，y
0
），则x
0
2
＋y
0
2
＝4，
过B点的切线方程为x
0
x＋y
0
y＝4.
又点A（2，1）在切线上，∴ 2x
0
＋y
0
＝4.

将x
0
， y
0
的值代入方程x
0
x＋y
0
y＝4得所求切线方程为x ＝2或3x＋4y－10＝0.
解法二： 设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0.
∵ 圆心（0，0）到切线的距离是2，
∴








＝2，解得k＝－.
∴ 所求切线方程为－x－y＋＋1＝0，即3x＋4y－10＝0.
当过点A的直线的斜率不存在时，方程为x＝2，也满足条件.
故所求圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2.
解法三： 设切线方程为y－1＝k （x－2）与方程x
2
＋y
2
＝4联立，消去y，整理得（k
2＋1）x
2
－2k（2k－1）x+4k
2
－4k－3＝0.
. ∵ 直线与圆相切，上述方程只能有一个解，即Δ＝0，即[2k（2k－1）]
2< br>－4×（k
2
＋1）（4k
2
－4k－3）＝0，解得k＝－
∴ 所求切线方程为y－1＝－（x－2），即3x＋4y－10＝0.
又过点A（2，1）与x轴垂直的直线x＝2也与圆相切.
故圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2.
【小结】 求过定点的圆的切线问题，应首先 判断该点是否在圆上，若点在圆x
2
＋y
2
＝r
2
上，则可 直接用公式xx
0
＋yy
0
＝r
2
（A（x
0，y
0
）
为切点），类似的可以求出过圆（x－a）
2
＋（y－ b）
2
＝r
2
上一点A（x
0
，y
0
）的 切线方程为（x
0
－a）（x－a）＋（y
0
－b）（y－b）＝r
2
；若点
在圆外，则所求切线必有两条，此时可设切线方程，用待定系数法求斜率k.如果关于 k的方程只有一个解，则另一条切线的斜率必不存在，
应该将该直线补上.
【警示】 大 家做题的时候必须按照我们所讲的认真求解，稍有马虎就可能造成一些不必要的错误.就本题而言，可能出现的错 解1：由
过圆x
2
＋y
2
＝r
2
上一点A（x0
，y
0
）的切线方程为xx
0
＋yy
0
＝r
2
.从而直接得出切线方程为2x＋y＝4.出现错误的原因是凭直观经验，误认为点
A（2，1）在圆上；错解2：设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0，由圆心（0， 0）到切线的距离是2得，＝2，
解得k＝－，故所求切线方程为－x－y＋＋1＝0即3x＋4y－1 0＝0.这里出现错误的原因主要是考虑问题不周全，漏掉了直线斜率不
存


例题】 求半径为4，与圆x
2
＋y
2
－4x－2y－4＝0相切， 且和直线y＝0相切的圆的方程．
错解1：由题设，所求圆与直线y＝0相切且半径为r=4，则设所求圆的圆心为（a，4）.
又 已知圆的方程化为标准式为：（x－2）
2
＋（y－1）
2
＝9，其圆心（2 ，1），半径R＝3．
（1）若两圆外切，则圆心距＝r＋R＝4＋3＝7．
即（ a-2）
2
+（4-1）
2
=7
2
，得a=2±2
∴ 所求圆方程为：（x-2-2














，
）
2
+（y-4）
2
=16
或（x-2+2）
2
+（y-4）
2
=16.
（2）若两圆内切，则圆心距＝|Ｒ-r|＝4－3＝1．
∴ （a－2）
2
＋（4－1）
2
＝1，这个方程无解．
故讨论（1）中，两个方程均是所求圆的方程．
错解2：由题设，所求圆与直线y＝0相切且半径为r=4，则设所求圆的圆心为（a，±4）. 又已知圆的方程化为标准式为：（x－2）
2
＋（y－1）
2
＝9，其圆 心（2，1），半径R＝3．
由于两圆相切，则圆心距＝r＋R＝4＋3＝7．
，
.
即（a-2）
2
+（4-1）
2
=7
2< br>，得a=2±2
222
或（a-2）+（-4-1）=7，得a=2±2
∴ 所求圆方程为：（x-2-2）
2
+（y-4）
2
=16
或（x-2+2）
2
+（y-4）
2
=16.
或（x-2-2）
2
+（y＋4）
2
=16
或（x-2+2）
2
+（y＋4）
2
=16.
【误区剖析】 本题容易出错的有两个地方：其一是只考虑了所求圆的圆心在x轴（y＝0）上方，疏忽了圆心在直线y＝0下方 的可能，
遗下了漏解的隐患，如错解1．其二，只考虑了两圆外切，没有考虑两圆内切的情况，解题是不 严密的，如错解2．因此在审题、解题时，
一定要全面、细致地分析研究，努力克服粗心大意、主观片面 ．
正解：由题设，所求圆与直线y＝0相切且半径为r=4，则设所求圆的圆心为（a，±4）.
又已知圆的方程化为标准式为：
（x－2）
2
＋（y－1）
2
＝9，其圆心（2，1），半径R＝3．
（1）若两圆外切，则圆心距＝r＋R＝4＋3＝7．

