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高中数学竞赛讲座:圆

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 06:31
tags:高中数学圆

高中数学视频 那个好-高中数学教师资格难不难

2020年9月21日发(作者:解珙)



基础知识
如果没有圆,平面几何将黯然失色.
圆是一种特殊的 几何图形,应当掌握圆的基本性质,垂线定理,直线与圆的位置关系,
和圆有关的角,切线长定理,圆幂 定理,圆和圆的位置关系,多边形与圆的位置关系.
圆的几何问题不是独立的,它与直线形结合起来, 将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何
问题,“三角形的心”,“几何著名的几何定理”,“共圆、共线、 共点”,“直线形” 将构成圆
的综合问题的基础.
本部分着重研究下面几个问题:
1.角的相等及其和、差、倍、分;
2.线段的相等及其和、差、倍、分;
3.二直线的平行、垂直;
4.线段的比例式或等积式;
5.直线与圆相切;
6.竞赛数学中几何命题的等价性.
命题分析
例1.已知
A
为平 面上两个半径不等的⊙
O
1
和⊙
O
2
的一个交点,两圆的外 公切线分别

P
1
P
2
,Q
1
Q
2

M
1

M
2
分别为
P
1Q
1

P
2
Q
2
的中点,求证:
?O
1
AO
2
??M
1
AM
2

例2.证明:唯一存在三边长为连续整数且有一个角为另一个角的两倍的三角形.
例3.延长
AB

D
,以
AD
为直径作半圆,圆心为
H

G
是半圆上一点,
?ABG

锐角.
E
在线段
BH
上,
Z
在半圆上,
EZ

BG
,且< br>EH?ED?EZ

BT

HZ
.求
证:
? TBG?
2
1
?ABG

3
例4.求证:若一个圆外切四边形有两条对边相等,则圆心到另外两边的距离相等.
例5.设
?A
是△
ABC
中最小的内角,点
B

C
将这个三角形的外接圆分成两段弧,
U
是落在不含
A
的那段弧上且 不等于
B

C
的一个点,线段
AB

AC
的垂直平分线分别
交线段
AU

V

W
,直线BV

CW
相交于
T
.证明:
AU?TB?TC

例6.菱形
ABCD
的内切圆
O
与各边分别切于
E, F,G,H
,在
EF

GH
上分别作⊙
O
切线交< br>AB

M
,交
BC

N
,交
CD< br>于
P
,交
DA

Q
,求证:
MQ

NP

例7.⊙
O
1
和⊙
O
2
与△
ABC
的三边所在直线都相切,
E,F,G,H
为切点,并且


EG,FH
的延长线交于点
P
.求证:直线
PA

BC
垂直.
例8.在圆中,两条弦
AB,CD
相交于
E
点,
M
为弦
AB
上严格在
E

B
之间的点.过
D,E,M
的圆在
E
点的切线分别交直线
BC

AC

F,G
.已知
AMCE
?t
,求(用t

ABEF
示).
例9.设点
D

E是△
ABC
的边
BC
上的两点,使得
?BAD??CAE
.又设
M

N


1111
???

MBMDNCNE
例10.设△
ABC
满足
?A?90?

