最新高一数学圆与方程难题练习(含解析)培优专题

培优专题:高一数学圆与方程难题练习

第Ⅰ卷（选择题）

评卷人

得 分





一．选择题（共2小题）

1．已知圆
到（ 4，0）的距离的最小值为
到直线
，考虑下列命题：①圆C上的点
；②圆C上存在点P 到点的距离与
的距离相等；③已知点，在圆C上存在一点P，使得
以AP为直径的圆与直线A．0

2．已知点A（
B．1 C．2
相切，其中真命题的个数为（ ）

D．3

，0）和P（，t） （t∈R）．若曲线x=上存在点B
使∠APB=60°，则t的取值范围是（ ）

A．（0，1+
C．[﹣1﹣



] B．[0，1+
，1+] D．[﹣1﹣
]
]

，0）∪（0，1+
1

第Ⅱ卷（非选择题）

评卷人

得 分





二．填空题（共17小题）

3．正方体 ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的外接球的 表面积为12π，E为球心，F为C
1
D
1
的中点．点M在该正方体的表面上 运动，则使ME⊥CF的点M所构成的轨
迹的周长等于 ．


4． 圆心为两直线x+y﹣2=0和﹣x+3y+10=0的交点，且与直线x+y﹣4=0相切
的圆的标准 方程是 ．


5．已知扇形内切圆半径与扇形半径之比为1：3，则内切圆面积与扇形面积
之比为 ．


6．由直线y=x﹣1上的一点向圆x
2
+（y﹣2）
2
=1引切线，则切线长（此点到
切点的线段长）的最小值为 ．


7．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C
1
：（x+2）
2+（y﹣3）
2
=9和圆C
2
：（x
﹣4）
2
+（y﹣3）
2
=9．

（1）若直线l过点A（﹣5，1），且被圆C1
截得的弦长为
方程；

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的 无穷多对互相垂直的直线l
1
和l
2
，它们分别与圆C
1
和 圆C
2
相交，且直线l
1
被圆C
1
截得的弦长与直线l2
被圆C
2
截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．


8．已知圆C：x
2
+y
2
﹣6x+8=0，则圆心C的坐标为 ；若直线y=kx与圆
C相切，且切点在第四象限，则k= ．






2

，求直线l的

9．已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线
4x+3y﹣29=0相 切．

（1）求圆C的方程；

（2）设直线ax﹣y+5=0与圆C相交于A，B两点，求实数a的取值范围；

（ 3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l
垂直平分弦AB？若存在， 求出实数a的值；若不存在，请说明理由．


10．如图所示的三棱锥A﹣BCD中 ，∠BAD=90°，AD⊥BC，AD=4，AB=AC=2，
∠BAC=120°，若点P为△AB C内的动点满足直线DP与平面ABC所成角的正
切值为2，则点P在△ABC内所成的轨迹的长度为 ．



11．函数y=log
a
（x﹣1）+3（a＞0 ，a≠1）的图象恒过定点A，过点A的直
线l与圆（x﹣1）
2
+y
2=1相切，则直线l的方程是 ．


12．已知定点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0），动点P满
足：?=k||
2
，

（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；

（2）当k=2，求|2

13．已知点A（4，0）、B（2，1），点M在圆x< br>2
+y
2
=4上运动，则
的最小值为 ．







3

+|的最大，最小值．

14．如图，梯形ABCD的底边 AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|=
|CD|=2﹣，AC⊥BD，M为CD的中点．
，
（1）求点M的轨迹方程；

（2）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数λ
0
，使
点到A、B 的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；

（3）过的直线与轨迹E交于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值．

，且P


15．过椭圆2x
2
+y
2
﹣ 10=0在第一象限内的点P作圆x
2
+y
2
=4的两条切线，当
这 两条切线垂直时，点P的坐标是 ．


16．已知平面区域
2
恰好被面积最小的⊙C：（x﹣a）
2
+ （y﹣b）
=r
2
及其内部所覆盖．

（1）试求⊙C的方程．

（2）若斜率为1的直线l与⊙C交于不同的两点A、B， 且满足CA⊥CB，求
直线l的方程．


17．已知（x
0
，y
0
）是直线x+y=2k﹣1与圆x
2
+y
2
=k< br>2
+2k﹣3的交点，则x
0
y
0
的
取值范围为[< br>




4

，]．

18．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（﹣1，1），P是动点，且△ POA的
三边所在直线的斜率满足k
OP
+k
OA
=k
PA

（1）求点P的轨迹C的方程

（2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且
点M．

问：是否存在点P，使 得△PQA和△PAM的面积满足S
△
PQA
=2S
△
PAM
？若存在，
求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

=λ，直线OP与QA交于


19．已知两点M（﹣1，0），N（1，0）且点P使
等差数列．

（1）若P点的轨迹曲线为C，求曲线C的方程；

（2）从定点A（2，4）出发向 曲线C引两条切线，求两切线方程和切点连线
的直线方程．














5

成

评卷人

得 分





三．解答题（共20小题）
20．已知点F
1
（﹣，0），圆F
2
：（x﹣）
2
+ y
2
=16，点M是圆上一动点，
MF
1
的垂直平分线与MF
2
交于点N．

（1）求点N的轨迹方程；

（2）设点N的轨迹 为曲线E，过点P（0，1）且斜率不为0的直线l与E交
于A，B两点，点B关于y轴的对称点为B′ ，证明直线AB′过定点，并求△PAB′
面积的最大值．




21．已知点C为圆（x+1）
2
+y
2
=8的圆心，P是圆上的动 点，点Q在圆的半径
CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足?=0，=2．

（Ⅰ）当点P在圆上运动时，判断Q点的轨迹是什么？并求出其方程；

（Ⅱ）若斜率 为k的直线l与圆x
2
+y
2
=1相切，与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交
于不同的两点F，H，且
围．




22．已知圆C： （x+1）
2
+y
2
=8，过D（1，0）且与圆C相切的动圆圆心为P．< br>
（1）求点P的轨迹E的方程；

（2）设过点C的直线l
1
交曲线E于Q，S两点，过点D的直线l
2
交曲线E于
R，T两点，且l
1
⊥l
2
，垂足为W（Q，R，S，T为不同的四个点）．

①设W（ x
0
，y
0
），证明：
②求四边形QRST的面积的最小值




6

≤?≤（其中O是坐标原点）求k的取值范
；

2 3．已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y﹣6=0切于点E（，n）．圆P：
x
2< br>+（a+3）x+y
2
﹣ay+2a+2=0

（1）求圆C的标准方程；

（2）已知a＞1，圆P与x轴相交于两点M，N（点M 在点N的右侧）．过点
M任作一条倾斜角不为0的直线与圆C相交于A，B两点．问：是否存在实
数a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理
由．




24．已知圆C过坐标原点O，且与x轴，y轴分别交于点A，B，圆 心坐标C
（t，）（t∈R，t≠0）

（1）求证：△AOB的面积为定值；

（2）直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；

（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，
求|PB |+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．