即（a-2）
2
+（4-1）
2
=7
2
，得a=2±2
222< br> 或（a-2）+（-4-1）=7，得a=2±2
∴ 所求圆方程为：（x-2-2
，
.
）
2
+（y-4）
2
=16
或（x-2+2）
2
+（y-4）
2
=16.
或（x-2-2）
2
+（y＋4）
2
=16.
或（x-2+2）
2
+（y＋4）
2
=16.
（2）若两圆内切，则圆心距＝R-r＝4－3＝1．
∴ （a－2）
2
＋（4 －1）
2
＝1，或（a－2）
2
＋（－4－1）
2
＝1，
这两个方程都无解．故讨论（1）中，4个方程均是所求圆的方程
正确判断两圆的位置关系
已知两圆C
1
：x
2
＋y
2
＋4x＋4y－2＝0，C
2
：x
2
＋y
2
－ 2x－8y－8＝0，判断圆C
1
与圆C
2
的位置关系.
【思考与分析】 要判断两圆的位置关系，我们通常有两种方法：一种是判断两圆的交点个数，如果它们有两个交 点，则相交；有一个
交点则外切或内切；没有交点则相离或内含.另一种是通过两圆连心线的长与两半径 的和或两半径差的绝对值的大小关系，来判断两圆的位
置关系.
解法一： 将两圆的方程联立得，















由（1）－（2）得x＋2y＋1＝0 （3）
由（3）得x＝－2y－1，把此式代入（1），
并整理得y
2
－1＝0 （4）
方程（4）的判别式Δ＝0
2
－4×1×（－1）＝4＞0，
所以 ，方程（4）有两个不同的实数根y
1
，y
2
，把y
1
，y
2
分别代入方程（3），得到x
1
，x
2
.
因此圆C
1
与圆C
2
有两个不同的交点，即两圆是相交的位置关系.
. 解法二： 把圆C
1
的方程化为标准方程形式为（x＋2）
2
＋（y＋2）
2
＝10，圆C
1
的圆心坐标为（－2，－2），半径长r< br>1
＝
把圆C
2
的方程化为标准方程形式为（x－1）
2< br>＋（y－4）
2
＝25.圆C
2
的圆心坐标为（1，4），半径长r< br>2
＝5.
圆C
1
和圆C
2
的连心线的长为：
圆C
1与圆C
2
的两半径之和是r
1
＋r
2
＝5＋

，两半径之差r
2
－r
1
＝5－.
而5－＜3＜5＋ .即r
2
－r
1
＜3＜r
1
+r
2
.
【小结】 在解法1中，我们只要判断出圆C
1
与圆C
2
有几个 公共点即可，不需要求出公共点的具体坐标，也就是说只需要判断出方程
（4）的判别式大于0，而不需 要求解方程
直线与圆的位置关系解析
【例1】 如果曲线C：x
2
+（y +1）
2
=1与直线x+y+a=0有公共点，那么实数a的取值范围是 ．
【思考与分析】 通过直线与圆的位置关系来求其中所含参数的取值范围，下面我们分别从代数和几何两个方面来求.
解法一：（代数法）由消去y得2x
2
+2（a-1）x+a
2
-2a=0，
≤a≤1+.
由Δ=4（a-1）
2
-8（a
2
-2 a）≥0，即（a－1）
2
≤2得1-
∴ 实数a的取值范围是1-≤a≤1+.
解法二：（几何法）圆C与直线x+y+a=0有公共点，

