高中数学知识点总结专题7解析几何之直线与圆

高考数学专题七解析几何
高考数学-解析几何之直线与圆的方程
一、直线
●1．直线的方程
（1）直线
l
的倾斜角
?
的取值范围是
0?
?
?
?
；平面内的任意一条直线都有唯一确定的倾斜角。 （2）直线
l
的斜率
k?tan
?
(0?
?
?
?
,
且
?
?
?
2
）。
变化情况如下：
倾斜角
?
斜率
k
变化关系
?
?(0,
?
2
)

k?0

k
随
?
的增大而增大
?
?(
?
2
,
?
)

k?0

k
随
?
的增大而增大
?
?
?
2

k
不存在
任何直线都有倾斜角，
但不一定有斜率
斜率的计算公式：若斜率为
k的直线过点
P
y
1
(x
1
,y
1
)< br>与
P
2
(x
2
,y
2
)
，则
k?
2
?y
1
x?x
(x
1
?x
2)
。
21
（3）直线方程的五种形式
名称 条件 方程形式 不能表示的直线 特殊情况
直线
l
的斜率为
k
，
k?0
时，
点斜式
y?y
不能表示垂直于
x
轴
且经过点
P(x
1
?k(x?x
1
)

1
,y
1
)

的直线
方程为
y?y
1

斜截式
直线
l
的斜率为
k
，
y?kx?b

不能表示垂直于
x
轴
在
y
轴上的截距为
b

的直线
k?0
时
y?b

x
1
?x
2
时，
直线
l
经过两点
两点式
P
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)

y?y< br>1
x?x
不能表示垂直于
x
轴
方程为
x?x
1
；
1
y?y
?
x

21
x
2
?
1
和
b
轴的直线
且
x
y
1
?y
2
时，
1
?x
2
，
y
1
?y
2

方程为
y?y
1

直线
l
在
x
轴 和
y
轴上的
不能表示垂直于
x
轴
截距式 截距分别为
a
和
b
x
和
y
轴及过原点的直

（
a?0,b?0
）
a
?
y
b
?1

线
一般式
Ax?By?C?0

可以表示平面内的任
（
A,B
不同时为零）
意直线


壹

高考数学专题七解析几何
●2．两条直线位置关系
（1）设两条直线
l< br>1
:y?k
1
x?b
1
和
l
2
:y ?k
2
x?b
2
，则有下列结论：
l
1
l
2
?k
1
?k
2
且
b
1
?b
2
；
l
1
?l
2
?k
1
?k
2
??1
。
（2）设两条直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0(A
1
,B
1
不 全为
0)
和
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
(A
2
,B
2
，不全为0)，则有下 列结
论：
l
1
l
2
?
A
1
B< br>2
?A
2
B
1
?0
且
BC
12?B
2
C
1
?0
或
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
且
AC
12
?A
2
C
1
?0
；
l
1
?l
2?
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
。
（3）求两条直线交点的坐标：解两条直线方程所组成的二元一次方程组而得解。
（4）与直线
Ax?By?C?0
平行的直线一般可设为
Ax?By?m?0
；
与直线
Ax?By?C?0
垂直的直线一般可设为
Bx?Ay?n?0
。
（5）过两条已知直线
A
1
x?B
1
y?C< br>1
?0,A
2
x?B
2
y?C
2
?0
交点的直线系：
A
1
x?B
1
y?C
1
??
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0(其中不包 括直线A
2
x?B
2
y?C
2
?0)

●3．中点公式：
平面内两点
P
x
1
(x
1,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
，则
P
1
,P
2
两点的中点
P(x, y)
为
x?
1
?x
2
2
,y?
y
1
?y
2
2
。
●4．两点间的距离公式：
平面内两点< br>P
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
，则
P
1
,P
2
两点间的距离为：
PP
12
?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
。
●5．点到直线的距离公式：
平面内点
P
1
(x
1
,y
1
)
到直线
Ax?By?C?0
的距离为：
d?|Ax
1
?By
1
?C|
A
2
?B
2
。
设平面两条平行线
l
1
:Ax?By?C?0,l
2< br>:Ax?By?D?0,C?D
，
则l
C?D
1
与l
2
的距离为
d?
A
2
?B
2
。




贰

高考数学专题七解析几何
二、对称问题
●1. 点关于点成中心对称的对称中心 恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标
公式的应用问题。
设< br>P(x
0
,y
0
)
，对称中心为
A(a,b)
，则P关于A的对称点为
P
?
(2a?x
0
,2b?y
0
)
。

●2. 点关于直线成轴对称问题
由轴对称定义知，对称 轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，
就可求出对顶点 的坐标.一般情形如下：
?
y
??
y
0
?k??1,?
?
x
??
x
0
设点
P(x
0
,y
0
)
关于直线
y?kx?b
的对称点为
P
?
(x
?
,y
?
)
，则有
?
，
?
?
y?y
x?x
0
0
?
?k??b,
?< br>2
?
2
可求出
x
?
,
y
?
。
特殊地，点
P(x
0
,y
0
)
关于直线
x?a
的对称点为
P
?
(2a?x
0
,y
0)
；点
P(x
0
,y
0
)
关于直线
y ?b
的对称点为
P
?
(x
0
,2b?y
0
)
。
●3. 曲线关于点、曲线关于直线成中心对称或轴对称问题，一般是转化为点的中心对 称或轴对称（这里既可
选特殊点，也可选任意点实施转化）。一般结论如下：
（1）曲 线
f(x,y)?0
关于已知点
A(a,b)
的对称曲线的方程是
f (2a?x,2b?y)?0
。
（2）曲线
f(x,y)?0
关于直线
y?kx?b
的对称曲线的求法： < br>设曲线
f(x,y)?0
上任意一点为
P(x
0
,y
0
)
，P点关于直线
y?kx?b
的对称点为
P
?
(x,y)
，则由（2）知，P与
?
y?y
0
?k??1
?
?
x?x
0
，从中解出
x
0
、
y
0
，代入已知曲线
f(x,y)?0
，应有
f(x
0
,y< br>0
)?0
。利用坐
P
?
的坐标满足
?
y?y
x?x
?
0
?k?
0
?b
?
2
?
2
标代换法就可求出曲线
f(x,y)?0
关于直线
y?kx?b< br>的对称曲线方程。
●4. 两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：
（1）点
(x,y)
关于
x
轴的对称点为
(x,?y)
；
（2）点
(x,y)
关于
y
轴的对称点为
(?x,y)
；
（3）点
(x,y)
关于原点的对称点为
(?x,?y)
；
（4）点
(x,y)
关于
x?y?0
的对称点为
(y ,x)
；
（5）点
(x,y)
关于直线
x?y?0
的对称点为
(?y,?x)
。




叁