25．求圆心在 直线l
1
：x﹣y﹣1=0上，与直线l
2
：4x+3y+14=0相切，截 直线l
3
：
3x+4y+10=0所得的弦长为6的圆的方程．




26．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为x
2
+y
2
=4，点M（2，﹣3）．

（1）求过点M且与圆C相切的直线方程；

（2）过点M任作一条直线与圆C交于A ，B两点，圆C与x轴正半轴的交
点为P，求证：直线PA与PB的斜率之和为定值．




7

27．已知圆C： （x﹣3）
2
+（y﹣4）
2
=4，直线l
1
过定点A（1 ，0）．

（1）若l
1
与圆相切，求l
1
的方程；

（2） 若l
1
与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l
1
与l
2
：x+2y+2=0
的交点为N，判断AM?AN是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请 说
明理由．




28．已知圆C：（x﹣3）
2
+（y﹣4）
2
=4和直线l：x+2y+2=0，直线m，n都经
过圆C 外定点A（1，0）．

（Ⅰ）若直线m与圆C相切，求直线m的方程；

（ Ⅱ）若直线n与圆C相交于P，Q两点，与l交于N点，且线段PQ的中点
为M，求证：|AM|?|A N|为定值．




29．在平面直角坐标系xOy中，圆C的半 径为1，其圆心在射线y=x（x≥0）
上，且．

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．






8

30．已知圆C： x
2
+y
2
﹣2x+4my+4m
2
=0，圆C
1
：x
2
+y
2
=25，以及直线l：3x﹣4y
﹣15=0 ．

（1）求圆C
1
：x
2
+y
2
=25 被直线l截得的弦长；

（2）当m为何值时，圆C与圆C
1
的公共弦平行于直线l；

（3 ）是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点P（2，0）距离
等于弦AB长度的一半？若存 在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由．





3 1．已知平面内一动点P在x轴的上方，点P到F（0.1）的距离与它到y轴
的距离的差等于1．
（1）求动点P轨迹C的方程；

（2）设A，B为曲线C上两点，A与B的横坐标之和为4．

①求直线AB的斜率； ②设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB
平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．






2
32．已知圆M：x
2+（y﹣2）=1，Q是x轴上的点，QA，QB分别切圆M与A，
B两点．

（1）若|AB|=，求|MQ|的长度及直线MQ的方程；

（2）求证：直线AB恒过定点．







9

33．已知圆O：x
2
+y
2
=2，直线l过点，且OM⊥l，P（x
0
，y
0
） 是直
线l上的动点，线段OM与圆O的交点为点N，N'是N关于x轴的对称点．

（1）求直线l的方程；

（2）若在圆O上存在点Q，使得∠OPQ=30°，求x
0
的取值范围；

（3）已知A，B是圆O上不同的两点，且∠ANN'=∠BNN'，试证明直线AB
的斜率为 定值．






34．已知圆C：x
2
+y
2
+2x+8y﹣8=0．
< br>（1）判断圆C与圆D：x
2
+y
2
﹣4x﹣4y﹣1=0的位置关系 ，并说明理由；

（2）若圆C关于过点P（6，8）的直线l对称，求直线l的方程．





35．已知点M（x，y）是平面直角坐标系中的动点，若A（﹣4，0），B（ ﹣1，
0），且△ABM中|MA|=2|MB|．

（Ⅰ） 求点M的轨迹C的方程及求△ABM的周长的取值范围；

（Ⅱ） 直线MB与轨迹C的另一交点为M'，求



10

的取值范围．

36．在平面直角坐标系xOy中，已知E ：（x+）
2
+y
2
=16，点F（，0），
点P是圆E上任意一点 ，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q．记动
点Q的轨迹为C，另有动点M（x，y）（x≥0 ）到点N（2，0）的距离比它到
直线x=﹣1的距离多1，记点M的轨迹为C
1
，轨 迹C
2
的方程为x
2
=y

（1）求轨迹C和C
1
的方程

（2）已知点T（﹣1，0），设轨 迹C
1
与C
2
异于原点O的交点为R，若懂直线
l与直线OR垂直， 且与轨迹C交于不同的两点A、B，求
（3）在满足（2）中的条件下，当




37．平面内一个点与一条曲线上的任意点的距离的最小值，称为这个点到这条曲线的距离．例如椭圆的右焦点（4，0）到椭圆的距离为1．

的最小值

取得最小值时，求△TAB的面积．

（I）写出点A（3，5），点B（1，2）到 圆x
2
+y
2
+2x﹣4y﹣4=0的距离；

（II）如 图，已知直线l与圆C相离，圆C的半径是2，圆心C到直线l的距
离为4．请你建立适当的平面直角坐 标系，求与直线l和圆C的距离相等的
动点P的轨迹方程．








11

38 ．已知△ABC中，点A（﹣1，0），B（1，0），动点C满足|CA|+|CB|=λ|AB|
（ 常数λ＞1），C点的轨迹为Γ．

（Ⅰ） 试求曲线Γ的轨迹方程；

（Ⅱ） 当λ=时，过定点B（1，0）的直线与曲线Γ相交于P，Q两点，N
是曲线Γ上不同 于P，Q的动点，试求△NPQ面积的最大值．







39．如图，在x轴上方有一段曲线弧C，其端点A、B在x轴上（但不属于C），
对C上任一点P及点F
1
（﹣1，0），F
2
（1，0），满足：
线 AP，BP分别交直线l：x=a（a＞
（Ⅰ）求曲线弧C的方程；

（Ⅱ）求|RT|的最小值（用a表示）．

）于R，T两点．

．直




12

2018年08月14日158****2115的高中数学组卷

参考答案与试题解析



一．选择题（共2小题）
1．已知圆
到（4，0）的距离的最小值为
到直线
，考虑下列命题：①圆C上的点
；②圆C上存在点P到点的距离与
的距离相等；③已知点，在圆C上存在一点P，使得
以AP为直径的圆与直线
A．0 B．1 C．2
相切，其中真命题的个数为（ ）

D．3

【解答】解：对于①，动圆圆心与（4，0）的距离减去圆的半径为：

=
∴①不正确，

，

对于②，已知动圆C的圆心（a2
，2a）的轨迹方程为：y
2
=2x，

∴动圆C构成的轨迹为夹在抛物线y
2
=2x﹣
（包括边界），
< br>抛物线y
2
=2x+是以点（，0）为焦点以直线x=﹣为准线的抛物线方程，

的距离相等，

和抛物线y
2
=2x+之间的部分
∴圆C上 有且只有一点P到点（，0）的距离与到直线x=﹣
这个点就是抛物线y
2
=2x+< br>对于③，A（
线x=相切．

，0）的距离减去圆的半径为：

=
当且仅当a=0时等号成立．

此时在圆C上有且只有一点P（
切．∴③正确．

，

上的点．∴②正确，

，0），在圆C上有且只有一点P，使得以AP为直径的圆与直
动圆圆心与（
，0），使得以AP为直径的圆与直线x=相
1

∴真命题的个数为2．

故选：C．



2．已知点A（，0）和P（，t）（t∈R）．若曲线x=上存在点B
使∠APB =60°，则t的取值范围是（ ）

A．（0，1+
∪（0，1+
] B．[0，1+
]

