高中数学复习直线与圆汇总(绝对全面)

高中数学复习——直线与圆汇总
1、直线的倾斜角：倾斜角的范围
?
0,
?
?
：
（1）直线
xcos
?
?3y?2?0
的倾斜角的范围是_________ ___；
（2）过点
P(?3,1),Q(0,m)
的直线的倾斜角的范围
?
?[
?
2
?
3
,
3
],那么m
值的范围是__ _；
2、直线的斜率：斜率公式：
k?
y
1
?y
2
xx
?
x
1
?x
2
?

1
?
2
(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件；
(2)实数
x,y
满足
3x?2y?5?0
(
1?x?3
)，则
y
x
的最大值、最小值分别为__________
3、直线的方程：（1）点斜式；（2）斜截式；（3）两点式；（4）截距式；（5）一般式
（1）经过点（2，1）且方向向量为
v
?
=(－1,
3
)的直线 的点斜式方程是___________；
（2）直线
(m?2)x?(2m?1)y?(3 m?4)?0
，不管
m
怎样变化恒过点_____ _；
（ 3）若曲线
y?a|x|
与
y?x?a(a?0)
有两个公共点，则
a
的取值范围是____ ___；
提醒：
(1)直线方程的各种形式都有局限 性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；

(2)直线在坐标轴上的截 距可正、可负、也可为0.直线两截距相等
?
直线的斜率为-1或直线过
原点；直线两 截距互为相反数
?
直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等
?
直 线的斜
率为
?1
或直线过原点。
如：过点
A(1,4)
，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条
4.设直线方程的一些常用技巧：
（1）知直线纵截距
b
，常设其方程为
y?kx?b
；
（ 2）知直线横截距
x
0
，常设其方程为
x?my?x
0
(它 不适用于斜率为0的直线)；
（3）知直线过点
(x
0
,y
0)
，当斜率
k
存在时，常设其方程为
y?k(x?x
0
)?y
0
，当斜率
k
不存在时，
则其方程为
x?x
0
；
（4）与直线
l:Ax?By?C?0
平行的直线可表示为
A x?By?C
1
?0
；（5）与直线
l:Ax?By?C?0
垂直的 直线可表示为
Bx?Ay?C
1
?0
.
5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：
（1）点
P(x
0
, y
0
)
到直线
Ax?By?C?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0
?C
A
2
?B
2
；
（2）两平行线
l
1
:Ax?By?C
1
?0,l
2
:Ax?By?C
2
?0
间的距离为
d?
C
1< br>?C
2
A
2
?B
2
。
6、直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
与直线
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2?0
的位置关系：
（1）平行
?
A
1
B
2< br>?A
2
B
1
?0
（斜率）且
B
1
C
2
?B
2
C
1
?0
（在
y
轴上截 距）；
（2）相交
?
A
1
B
2
?A
2< br>B
1
?0
；
（3）重合
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
且
B
1
C
2
?B
2
C
1
?0
。
提醒：
（1）
A
1
A
?
B
1
?
C1
、
A
1
A
?
B
1
、
A1
?
B
1
?
C
1
仅是两直线平行、相交、重合 的充分不必要条件！
2
B
2
C
2
2
B
2< br>A
2
B
2
C
2
为什么？
（2）在解析几何 中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两
条直线都是指不重合 的两条直线；
（3）直线
l
1
:A
1
x?B
1< br>y?C
1
?0
与直线
l
2
:A
2
x ?B
2
y?C
2
?0
垂直
?
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
。
如：（1）设直 线
l
1
:x?my?6?0
和
l
2
:(m?2)x ?3y?2m?0
，当
m
＝_______时
l
1
∥
l
2
；
当
m
＝________时
l
1
?
l
2
；当
m
_________时
l
1
与
l
2
相交；当
m
＝_________时
l
1
与
l
2
重合；
（2）已知直线
l
的方程为
3x?4y?12?0
，则与
l
平行，且过点（—1，3）的直线方程是_____ _____；
（3）两条直线
ax?y?4?0
与
x?y?2?0
相 交于第一象限，则实数
a
的取值范围是________；
（4）设
a,b ,c
分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线
sinAgx?ay?c?0< br>与
bx?sinBgy?sinC?0
的位置关系是_ ___；
（5）已知点
P
1
(x
1
,y
1
)
是直 线
l:f(x,y)?0
上一点，
P
2
(x
2
,y
2
)
是直线
l
外一点，则方程
f(x,y)?f(x
1
,y
1
)?f(x
2
,y
2
)
＝0所 表示的直线与
l
的关系是_ ___；
（6）直线
l
过 点（１，０），且被两平行直线
3x?y?6?0
和
3x?y?3?0
所截得 的线段长为9，则

