高中数学《圆与圆的位置关系》精品公开课教案

圆与圆的位置关系
一、【学习目标】
1、会熟练地运用几何法和代数法判断圆与圆之间的位置关系；
2、能熟练地解决求公共弦方程和公共弦长问题.
【教学效果】：教学目标的给出，有利于学生整体上把握课堂.
二、【自学内容和要求及自学过程】
1、圆与圆的位置关系问题
<1>圆与圆的位置关系有几种？
<2>你能分别用几何方法和代数方法判断圆与圆的位置关系吗？
结论：<1>外离 、
外切、相交、内切、
内含（特殊情况：同
心圆）；<2>?几何
法：若两圆 的半径分
别为
r
1
、r
2
，两圆的圆心距为
d，则两圆的位置关系判断如表所示：?代
数法：联立两圆的方程组成方程组.则方程组解的个数与两 圆的位置关系如
表所示.
思考：当
d?R?r
时，两圆一定相交吗？
题型一：判断两圆的位置关系(几何法与代数法）
例题：自学教材例3，体会两种方法的优劣，然后用 代数法和几何法
独立完成教材第130页的练习.
【教学效果】：需要学生能用几何法和代数法两种方法来判断圆与圆的位置
关系.

1

2、求公共弦方程及公共弦长问题
<3>将两个圆的方程相减（ 把两圆方程中
x、y
的系数化简为相同），我们
就能得到两圆的公共弦方程（如果存在 的话），你能解释一下原因吗？
<4>若已知两圆的方程（相交），让你求公共弦长，你能提供一个可 行的方
案吗？试着想一下！
结论：<3>若将两圆的方程相减，得到一个一元一次方 程，即直线方程，
由于它过两圆的交点，所以它是相交两圆的公共弦方程；<4>先求出公共弦
方程，然后根据点（圆心）到直线距离公式求出弦心距，再根据勾股定理
求出公共弦长.
题型二：求公共弦方程、公共弦长问题
22
例题：已知圆
C
1
:x ?y?2x?6y?1?0
，圆
C
2
：x?y
?

22
22
4x?2y?11?0
，求两圆的公共线所在的直线方程及公共弦长.
结论：设两圆的交点为
A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
)
，则A、B两点满足方程
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组
x? y?2x?6y?1?0
且
x?y
?
4x?2y?11?0
，将两个 方程相
22
减得
3x?4y?6?0
，即为两圆公共弦所在的方程.易知圆< br>C
1
的圆心（-1，
3），半径r=3.，下面我们可以用点到直线的距离公式 可以求得点
C
1
到直线
的距离为
d?|?1?3?4?3?6|3< br>2
?4
2
?95
.所以我们可以结合图形
得到AB=2
r
2
?d
2
=245，即两圆的公共弦长为245.
【教学效果】：公共弦问题在高考中常以选择和填空题的形式出现，是一个
重要的考点.
3、与两圆相切的有关问题
与两圆相切的问题很多，我们不可能一一的讲解，只能试举一例，管

2

中窥豹，希望同学们可见一般.
题型三：与两圆相切的有关问题
2 2
例题：求与圆
C:x?y?2x?0
外切且与直线
l:x?3y?0
相切
3，?3）
与点
M（
的圆的方程.
22
结论：圆C 的方程可化为
(x?1)?y?1
,圆心为C（1，0），半径为
1.设所求圆的方程 为
(x?a)?(y?b)?r(r?0)
，由题意我们可以得到
下列三个方程： < br>222
(a?1)
2
?b
2
?r?1
、
[( b?3)(a?3)]?(?33)??1
、
|a?3b|2?r
，联立可以解得a =4,b=0，r=2.所以，所求圆的方程为：
(x?4)
2
?y
2
?4
.
【教学效果】：注意培养学生解决问题分析问题的能力.
三、【作业】
1、必做题：习题4.2A组第9、10、11题；
2、选做题：习题4.2A组第8题.
四、【小结】本节课主要学习了圆与圆的位置关系、公共弦长、 两圆相切的
问题.学习完这节课要求学生能熟练的判断圆与圆的位置关系，解决公共弦
方程和公 共弦长问题.
五、【教学反思】要注意培养学生解决问题、分析问题的能力.引导学生用
数形 结合的思想来解决问题.


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