，即x
2
+y
2
=3（0≤x
=
．

），如图所示的半圆，

，解得t=1+，

] C．[﹣1﹣，1+] D．[﹣1﹣，0）
【解答】解：曲线x=
取B（0，）时，∵∠AP B=60°，∴k
PB
=
，0）∪利用圆的对称性可得：
故选：D．




二．填空题（共17小题）

3．正方体ABCD﹣ A
1
B
1
C
1
D
1
的外接球的表面积为1 2π，E为球心，F为C
1
D
1
的中点．点M在该正方体的表面上运动，则使 ME⊥CF的点M所构成的轨
迹的周长等于 ．

【解答】解：正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的外接球的表面积为12 π，正方体的体
对角线的长为：2；

所以正方体的棱长为：2．

E为球心，F为C
1
D
1
的中点．点M在该正方体的表面上运动，则使ME⊥ CF
的点M所构成的轨迹是图形中的红色线；

点M所构成的轨迹的周长等于：2×2
故答案为：．

=4+2．

2

4．圆心为两直线x+y﹣2 =0和﹣x+3y+10=0的交点，且与直线x+y﹣4=0相切
的圆的标准方程是 （x﹣4）
2
+（y+2）
2
=2 ．

【解答】解：联立
∴圆心坐标为：（4，﹣2）．

∵圆与直线x+y﹣4=0相切，

∴圆心（4，﹣2）到直线x+y﹣4=0的距离为
∴圆的半径为．

，

，解得，

∴圆的标准方程为（x﹣4）
2
+（y+2）
2
=2，

故答案为：（x﹣4）
2
+（y+2）
2
=2．



5．已知扇形内切圆半径与扇形半径之比为1：3，则内切圆面积与扇形面积
之比为 2：3 ．

【解答】解：如图，由OD与圆O′相切，连接O′B得到O′B⊥OD

两半径之比为1：3，即OA：O′B=3：1，

∴OO′：O′B=2：1．

∴
所以
，

．

因为S
圆
=π×（O′B）
2
，S
扇
=
则=6×

=6×=2：3

3

故答案为：2：3




6． 由直线y=x﹣1上的一点向圆x
2
+（y﹣2）
2
=1引切线，则切线长（ 此点到
切点的线段长）的最小值为 ．

【解答】解：∵圆x
2
+ （y﹣2）
2
=1的圆心为C（0，2），半径r=1

∴圆心C到直线y=x﹣1的距离为d==

当点P在直线y=x﹣1上运动时，P与圆心C在直线上的射影重合时，

切线长达到最小值．设切点为A，得

Rt△PAC中，PA==

即切线长（此点到切点的线段长）的最小值为
故答案为：

．




7．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C
1
：（x +2）
2
+（y﹣3）
2
=9和圆C
2
：（x
﹣4 ）
2
+（y﹣3）
2
=9．

（1）若直线l过点A（﹣5 ，1），且被圆C
1
截得的弦长为
方程；

（2）设P为平面上的点 ，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l
1
和l
2
，它们分别与圆C
1
和圆C
2
相交，且直线l
1
被圆C
1
截 得的弦长与直线l
2
被圆C
2
截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐 标．

4
，求直线l的

【解答】解：（1）设l 方程为：y﹣1=k（x+5），圆C
1
的圆心到直线l的距离
为d，则

∵l被圆C
1
截得的弦长为
∴d=2，

∴d==2，

，

从而k（5k﹣12）=0，即k=0或k=

∴直线l的方程为：y=1或5x﹣12y+37=0；

（2）设点P（a，b）满足条件，

由题意分析可得直线l
1
、l
2
的斜率均存在且不为0，

不妨设直线l
1
的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0

则直线l
2
方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）（6分）

∵⊙C
1
和⊙C
2
的半径相等，及直线l
1
被圆C
1
截 得的弦长与直线l
2
被圆C
2
截
得的弦长相等，

∴⊙C
1
的圆心到直线l
1
的距离和圆C
2
的圆心到直线l
2
的距离相等

即

整理得k（a+b）+a﹣b﹣1=0或（a﹣b+4）k+7﹣ab=0，

∵k的取值有无穷多个，

∴或

解得或，

这样 的点只可能是点P
1
（，﹣
经检验点P
1
和P
2
满 足题目条件．



）或点P
2
（，）

8．已知圆C：x
2
+y
2
﹣6x+8=0，则圆心C的坐标为 （3，0） ；若直线y=kx
与圆C相切，且切点在第四象限，则k= ．

【解 答】解：圆C化为标准方程为（x﹣3）
2
+y
2
=1，

∴圆心坐标为（3，0），半径r=1，

5

∵直线y=kx与圆C相切，

∴圆心到切线的距离d=r，即
解得：k=
则k=﹣
=1，

，

（不合题意舍去）或k=﹣
．


故答案为：﹣


9．已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是 整数，且与直线
4x+3y﹣29=0相切．

（1）求圆C的方程；

（2）设直线ax﹣y+5=0与圆C相交于A，B两点，求实数a的取值范围；

（ 3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l
垂直平分弦AB？若存在， 求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设圆心坐标为（a，0），则

∵圆与直线4x+3y﹣29=0相切，∴5=
∵圆心的横坐标是整数，∴a=1

∴圆C的方程为（x﹣1）
2
+y
2
=25；

（ 2）由题意，圆心到直线的距离为d=
∴12a
2
﹣5a＞0，∴a＜0或a＞
（3）假设存在，则PC⊥AB，∴
∵＞
∴a=


10．如图所 示的三棱锥A﹣BCD中，∠BAD=90°，AD⊥BC，AD=4，AB=AC=2，
，

；

=﹣1，∴a=

，∴a=1或a=13.5

＜5

时，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB

∠B AC=120°，若点P为△ABC内的动点满足直线DP与平面ABC所成角的正
切值为2，则点P在 △ABC内所成的轨迹的长度为 ．

6

【 解答】解：因为∠BAD=90°，所以AD⊥AB，又AD⊥BC，且AB∩BC=B，所
以AD⊥平 面ABC．在平面ABC内，取点P，连PA，则∠DPA是DP与平面ABC
所成角．
又因为AD=4，所以直线DP与平面ABC所成角的正切值为2，须AP=2，即点
P在△ABC 内所成的轨迹是以A为圆心，半径为2的圆的一部分．

而∠BAC=120°=
故答案为：


11．函数y=loga
（x﹣1）+3（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，过点A的直
线l与圆（x﹣1）
2
+y
2
=1相切，则直线l的方程是 4x﹣3y+1=0或x=2 ．