圆心（0，－1）到直线的距离不大于半径，
∴实数a的取值范围是1-≤a≤1+.
【小结】 直线与圆的位置关系的判定方法有：①代数法：利用二次方程的判别式判断；②几何法： 依据圆心到直线的距离与半径的大
小关系判断.
【例2】 直线2x－y＋1＝0与圆O ∶x
2
+y
2
+2x-6y-26=0的位置关系是（ ）.
A． 相切 B． 相交且过圆心
C． 相离 D． 相交不过圆心
【解析】 要想确定一条直线与圆的位置关系，我们需要得出圆心到直线的距离与圆 半径的大小关系.所以将圆的方程化为标准形式为：
圆O∶（x+1）
2
+（y-3）
2
=36.圆心为（－1，3），半径为r＝6，
圆心到直线的距离为d＝
从而知0＜d＜r，所以直线与圆相交但不过圆心. 故正确答案为D
求圆的切线方程的几种方法
在高中数学人教版第二册第七章《圆的方程》一节中有一例题：求 过已知圆上一点的切线方程，除了用斜率和向量的方法之外还
有几种方法，现将这些方法归纳整理，以供 参考。
例：已知圆的方程是x
2
+ y
2
= r
2
，求经过圆上一点M(x
0
，y
0
)的切线的方程。
解法一：利用斜率求解

如图1，设切线的斜率为k，则k?k
OM< br>??1.
?k
OM
?
y
0
x
,?k??0
x
0
y
0
x
0
(x?x
0
)
y
0
解法二：利用向量求解
经过点M的切线方程是：
y?y0
??
22
整理得x
0
x?y
0
y?x
0
?y
0
.
22
因为点M在圆上，所以x
0
?y
0
?r
2
.
所求的直线方程为：x
0
x?y
0
y?r
2
.
当点M在坐标轴上时上面方程同样适用。
如图2，设 切线上的任意一点p的坐标
?
x,y
?
OM?（x
0
,y< br>0
),PM?(x
0
?x,y
0
?y)

∵OM?PM，
?OM?PM?0
?x
0
?（x
0
?x）?y
0
?(y
0
?y)?0
22
整理得：x
0
x?y
0
y?x
0
?y
0
.
22
因为点M在圆上，所以x
0
?y
0
?r
2
.
图1
所求的直线方程为：x
0
x?y
0
y?r
2
.（这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在）

解法三：利用几何特征求解

如图2，设直线上不同于M(x
0
,y
0
)的一点P( x,y)
∵OM?PM
?OM
?x
0
2
2
图2

?PM
2
2
?OP
2
?y
0
? (x?x
0
)
2
?(y?y
0
)
2
?x< br>2
?y
2
22
整理得：x
0
x?y
0
y?x
0
?y
0
.
22
因为点M在圆上，所以x
0
?y
0
?r
2
.
所求的直线方程为：x
0
x?y
0
y?r
2
.
当P和M重合时上面方程同样适用。
解法四：用待定系数法求解
1、 利用点到直线的距离求解
设所求直线方程的斜率为k,则 直线方程为：
y?y
0
?k(x?x
0
),即：kx?y?y
0
?kx
0
?0　　⑴
原点O(0,0)到切线的距离等于半径
y
0
?kx
0
1?k
2
因为x
0
2
?r　　　　
22
化简整理得：(r
2
?x
0
)k
2
?2x
0
y
0
k?r
2
?y
0
?y
0
2
?0　　⑵
?r
2
22
所以⑵式可化为： y
0
k
2
?2x
0
y
0
k?x
0
解得：k??
x
0
　　代入⑴式
y
0
?0
22
整理得x
0
x?y
0
y?x
0
?y
0
.
22
因为点M在圆上，所以x
0
?y
0
?r2
.
所求的直线方程为：x
0
x?y
0
y?r
2
.
当斜率不存在时上面方程同样适用。

2、 利用直线与圆的位置关系求解：
设所求直线方程的斜率为k,则直线方程为：
y?y
0
?k(x?x
0
),即：kx?y?y
0
?kx
0
?0　　（1）
?
kx?y?y
0
?kx
0
?0
由
?
2
　　消去y得
22
x?y?r　　　　
?
( 1?k
2
)x
2
?2k(y
0
?kx
0
) x?y
0
?k
2
x
0
?2ky
0
x
0
?r
2
?0
??4k
2
(y
0
?kx
0
)
2
?4(1?k
2
)(y
0
?k2
x
0
?2ky
0
x
0
?r
2
)?0
整理得：(r
2
?x
0
)k
2
?2x0
y
0
k?r
2
?y
0
?0　　⑵
因 为x
0
?y
0
?r
2
所以⑵式可化为：y
0
k
2
?2x
0
y
0
k?x
0
?0
解得：k??
x
0
　　代入⑴式
y
0
22
22< br>22
22
22
22
整理得x
0
x?y
0y?x
0
?y
0
.
22
因为点M在圆上，所以x
0
?y
0
?r
2
.