直线
l
的方程是________
7、对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：
如：（1）已知点
M(a,b)< br>与点
N
关于
x
轴对称，点P与点N关于
y
轴对称，点 Q与点P关于直线
x?y?0
对称，则点Q的坐标为_______；
（2）已知直 线
l
1
与
l
2
的夹角平分线为
y?x
，若
l
1
的方程为
ax?by?c?0(ab?0)
，那么
l< br>2
的方程是
___________；
（3）点Ａ（４，５）关于直线
l
的对称点为Ｂ(－2,7)，则
l
的方程是_________；
（4 ）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线
l
:3x－4y+4=0反射。如果反射光线通 过点
Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________；
（5）已知ΔA BC顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0，∠B的平分线
所 在的方程为x－4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程________；
（6）直线2x―y― 4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标
是___ ___；
（7）已知
A?x
轴，
B?l:y?x
，C（2，1），
VABC
周长的最小值为______。
提醒：
在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。
8、圆的方程：
⑴圆的标准方程：
?
x?a
?
2
?
?
y? b
?
2
?r
2
；
⑵圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0(D
2
＋E
2
－4F ?0)
；
特别提醒：只有当
D
2
＋E
2
－4F? 0
时，方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
才表 示圆心为
(?
D
2
,?
E
2
)
，
半径为
1
2
D
2
?E
2
?4F
的圆（二元 二次方程
Ax
2
?Bxy?Cy
2
?Dx?Ey?F?0
表 示圆的充要条件
是什么？ （
A?C?0,
且
B?0
且
D< br>2
?E
2
?4AF?0
））；
⑶圆的参数方程：
?
x
y
?
?
a
b
?
?
r
r
cos
sin
?
?
（
?
为参数），其中圆心为(a,b)
，半径为
r
。圆的参数方程的主要
应用是三角换元：
x
2
?y
2
?r
2
?x?rcos
?
,y ?rsin
?
；
x
2
?y
2
?t

?x?rcos
?
,y?rsin
?
(0?r?t)
。 < br>⑷
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
为直径端点的圆方程：
?
x?x
1
??
x?x
2
?
?
?
y?y1
??
y?y
2
?
?0

如：（1）圆C与圆
(x?1)
2
?y
2
?1
关于直线
y??x
对称，则圆C的方程为____________________；
（2）圆心在直线
2x ?y?3
上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是______________________；
（3）已知
P(?1,3)
是圆
?
x
y
?
?
r
r
cos
sin
?
?
（
?
为 参数，
0?
?
?2
?
)
上的点，则圆的普通方程为
___ _________，P点对应的
?
值为____ ___，过P点的圆的切线方程是
__________ _____；
（4） 如果直线
l
将圆：x
2
+y
2
-2x-4y=0平分，且不 过第四象限，那么
l
的斜率的取值范围是________；
（5）方程x
2
+y
２
－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____ ____；
（6）若
M?{(x,y)|
?
x
y
?
?
3cos
3sin
?
?
（
?
为参数，
0?
?
?
?
)}
，
N?
?
(x,y)|y ?x?b
?
，若
M?N?
?
，
则b的取值范围是___ ______
9、点与圆的位置关系：

如：点P(5a+1,12a)在圆(x－ １)
２
＋y
2
=1的内部,则a的取值范围是_______
10 、直线与圆的位置关系：
直线
l:Ax?By?C?0
和圆
C：
?< br>x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r< br>2

?
r?0
?
有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：
（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：
??0?
相交；
??0?
相离；
??0?
相切；
（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与 半径的大小）：设圆心到直线的距离为
d
，则
d?r?
相交；
d?r ?
相离；
d?r?
相切。
提醒
：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。
如：（1）圆
2x
2
?2y
2
?1
与直线
xsin
?
?y? 1?0(
?
?R,
?
?
?
2
?k
?
，
k?z)
的位置关系为____；
（2）若直线
ax?by?3?0与圆
x
2
?y
2
?4x?1?0
切于点
P(? 1,2)
，则
ab
的值__ __；
（3）直线
x?2y?0
被曲线
x
2
?y
2
?6x?2y
?1 5?0
所截得的弦长等于 ；
（4）一束光线从点A(－ 1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)
2
+(y-3)
2
=1上的最短 路程是 ；
（5）已知
M(a,b)(ab?0)
是圆
O:x
2
?y
2
?r
2
内一点，现有以
M
为中点的弦所在直线
m
和直线
l:ax?by?r
2
，则< br>l
与
m
的关系是__ _，
l
与圆的关系是__ _




（6）已知圆C：
x
2
?(y?1)
2
?5
，直线 L：
mx?y?1?m?0
。①求证：对
m?R
，直线L与圆C
总有 两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若
AB?17
，求L的倾斜角；③求直线L< /p>

中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.

