?B??C
,过
A
作△
ABC
外接圆
W
的切线, 交
直线
BC

D
,设
A
关于直线
BC的对称点为
E
,由
A

BE
所作垂线的垂足为
X

AX
的中点为
Y

BY

W

Z
点,证明直线
BD
为△
ADZ
外接圆的切线.
分别是△
ABD
、△
ACE
的内切圆与
BC
的切点.求证 :
例11.两个圆
?
1

?
2
被包含在圆
?
内,且分别现圆
?
相切于两个不同的点
M

N

?
1
经过
?
2
的圆心.经过
?
1

?
2
的两个交点的直线与
?
相交于点
A

B
,直线
MA
和直线
MB
分别与
?
1
相 交于点
C

D
.求证:
CD

?
2
相切.
例12.已知两个半径不相等的⊙
O
1
和⊙
O
2
相交于
M

N
两点,且⊙
O
1
、⊙
O
2
分别
与⊙
O
内切于
S

T
两点.求证:
OM?MN
的充要条件是
S

N

T
三点共线.
例13.在凸四边形
ABCD
中,
AB
CD
不平行,⊙
O
1

A

B
且与边
CD
相切于

P
,⊙
O
2

C< br>、
D
且与边
AB
相切于点
Q
.⊙
O
1
和⊙
O
2
相交于
E

F
,求证:
EF

分线段
PQ
的充要条件是
BC

AD
例14.设凸四边形
ABCD
的两条对角线
AC

BD
互相垂直,且两对边
AB

CD

平行.点
P
为线段
AB

CD
的垂直平分线的交点,且在四边形的内部.求证:
A

B

C

D
四点共圆的充要条件为< br>S
?PAB
?S
?PCD

训练题
1.△
ABC
内接于⊙
O

?BAC?90?
,过
B

C
两点⊙
O
的切线交于
P

M

BC
的中点,求证:(1)
AM
?cos?BAC
;(2)
?BAM ??PAC

AP
⌒⌒⌒
CA,AB
的中点,2.已知
A
?
,B
?
,C
?
分别是△
ABC
外接圆上 不包含
A,B,C
的弧
BC,
BC
分别和
C
?A
?

A
?
B
?
相交于
M

N
两点,
CA
分别和
A
?
B
?

B
?
C
?
相交于
P

Q
两点,< br>AB
分别和
B
?
C
?

C
?
A
?
相交于
R

S
两点.求证:
MN?PQ?R S
的充要条件是△
ABC
为等边三角形.
3.以△
ABC
的边
BC
为直径作半圆,与
AB

CA
分别 交于点D

E
,过
D

E

BC
的 垂线,垂足分别为
F

G
.线段
DG

EF
交于点
M
.求证:
AM?BC

4.在△
ABC
中,已知
?B
内的旁切圆与
CA
相切于
D

?C
内的旁切圆与
AB
相切

E
,过
DE
和< br>BC
的中点
M

N
作一直线,求证:直线
MN
平分△
ABC
的周长,且与
?A
的平分线平行.
5.在△
ABC
中,已知,过该三角形的内心
I
作直线平行于
AC

AB

F
.在
BC

上取点
P
使得3BP?BC
.求证:
?BFP?
1
?B

2
6.半圆圆心为
O
,直径为
AB
,一直线交半圆于
C,D
,交
AB

M



MB?MA,MC?MD
) .设
K
是△
AOC
与△
DOB
的外接圆除点
O外之另一交点.求
证:
?MKO
为直角 .
7.已知,
AD< br>是锐角△
ABC
的角平分线,
?BAC?
?

?AD C?
?
,且
2
co
?
s?cos
?
.求证 :
AD
2
?BD?DC

8.
M
为△
ABC
的边
AB
上任一点,
r
1
,r
2
, r
分别为△
AMC
、△
BMC
、△
ABC

内切圆半径;
?
1
,
?
2
,
?
分别为这 三个三角形的旁切圆半径(在
?ACB
内部).
求证:
r
1
?
1
?
2
?
r
2
?
r
?

9.设
D
是△
ABC
的边
BC
上的一个内点 ,
AD
交△
ABC
外接圆于
X

P
Q

X
分别到
AB

AC
的垂足,
O
是直径为
XD
的圆.证明:
PQ
与⊙
O
相切当且仅 当
AB?AC

10.若
AB
是圆的弦,
M
是< br>AB
的中点,过
M
任意作弦
CD

EF
,连
CD,DE
分别

AB

X,Y
,则
MX ?MY

11.设
H
为△
ABC
的垂心,
P为该三角形外接圆上的一点,
E
是高
BH
的垂足,并

PAQB

PARC
都是平行四边形,
AQ

BR
交于
X
.证明:
EX

AP

12.在△
ABC
中,
?C
的平分线分别交
AB
及三角形的外接圆于
D

K

I
是内切
圆圆心.证明:(1)
111C IID
????1
. ;(2)
IDIKCIIDIK

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