【解答】解：当x﹣1=1，即x=2时，y=log
a
1+3=3，即 函数过定点A（2，3）．

由圆的方程可得圆心C（1，0），半径r=1，

当切线l的斜率不存在时，直线方程为x=2，此时直线和圆相切，

当直线斜率k存在时，直线方程为y﹣3=k（x﹣2），

即kx﹣y+3﹣2k=0，

圆心（1，0）到直线的距离d=
即|k﹣3|=，

，

．

，故点P在△ABC内所成的轨迹的长度为=．

平方的k
2
﹣6k+9=1+k
2
，

即k=，此时对应的直线方程为4x﹣3y+1=0，

综上切线方程为4x﹣3y+1=0或x=2．

故答案为：4x﹣3y+1=0或x=2．



12．已知定点A （0，1），B（0，﹣1），C（1，0），动点P满足：
|
2
，

（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；

7
?=k|

（2）当k=2，求|2+|的最大，最小值．

，．

【解答】解：（1）设P（x，y），
当k=1时，由?=k||2
，得x
2
+y
2
﹣1=（1﹣x）
2
+y< br>2
，

整理得：x=1，表示过（1，0）且平行于y轴的直线；

当k≠1时，由
整理得：
为半径的圆．

（2）当k=2时，方程化 为（x﹣2）
2
+y
2
=1，即x
2
+y
2
=4x﹣3，

∵2
∴
∴=
，

，又x
2
+y
2
=4x﹣3，

．
?=k|
=
|
2
，得x
2
+y
2
﹣1 =k（1﹣x）
2
+ky
2
，

，表示以点为圆心，以
问题归结为求6x﹣y的最值，令t=6x﹣y，

∵ 点P在圆（x﹣2）
2
+y
2
=1，圆心到直线t=6x﹣y的距离不大于圆 的半径，

∴
∴


13．已知点A（4，0）、B（2， 1），点M在圆x
2
+y
2
=4上运动，则
的最小值为 ．

，解得12﹣
．

．

【解答】解：如图，取点K（1，0），连接OM、MK、BK．

∵OM=2，OA=4，OK=1，

∴==，∵∠MOK=∠AOM，

==，

∴△MOK∽△AOM，∴
∴MK=MA，

∴|MB|+|MA|=|MB|+|MK|，

在△MBK中，|MB|+|MK|≥|BK|，

∴|MB|+|MA|=|MB|+|MK|的最小值为|BK|的长，

8

∵B（2，1），K（1，0），

∴|BK|=
故答案为：．

=．




14．如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|=
|CD|= 2﹣，AC⊥BD，M为CD的中点．

，
（1）求点M的轨迹方程；

（2）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数λ
0
，使
点到A、B 的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；

（3）过的直线与轨迹E交于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值．

，且P

【解答】解：（1）设点M的坐标为M（x，y）（x≠0），则
．

又
由AC⊥BD，有
．

，即（x，y﹣1）?（x，y+1）=0，

9

∴x
2
+y
2
=1（x≠0）；

（2）设P（x ，y），则M（（1+λ
0
）x，y），代入M的轨迹方程有
．

即，

∴P的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）．

要P到A、B 的距离之和为定值，则以A、B为焦点，故
∴λ
0
=2．

从而所求P的轨迹方程为9x
2
+y
2
=1（x≠0）；

（3）由题意知l的斜率存在，设方程为
联立9x
2
+y
2
=1，有
设P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y2
），

则
∴
．

．

．

．

．

令t=k
2
+9，则，且t≥9．

∴
∵t≥9，

∴
∴当


．

，

，即t=9，也即k=0时，△OPQ面积取最大值，最大值为．

15．过椭圆2x
2
+y
2
﹣10=0在第一象限内的点P作圆x
2
+y2
=4的两条切线，当
这两条切线垂直时，点P的坐标是
【解答】解：如图所示，

设点P（m，n）分别与圆x
2
+y2
=4相切于点M，N．连接OM，ON，OP．

∵PM⊥PN，OM⊥MP，ON⊥NP，OM=ON．

10
．

∴四边形OMPN是正方形．

∴|OP|=
联立
∴P
故答案为：
．

．

r=．

，m＞0，n＞0，解得．




16．已知平面区域
2
恰好被面积最小的⊙C：（x﹣a）
2
+ （y﹣b）
=r
2
及其内部所覆盖．

（1）试求⊙C的方程．

（2）若斜率为1的直线l与⊙C交于不同的两点A、B， 且满足CA⊥CB，求
直线l的方程．

【解答】解：（1）画出平面区域，如图所示的直角△OMN，

恰好被面积最小的 ⊙C：（x﹣a）
2
+（y﹣b）
2
=r
2
及其内部所覆盖 ，则⊙C是
△OMN的外接圆．

由x+2y﹣4=0与x轴相交于点M（4，0），与y轴相交于点N（0，2）．

∴|MN|==2．

，圆心为斜边MN的中点C（2，1）．

因 此Rt△OMN的外接圆的直径为
故⊙C的方程为：（x﹣2）
2
+（y﹣1）
2
=5．

（2）设直线l的方程为y=x+m，

交点A（x< br>1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）．

11

联立，化为2x
2
+2（m﹣3）x+m
2
﹣2m=0．

∵直线l与⊙C有两个不同的交点，∴△＞0，化为＞m
2
+2m﹣9＜0．（*）< br>
∴x
1
+x
2
=3﹣m，
∵CA⊥CB．

∴=（x
1
﹣2，y
1
﹣1）?（x
2
﹣2，y< br>2
﹣1）=（x
1
﹣2）（x
2
﹣2）+（y
1﹣1）
．

（y
2
﹣1）=x
1
x
2
﹣2（x
1
+x
2
）+4+（x
1
+m﹣1）（x
2
+m﹣1）

=2x
1
x
2
+（m﹣3 ）（x
1
+x
2
）+（m﹣1）
2
+4=0．
< br>代入可得m
2
﹣2m+（m﹣3）（3﹣m）+（m﹣1）
2
+4=0 ，化为m
2
+2m﹣4=0，
解得m=．满足（*）．

．

∴满足条件的直线l的方程为y=x+



17．已知（x
0
，y
0
）是直线x+y=2k﹣1与圆x
2
+y
2=k
2
+2k﹣3的交点，则x
0
y
0
的
取值 范围为[，]．

【解答】解：∵直线x+y=2k﹣1与圆x
2
+y
2
=k
2
+2k﹣3

∴圆心（0.0）到直线的距离d=
解得


又∵圆x
2< br>+y
2
=k
2
+2k﹣3，∴k
2
+2k﹣3＞0< br>
解得，k＜﹣3，或k＞1

∴k的取值范围为

∵（x< br>0
，y
0
）是直线x+y=2k﹣1与圆x
2
+y
2
=k
2
+2k﹣3的交点，

∴x
0
+y
0
=2k﹣1，①x
0
2
+y
0
2
=k
2
+2k﹣3②

①
2
﹣②，得，2x
0
y
0
=3k
2
﹣6k+4

12

当
∴当k=
当k=
时，2x
0
y
0
=3k
2
﹣6k+4是k的增函数

，x
0
y
0
有最小值 为
，x
0
y
0
有最大值为
，
，]



∴x
0
y
0
的取值范围为[
故答案为：[


]

18．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（﹣1，1），P是动点 ，且△POA的
三边所在直线的斜率满足k
OP
+k
OA
=k
PA

（1）求点P的轨迹C的方程

（2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且
点M．

问：是否存在点P，使 得△PQA和△PAM的面积满足S
△
PQA
=2S
△
PAM
？若存在，
求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