所求的直线方程为：x< br>0
x?y
0
y?r
2
.
当斜率不存在时上面方程同样 适用。

这是圆心在坐标原点的圆的切线方程的求法，若圆心不在原点，也可以用这些方法求解。
同样一道题，思路不同，方法不同，难易程度不同。显然在以上的几种解法中，用向量法和几何特征求解 相对来说简单一些。
实际上在圆这一章，很多时候用几何特征求解圆的方程和直线方程是教简单的方法， 同学们下来可以尝试。
《圆的方程》的经典问题聚焦
1 直线和直线的位置关系问题
11
?
的值等于 .
ab
2（上海） 已知 两条直线
l
1
:ax?3y?3?0,l
2
:4x?6y?1?0.
若
l
1
l
2
，则
a?
____.
1（北京 ）若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b) (ab
?
0)共线,则
【思维展示】
1 合理选择截距式，利用点在曲线上的意义切入，设过点B(a,0),C(0,b) 的直线方程为
则< br>xy
??1
,由于点A(2,2)在此直线上,所以
2
?
2< br>?1
,
ab
ab
111
.
??
ab2
2 直线和直线的位置关系研究方法，构建方程求解，
l
1
l
2
，则
6a?12?0,?a?2
；
【学习体验】
认识直线的方程和方程的直线的一一对应关系，学会用代数的方法研究直线和直线的位置关系。
2利用几何法简化研究直线和圆的位置关系.
1（江苏）圆
(x?1)?(y?2（湖南）若圆
x
2
2
3)
2
?1
的切线方程 中有一个是
（A）x－y＝0 （B）x＋y＝0 （C）x＝0 （D）y＝0 ?y
2
?4x?4y?10?0
上至少有三个不同点到直线
l
:
ax?by?0
的距离为
22
,则直线
l
的倾斜角的取值范 围是
??
?
5
?
??
?
( B ) A.[] C.[
,]
D.
[0,]

,
] B.[
,
1241212632
3（江西） 已 知圆M：（x＋cos?）
2
＋（y－sin?）
2
＝1，直线l：y＝kx ，下面四个命题：
A对任意实数k与?，直线l和圆M相切；B对任意实数k与?，直线l和圆M有公共点；
C 对任意实数?，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切
D对任意实数k，必存在实数?，使得直线l 与和圆M相切其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）
【思维展示】
1本题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径.
直 线ax+by=0
与(x?1)
2
?(y?3)
2
?1相切
，则
|a?b3|
?1
，由排除法，选C；
2
2 注意到圆圆心< br>?
2,2
?
,R?32
，直线
ax?by?0
恒过原 点的直线系，圆上至少有三个不同点到直线
l
:
ax?by?0
的距离为22
，
特值验证，倾斜角为0或不存在时圆上只有两个点满足，排除D，注意到直线过圆心 时此时倾斜角为
满足到直线
l
:
ax?by
?
，由图形的对 程性知圆上有4个点
4
12
?0
的距离为
22
，则倾斜角含
2
?
4
；当倾斜角为
5
?
12
时，此时，
?
a
?tan
5
?
?2?3
，圆心到直线的距离< br>b
d?
2a?2b
5
?
4
?
a?b
?
8ab?8b
2
2?3
，于是，此时与倾斜角为平行有两直线与圆相
,?d?
2
?4?
2
?4??2,?d?2
22
2
12
a?ba?b
a
2
?b
2
b
2
?< br>1?2?3
?
??
??
2
?
?
?
?
切和相交，且它们到过原点倾斜角
5
?
12
之间的距离都为
22
，即此时有3个点满足题设，故选B；
1＋k
2
|sin（
?
＋
?
）|
1＋k
2
故选（B）（D）；
3 本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。
|－kcos
?
－sin
?
|
若直接思维求解油，圆心坐标为（－cos?，sin?）d＝
1＋k
＝|sin（
?
＋
?
）|?1
2
＝
【学习体验】
直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2) 代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成
判别式等于零来解.
3 圆的第二定义的应用
（四川）已知两定点
【思维展示】
解析法探究轨迹，若有圆的第二定义的意识，所求为员的面积。设
P
为动点P的轨迹，选C；
【学习体验】
如果动点
P
满足
PA?2PB
，则点
P
的轨迹所包围的图形的面积等于 （A）
9
?
（B）< br>A
?
?2,0
?
,B
?
1,0
?
，
8
?
（C）
4
?
（D）
?

?
x,y
?
,
?
x?2
?
2
?y
2
?4(x?1)
2
?y
2
, ?
?
x?2
?
?y
2
?4
2
??