11、圆与圆的位置关系
（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：
已知两圆的圆 心分别为
O
1
，O
2
，半径分别为
r
1
, r
2
，则：
（1）当
|O
1
O
2
??r
1
?r
2
时，两圆外离；
（2）当
|O
1
O
2
??r
1
?r
2
时，两圆外切；
（3）当
r
1
?r
2
<|O
1
O
2
??r
1
?r
2
时，两圆相交；
（4）当
|O
1
O
2
???r
1
?r
2
|
时，两圆内切； （5）当
0?|O
1
O
2
???r
1
?r2
|
时，两圆内含。
如：双曲线
x
2
y
2< br>a
2
?
b
2
?1
的左焦点为F
1
， 顶点为A
1
、A
2
，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段
PF
1
、A
1
A
2
为直径的两圆位置关系为 ____
12、圆的切线与弦长：
(1)切线：
①过圆
x
2
?y
2
?R
2
上一点
P(x
0
,y
0
)
圆的切线方程是：
xx
0
?yy
0
?R
2
，
过圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?R
2< br>上一点
P(x
0
,y
0
)
圆的切线方程是：
(x?a)(x
0
?a)?(y?a)(y
0
?a)?R
2
，
一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；
②从圆外一点引圆的 切线一定有两条：可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆
心到直线的距离等于半径 ）来求；
③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的 圆，该圆
与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；
④切线长：过圆
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
（
(x?a)
2
?( y?b)
2
?R
2
）外一点
P(x
0
,y
0
)
所引圆的切线
的长为
x
22
0
?y
0
?Dx
0
?Ey
0
?F
（
(x
2
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?R
）；
如：设A为圆
(x?1)
2
?y
2
?1
上动点，P A是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为______________；
（2）弦长问题 ：
①圆的弦长的计算：常用弦心距
d
，弦长一半
1
2
a< br>及圆的半径
r
所构成的直角三角形来解：
r
2
?d
2
?(
1
2
a)
2
；
②过两圆
C
1
:f(x,y)?0
、
C
2
:g(x,y)?0
交点的圆 (公共弦)系为：
f(x,y)?
?
g(x,y)?0
，当
?
??1
时，
方程
f(x,y)?
?
g(x,y)?0
为两 圆公共弦所在直线方程.。
注：解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如 半径、半弦长、弦心距构成
直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!
精练：
1．直线L
1
的倾斜角
?
1
=30
０
，直线

L
1
?
L
2
，则L
2
的斜率为 ；
2．直线
x?2y?3?0
与圆
(x?2)
2
?(y? 3)
2
?9
交于Ｅ、F两点，则
?
EOF（O为原点）的面积为
；
3．与直线
7x?24y?5
平行，并且距离等于3的直线方程是 ；
4．已知点M（a，b）在直线
3x?4y?15
上，则
a
2< br>?b
2
的最小值为 ；
5．圆
x
2
?y
2
?4x?4y?6?0
截直线
x?y?5?0
所得的 弦长为 ；

6．经过两条直线
l
1
：
3x?4y?2?0
与
l
2
：
2x?y?2?0
的 交点
P
，且垂直于直线
l
3
：
x?2y?1?0

直线
l
的方程是
7．已知圆心为< br>C
的圆经过点
A
（0，
?6
），
B
（1，< br>?5
），且圆心在直线
l
：
x?y?1?0
上，则圆
C

的标准方程是
8．三角形ABC的顶点 是A（-1，-1），B（3，1），C（1，6）。直线L平行于AB，且分别交AC，BC

于E，F，三角形CEF的面积是三角形CAB面积的
1
；则直线L的 方程是
4
9．过点（２，３）的直线Ｌ被两平行直线
l
1
：２ｘ－５ｙ＋９＝０与
l
2
：２ｘ－５ｙ－７＝０所截线段ＡＢ的中点恰在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，求直线Ｌ的方程。










10．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，已 知ＡＢ＝３ＡＤ，Ｅ，Ｆ为ＡＢ的两个三等分点，ＡＣ，ＤＦ交于
点Ｇ，建立适当的直角坐标系，证明： ＥＧ
?
ＤＦ