=λ，直线OP与QA交于

【解答】解：（1）设点P（x，y）．∵k
O P
+k
OA
=k
PA
，∴
（x≠0，﹣1）．即为点P的轨 迹方程．

（2）假设存在点P
满足

S
△
PQA
=2S
△
PAM
，

①如图所示，点M为线段AQ的中点．

∵=λ，∴PQ∥OA，得k
PQ
=k
AO
=﹣1．
，Q
，化为y=x
2
．使得△PQA和△PAM的面积
∴，解得．

此时P（﹣1，1），Q（0，0）分别与A，O重合，因此不符合题意．

13

故假设不成立，此时不存在满足条件的点P．

②如图所示 ，当点M在QA的延长线时，由S
△
PQA
=2S
△
PAM
，

可得
∵=λ
，

，∴，PQ∥OA．

由PQ∥OA，可得k
PQ
=k
AO
=﹣1．

设M（m，n）．

由，，

可得：﹣1﹣x
2
=2（m+1），﹣x
1
=2m，

化为x
1
﹣x
2
=3．

联立，解得，

此时，P（1，1）满足条件．

综上可知：P（1，1）满足条件．





19．已知两点M（﹣1，0），N（1，0）且点P使
14
成

等差数列．

（1）若P点的轨迹曲线为C，求曲线C的方程；

（2）从定点A（2，4）出发向 曲线C引两条切线，求两切线方程和切点连线
的直线方程．

【解答】解：（1）设动点P（x，y），

则
，

，
于是由

，

得：2（x
2
+y
2
﹣1）=2（1+x）+2（1﹣x），

化简得：x
2
+y
2
=3即为所求的轨迹方程；

（2）设切线方程为y﹣4=k（x﹣2），即kx﹣y+4﹣2k=0，

由
所以切线方程为：
，

，

，

设M、N为对应切线的切点，则0A
2
=OM
2
+AM
2
，所以
所以以A为圆心AM为半径作圆其方程为（x﹣2）
2
+（y﹣4）
2
=17，

则MN即为两圆的公共弦，

所以两圆方程相减得到公共弦MN方程为：2x+4y﹣3=0．



三．解答题（共20小题）

20．已知点F
1
（﹣，0），圆F< br>2
：（x﹣）
2
+y
2
=16，点M是圆上一动点，
MF
1
的垂直平分线与MF
2
交于点N．

（1）求点N的轨迹方程；

（2）设点N的轨迹为曲线E，过点P（0，1）且斜率 不为0的直线l与E交
于A，B两点，点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点，并求△P AB′
面积的最大值．

【解答】解：（1）圆F
2
：（x﹣）2
+y
2
=16，圆心为（，0），半径为4，

由垂直平分线的性质得：|NF
1
|=|NM|，

∴|NF
1
|+|NF
2
|=|MN|+|NF
2
|=|MF
2< br>|=4，

又|F
1
F
2
|=2，

15

∴点N的轨迹是以F
1
，F
2为焦点，长轴长等于4的椭圆，

∴2a=4，2c=2
即a=2，c=，

，

∴b
2
=a
2
﹣c
2
=4﹣2=2，

∴点N的轨迹方程是+=1；

（2）证明：设直线AB：y=kx+1，（k≠0），

设A，B两点的坐标分别为 （x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），则B ′（﹣x
2
，y
2
），

联立直线AB与椭圆得
得 （1+2k
2
）x
2
+4kx﹣2=0，

显然△=16k
2
+8（1+4k
2
）＞0，

∴ x
1
+x
2
=﹣
∴k
AB′
=，

，x
1
x
2
=﹣，

，

∴直线AB′：y﹣y
1
=（x﹣x
1
），

∴令x=0，得y===+1=2，

∴直线AB′过定点Q（0，2），

∴△PAB′的面积S=|PQ|?|x
1
+x
2
|==≤=，
当且仅当k=±时，等号成立．

．

∴△PAB′的面积的最大值是


21．已知点C为圆（x+1）
2
+y
2
=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径
CP上，且有点A（ 1，0）和AP上的点M，满足?=0，=2．

（Ⅰ）当点P在圆上运动时，判断Q点的轨迹是什么？并求出其方程；

（Ⅱ）若斜率 为k的直线l与圆x
2
+y
2
=1相切，与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交
于不同的两点F，H，且≤?≤（其中O是坐标原点）求k的取值范
16

围．

【解答】解：（Ⅰ）由题意知MQ是线段AP的垂直平分线，

所以|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2＞|CA|=2，

的椭圆，

所以点Q的轨迹是以点 C，A为焦点，焦距为 2，长轴为2
∴a=，c=1，b==1，

+y
2
=1；

故点Q的轨迹方程是
（Ⅱ）设直线l：y=kx+b，F（x
1
，y
1
），H（x
2
，y
2
），

直线l与圆x
2
+y
2
=1相切，

故=1，解得：b
2
=k
2
+1，

联立，

故（1+2k
2
）x
2
+4kbx+2b
2
﹣2=0，

△=16k
2
b
2
﹣4（ 1+2k
2
）（b
2
﹣1）=8（2k
2
﹣b
2< br>+1）=8k
2
＞0，

故k≠0，x
1
+x
2
=﹣
?
=
，x
1
x
2
=，

=x
1
x
2
+y
1
y
2
=（1+ k
2
）x
1
x
2
+kb（x
1
+x
2
）+b
2

﹣+k
2
+1

=，

所以≤
∴≤k
2
≤
故
故﹣
，

≤，

≤|k|≤
≤k≤﹣
，

或
，﹣
≤k≤
]∪[
，

，]．

故所求范围为[﹣


22．已知圆C：（x+1）
2
+y
2
=8，过D（1，0）且与圆C相切的动圆圆心为P．

17

（1）求点P的轨迹E的方程；

（2）设过点C的直线l
1
交曲线E于Q，S两点，过点D的直线l
2
交曲线E于
R，T两点 ，且l
1
⊥l
2
，垂足为W（Q，R，S，T为不同的四个点）．

①设W（x
0
，y
0
），证明：
②求四边形QRST的面积 的最小值

【解答】（1）解：设动圆半径为r，

则
由椭圆定义可知，点P的轨迹E是椭圆，

其方程为．（2分）

，

；

（2）①证明：由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上，

则有，

又因Q，S，R，T为不同的四个点，

．（4分）

②解：若l< br>1
或l
2
的斜率不存在，四边形QRST的面积为2．（6分）

若两条直线的斜率存在，设l
1
的斜率为k
1
，

则l
1
的方程为y=k
1
（x+1），

联立，

得（2k
2
+1）x
2
+4k
2
x+2k
2
﹣2=0，

则，（8分）

同理得，

∴，

当且仅当2k
2
+1=k
2
+1，即k=±1时等号成立．（11分）

综上所述，当k=±1时，四边形QRST的面积取得最小值为．（12分）

18

23．已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y ﹣6=0切于点E（，n）．圆P：
x
2
+（a+3）x+y
2
﹣a y+2a+2=0

（1）求圆C的标准方程；

（2）已知a＞1，圆P与 x轴相交于两点M，N（点M在点N的右侧）．过点
M任作一条倾斜角不为0的直线与圆C相交于A，B 两点．问：是否存在实
数a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理
由．

【解答】解：（1）设圆心C的坐标为（t，0），由点E在直线l上，知：E（
）． …（1分）

，
则，又k
l
=﹣，k
CE
?kl
=﹣1，则t=﹣1 …（3分）

故C（﹣1，0），所以|CE|=2，即半径r=2．

故圆C的标准方程为（x+1）
2
+y
2
=4…（4分）

（2）假设这样的a存在，在圆P中，令y=0，得：x
2
+（a+3）x+2（a+ 1）=0

解得：x
1
=﹣2或x
2
=﹣a﹣1，又由a＞ 1知﹣a﹣1＜﹣2

所以：M（﹣2，0），N（﹣a﹣1，0）…（6分）
由题可知直线AB的倾斜角不为0，设直线AB：x=my﹣2，A（x
1
，y
1
）、B（x
2
，
y
2
）

由，得（m
2
+1）y
2
﹣2my﹣3=0

∵点M（﹣2，0）在圆C内部，

∴有△＞0恒成立，

则 …（8分）

因为∠ANM=∠BNM，所以k
AN
=﹣k
BN，即+=0，

则+=0，

19

得2my
1
y
2
+（a﹣1）（y
1
+y
2
）=0，

得2m?+（a﹣1）=0，

得m（a﹣4）=0，因为对任意的m∈R都要成立，所以a=4

由此可得假设成立，存在满足条件的a，且a=4 …（12分）



24．已知圆C过坐标原点O，且与x轴，y轴分别交于点A，B，圆心坐标C< br>（t，）（t∈R，t≠0）

（1）求证：△AOB的面积为定值；

（2）直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；

（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，
求|PB |+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

【解答】（1）证明：由题设知，圆C的方程为（ x﹣t）
2
+（y﹣
化简得x
2
﹣2tx+y
2
﹣ y=0，

）
2
=t
2
+，

当y=0时，x=0或2t，则A（2t，0）；

当x=0时，y=0或
∴ S
△
AOB
=
，则B（0，），

|OA|?|OB|=|2t|?||=4为定值．

解：（2）∵|OM|=|ON|，则原点O在MN的中垂线上，

设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，

则直线OC的斜率k=
∴t=2或t=﹣2．

∴圆心为C（2，1）或C（﹣2，﹣1），

∴圆C的方程为（x﹣2）
2
+（y﹣1）
2
=5或（x+2）
2
+（y+1）
2
=5，

由于当圆方程为（x+2）
2
+（y+1）
2
= 5时，直线2x+y﹣4=0到圆心的距离d＞
r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，

∴圆C的方程为（x﹣2）
2
+（y﹣1）
2
=5．

（3）点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2），

则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，

又B′到圆上点Q的最短距离为

|B′C|﹣r=﹣=3﹣=2
20
==，

．

故|PB|+|PQ|的最小值为2，直线B′C的方程为y=x，

）．

则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为（﹣


，﹣
25．求圆心在直线l
1
：x﹣y﹣1=0上，与直线l
2
：4x+3y+1 4=0相切，截直线l
3
：
3x+4y+10=0所得的弦长为6的圆的方程．

【解答】解：由题意，设圆心为C（a，a﹣1），半径为r，

则点C到直线l
2
的距离是

d
1
==；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）

点C到直线l
3
的距离是

d
2
==；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

由题意，得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

解得a=2，r=5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

即所求圆的方程是：

（x﹣2）
2
+（y﹣1）
2
=25．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）



26．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C的方程为x
2
+y
2
=4，点M（2，﹣3）．

（1）求过点M且与圆C相切的直线方程；

（2）过点M任作一条直线与圆C交于A ，B两点，圆C与x轴正半轴的交
点为P，求证：直线PA与PB的斜率之和为定值．

【解答】解：（1）当直线l的斜率不存在时，显然直线x=2与圆相切，

当直线l的斜率存在时，设切线方程为y+3=k（x﹣2），

∵圆心到直线的距离等于半径，

，解得k=﹣，切线方程为：5x+12y+26=0

即过点P（2，﹣3）且与圆C相切的直线l的方程；x=2，或5x+12y+26=0．

（2）依题意可得当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB：y+3=k（x
﹣2 ），代入x
2
+y
2
﹣4=0，

21

整理得（k
2
+1）x
2
﹣（4k
2
+6k）x+4k
2
+12k+5=0；

设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），又P（2，0）< br>
x
1
+x
2
=，x
1
x
2
=，

，

直线PA与PB的斜率之和为

=

=

=

=

=
=


=为定值．


27．已知圆C：（x﹣3）
2
+（y﹣4 ）
2
=4，直线l
1
过定点A（1，0）．

（1）若l
1
与圆相切，求l
1
的方程；

（2） 若l
1
与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l
1
与l
2
：x+2y+2=0
的交点为N，判断AM?AN是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请 说
明理由．

22

【解答】解：（1 ）①若直线l
1
的斜率不存在，即直线x=1，符合题意．（2分）

②若直 线l
1
斜率存在，设直线l
1
为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．< br>
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l
1
的距离等于半径2，

即 解之得 ．

所求直线方程是x=1，3x﹣4y﹣3=0．（5分）

（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx﹣y﹣k=0

由 得 ；

得 ．

又直线CM与l
1
垂直，
∴AM?AN=


为定值．（10分）

28．已知圆C：（x﹣3）
2
+（y﹣4）
2
=4和直线l：x+2y+2=0，直线m，n都经
过圆C外定点A（1，0）．< br>
（Ⅰ）若直线m与圆C相切，求直线m的方程；

（Ⅱ）若直线n与圆C相交 于P，Q两点，与l交于N点，且线段PQ的中点
为M，求证：|AM|?|AN|为定值．

【解答】解：（Ⅰ）①若直线m的斜率不存在，即直线是x=1，符合题意．

②若直线m斜率存在，设直线m为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．

由题意知，圆心（3，4）到已知直线l
1
的距离等于半径2，

即：，解之得．

所求直线方程是x=1，3x﹣4y﹣3=0．

23

（II）用几何法，如图所示，

△AMC∽△ABN，则=，

?=6，

可得|AM|?|AN|=|AC|?|AB|=2
是定值．




29．在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x≥0）
上，且．

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．

【解答】解：（Ⅰ）设C（a，a），a≥0，

∵
∴
．

=a，则a=2，即圆心C（2，2），．

则圆C的标准方程为（x﹣2）
2
+（y﹣2）
2
=1．

（Ⅱ）若直线斜率不存在，

则直线方程为x=1，圆心到直线x=1的距离d=2﹣1=1=r，

此时满足直线和圆相切，

若直线斜率存在，设直线斜率为k，则直线方程为y=k（x﹣1），

即kx﹣y﹣k=0，

∵直线和圆相切，

∴圆心到直线的距离d=
即|k﹣2|=
即k=
==1，

，平方得k
2
﹣4k+4=1+k
2
，

x﹣y﹣=0，即3x﹣4y﹣3=0，

，此时直线方程为
24

则对应的切线方程为x=1或3x﹣4y﹣3=0．



30．已知圆C：x
2
+y
2
﹣2x+4my+4m2
=0，圆C
1
：x
2
+y
2
=25，以及直 线l：3x﹣4y
﹣15=0．

（1）求圆C
1
：x
2< br>+y
2
=25被直线l截得的弦长；

（2）当m为何值时，圆C与圆C
1
的公共弦平行于直线l；

（3 ）是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点P（2，0）距离
等于弦AB长度的一半？若存 在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）因为圆的圆心O（0，0），半径r=5，

，由所以，圆心O到直线l：3x﹣4y﹣15=0的距离d：
勾股定理可知，

圆被直线l截得的弦长为．…（4分）

（2）圆C与圆C
1
的公共 弦方程为2x﹣4my﹣4m
2
﹣25=0，

因为该公共弦平行于直线3x﹣4y﹣15=0，

则
解得：m=
经检验m=
≠，

…（7分）

符合题意，故所求m=； …（8分）

（3）假设这样实数m存在．

设弦AB中点为M，由已知得|AB|=2|PM|，即|AM|=|BM|=|PM|

所以点P（2，0）在以弦AB为直径的圆上． …（10分）

设以弦AB为直径的 圆方程为：x
2
+y
2
﹣2x+4my+4m
2
+λ（3x ﹣4y﹣15）=0，

整理得x
2
+（3λ﹣2）x+y
2
+（4m﹣4λ）y+4m
2
﹣15λ=0，

则圆心坐标为（﹣，﹣），即M（，），

则
消去λ得：100m
2
﹣144m+216=0，25m
2
﹣36m+54=0

因为△=36
2
﹣4×25×54=36（36﹣25×6）＜0

所以方程25m
2
﹣36m+54=0无实数根，

25

所以，假设不成立，即这样的圆不存在． …（14分）



31．已知平面内一动点P在x轴的上方，点P到F（0 .1）的距离与它到y轴
的距离的差等于1．

（1）求动点P轨迹C的方程；

（2）设A，B为曲线C上两点，A与B的横坐标之和为4．

①求直线AB的斜率； ②设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB
平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

【解答】解：（I）设动点P的坐标为（x，y），由题意为
因为y＞0，化简得：x
2
=4y，

所以动点P的轨迹C的方程为 x
2
=4y，y＞0，

（2）①设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），则x
1
≠x
2
，x
1
2
=4y
1
，x
2
2
=4 y
2
，又x
1
+x
2
=4，

∴直线AB的斜率k===1，

﹣|y|=1

②依题意设C在M 处的切线方程可设为y=x+t，联立
可得x
2
﹣4x﹣4t=0，

∴△=16+16t=0 得t=﹣1，

此时x=2，

∴点M的坐标为（2，1），

设AB的方程为y=x+m，

故线段AB的中点N坐标为（2，2+m），

∴|MN|=|1+m|，联立
，

消去整理得：x
2
﹣4x﹣4m=0，

△
1
=1 6+16m＞0，m＞﹣1，x
1
+x
2
=4，x
1
?x< br>2
=﹣4m，

∴|AB|=|x
2
﹣x
1
|=?=4，

由题设知：|AB|=2|MN|，即4
∴直线AB的方程为：y=x+7



=2|1+m|，解得：m=7

2
32．已知圆M：x
2
+（y﹣2）=1，Q是x轴上的点，QA，QB分别切圆M与A，
B两点．

26

（1）若|AB|=，求|MQ|的长度及直线MQ的方程；

（2）求证：直线AB恒过定点．

【解答】（1）设直线MQ交直线AB于点P，由 于：|AB|=
AP⊥MQ，AM⊥AQ．

|MP|=
|AM|
2
=|MQ||MP|，

所以：|MQ|=3．

设Q（x，0），而点M（0，2），

由 ，得x=，则Q（
﹣2
，0）或Q（﹣
=0或2x﹣y
，0）．

=0．

，

，又|AM|=1，
所以直线MQ的方程为： 2x+
（2）设Q（q，0），由几何性质，可知A，B在以QM为直径的圆上，

此 圆的方程为：x
2
+y
2
﹣qx﹣2y=0，AB为两圆的公共弦，

两圆方程相减，得qx﹣2y+3=0，

即：AB的直线方程为：


33．已知圆O：x
2
+y
2
=2，直线l过点，且OM ⊥l，P（x
0
，y
0
）是直
，过定点（0，）

线l上的动点，线段OM与圆O的交点为点N，N'是N关于x轴的对称点．

（1）求直线l的方程；

（2）若在圆O上存在点Q，使得∠OPQ=30°，求x
0
的取值范围；

（3）已知A，B是圆O上不同的两点，且∠ANN'=∠BNN'，试证明直线AB
的斜率为 定值．


【解答】解：（1）∵OM⊥l，∴直线l上的斜率为﹣1，

∴直线l上的方程为：，即x+y﹣3=0．

27

（2）如图可知，对每个给定的点P，当PQ为圆O的切线时，∠OPQ最大，
此时OQ⊥PQ，< br>
若此时∠OPQ=30°，则
，

又x
0
+y0
﹣3=0?y
0
=3﹣x
0
，代
．

（3）证明：据题意可求N（1，1），

∵N'是N关于x轴的对称点，∠ANN' =∠BNN'，∴k
AN
=﹣k
BN
，设k
AN
=k，则k
BN
=
﹣k，

则直线AN的方程为：y﹣1=k（x﹣1），直线BN的方程为：y﹣1=﹣k（x﹣1），

联立，消去y得：（1+k
2
）x
2
+2k（1﹣k）x+k
2
﹣2k﹣1=0，

入得：
，故只需即可，即
∵，∴，同理可求，
，

故直线AB的斜率为定值1．





34．已知圆C：x
2
+y
2
+2x+8y﹣8=0．

28

（1）判断圆C与圆D：x
2
+y
2
﹣4x﹣4y﹣1=0的位置关系，并说明理由；

（2）若圆C关于过点P（6，8）的直线l对称，求直线l的方程．

【解答】解： （1）圆C：x
2
+y
2
+2x+8y﹣8=0的圆心C（﹣1，﹣4）半径 为5，

圆D：x
2
+y
2
﹣4x﹣4y﹣1=0的圆心为 D（2，2），半径为3，

圆心距为CD=
5﹣3＜3
，

＜5+3，∴圆C与圆D：x
2
+y
2
﹣4x﹣4y﹣1=0的位置关系是 ，相交．

（2）∵圆C与圆D关于过点P（6，8）的直线l对称，∴直线l的斜率为k=
﹣，

∴直线l的方程为：y﹣6=﹣（x﹣8），

即x+2y﹣20=0为所求．



35．已知点M（x，y）是 平面直角坐标系中的动点，若A（﹣4，0），B（﹣1，
0），且△ABM中|MA|=2|MB|．

（Ⅰ） 求点M的轨迹C的方程及求△ABM的周长的取值范围；

（Ⅱ） 直线MB与轨迹C的另一交点为M'，求的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y）， 则由题意可得（x+4）
2
+y
2
=4（x+1）
2
+4y
2
，

化简可得x
2
+y
2
=4．

当M在（﹣2，0） 时，|MA|+|MB|=3，M在（2，0）时，|MA|+|MB|=9，

∴△ABM的周长的取值范围是（6，12）；

（Ⅱ） 设直线MB的方程为x=m y﹣1，代入x
2
+y
2
=4，整理可得（m
2
+1）y< br>2
﹣2my﹣3=0，

设M（x
1
，y
1
），M′（x
2
，y
2
），则y
1
+y
2
=
=||=t，则y
1
=﹣ty
2
，

=（1+
，

，3）．

），

，y
1
y
2
=﹣

联立3个方程可得
∴
∴


＞，解得
的取值范围是（
29

36．在平面直角 坐标系xOy中，已知E：（x+）
2
+y
2
=16，点F（，0），
点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q．记动
点Q的轨迹为C，另有动 点M（x，y）（x≥0）到点N（2，0）的距离比它到
直线x=﹣1的距离多1，记点M的轨迹为C
1
，轨迹C
2
的方程为x
2
=y

（1）求轨迹C和C
1
的方程

（2）已知点T（﹣1，0），设轨 迹C
1
与C
2
异于原点O的交点为R，若懂直线
l与直线OR垂直， 且与轨迹C交于不同的两点A、B，求
（3）在满足（2）中的条件下，当
【解答】解：（1） 如图，

连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|Q P|=4＞|EF|=2
故动点Q的轨迹C是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，

设其方程为，（a＞b＞0），可知a=2，c=
．

，则b=1，

，

的最小值

取得最小值时，求△TAB的面积．
∴点Q的轨迹C的方程为
∵动点M（x，y）（x≥0）到点N（2，0）的距离比它到直线x=﹣ 1的距离多
1，

∴动点M（x，y）的轨迹C
1
是以N（2，0） 为焦点，以直线x=﹣2为准线的
抛物线，

∴轨迹方程为y
2
=8x；

（2）如图，

联立，解得R（2，4），

，

∴k
OR
=2， 则可设动直线l的方程为y=
联立，得x
2
﹣2mx+2m
2
﹣2= 0．

由△=（﹣2m）
2
﹣4（2m
2
﹣2）=8﹣4m
2
＞0，得
设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），

则．

，

30
．

∴
=
=
∴当m=
= （x
1
+1）（x
2
+1）+y
1
y
2
=
=
（
时，
），

有最小值为；

．得
=．

，



（3）把m=﹣代入
∴
．

又T（﹣1，0）到直线5x+10y+4=0的距离为d=
∴△TAB的面积S=．





37．平面内一个点与一条曲线上的任意点的距离的最小值 ，称为这个点到这
条曲线的距离．例如椭圆的右焦点（4，0）到椭圆的距离为1．

（I）写出点A（3，5），点B（1，2）到圆x
2
+y
2
+2x﹣4y﹣ 4=0的距离；

（II）如图，已知直线l与圆C相离，圆C的半径是2，圆心C到直线l的距
31

离为4．请你建立适当的平面直角坐标系，求与直线l和圆C的距离相等的< br>动点P的轨迹方程．


【解答】解：（Ⅰ）圆x
2
+y2
+2x﹣4y﹣4=0可化为（x+1）
2
+（y﹣2）
2
= 9，

圆心F（﹣1，2），半径r=3，

点A（3，5）在圆外，点A到圆的距离为：

|AF|﹣r=﹣3=2，

点B（1，2）在圆内，点B到圆的距离为：

r﹣|BF|=3﹣=1；

（Ⅱ）如图所示：以与直线l平行并与l距离为2的直线为y轴，

且与y轴垂直的直线为x轴，建立平面直角坐标系，

，

圆心C（﹣2，0），直线l的方程为x=2，

∵圆C内的点到圆的距离小于2，

到直线l的距离大于2，所以动点P一定不在圆C内，设动点P（x，y），

过点P做PD⊥l于点D，连接PC交圆C于点E，

则点P到圆C的距离为|PC|﹣|CE|，

由题意得|PD|=|PC|﹣|CE|，即|PC|﹣|PD|=2，

代入坐标得﹣|x﹣2|=2，

化简，当x＜2时，y
2
=﹣12x+12，

当x≥2时，y
2
=﹣4x﹣4，无解，这样的点不存在，

故点P的轨迹方程是y
2
=﹣12x+12，（x≤1）．

32

38．已知△ABC中，点A（﹣1，0） ，B（1，0），动点C满足|CA|+|CB|=λ|AB|
（常数λ＞1），C点的轨迹为Γ．
（Ⅰ） 试求曲线Γ的轨迹方程；

（Ⅱ） 当λ=时，过定点B（1，0）的 直线与曲线Γ相交于P，Q两点，N
是曲线Γ上不同于P，Q的动点，试求△NPQ面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，因为|AB|=2，所以|CA|+|CB|=2λ（定值） ，
且2λ＞2，（2分）

所以动点C的轨迹Γ为椭圆（除去与A、B共线的两个点）．

设其标准方程为，所以 a
2
=λ
2
，b
2
=λ
2
﹣1，（3分）

所以所求曲线的轨迹方程为．（4分）

（Ⅱ）当时，椭圆方程为．（5分）

①过定点B的直线与x轴重合时，△NPQ面积无最大值．（6分）

②过定点B的直线不与x轴重合时，

设l方程为：x=my+1，P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
），

若m=0，因为，故此时△NPQ面积无最大值．

根据椭圆的几何性质，不妨设m＞0．

联立方程组消去x整理得：（3+2m
2
）y
2
+4my﹣4=0，（7分）

33

所以则．（8分）

因为当直线与l平行且与椭圆相切时，切点N到直线l的距离最大，

设切线，

联立消去x整理得（3+2m
2
）y
2
+4mny+2n
2
﹣6=0，

由△=（4mn）
2
﹣4 （3+2m
2
）（2n
2
﹣6）=0，解得
又点N到直线l的距离， （9分）

．

所以
分）

所以
令
﹣1）
2
（2t+1），

因为当
所以f（t）在
．

故时，△NPQ面积最大值是．

时，f'（t）＞0，当
上是增函数，在
．将n
2
=3+2m
2
代入得：
，（10
，

，设函数f（t）=6（1﹣t）
2
（1﹣t
2
），则f'（t）=﹣12（t
时，f'（t）＜0，

上是减函数，所以
所以，当l的方程为
分）


时，△NPQ的面积最大，最大值为．（13
39．如图，在x轴上方有一段曲线弧C，其端点A、 B在x轴上（但不属于C），
对C上任一点P及点F
1
（﹣1，0），F
2< br>（1，0），满足：
线AP，BP分别交直线l：x=a（a＞
（Ⅰ）求曲线弧C的方程 ；

34
．直
）于R，T两点．

（Ⅱ）求|RT|的最小值（用a表示）．


【解答】解：（ I）∵曲线弧C上任一点P满足：，

∴由椭圆的定义知，曲线C是以F
1
（ ﹣1，0），F
2
（1，0）为焦点的半椭圆，

且：
∴曲线弧C的方程为
（注：不写条件“y＞0”应扣分）

（ II）由（I）知，曲线C的方程为
则有
又
AP：
，即
，
①；

，从而直线AP，BP的方程为

； BP：；

，设P（x
0
，y
0
），

．

．

令x=a得R，T的纵坐标分别为；
．

∴
将①代入②，得
∴
②；

．

．

当且仅当|y
R
|=|y
T|，即y
R
=﹣y
T
时，取等号．

即|RT|的最小值是


35
．