高中数学圆与直线知识点与各类提高习题(附答案)

.
圆与直线
知识点
222
(x?a)?(y?b)?r
圆的方程：（1）标准方程：（圆心为A(a,b),半径为r）
22
x?y?Dx ?Ey?F?0
（
D
2
?E
2
?4F?0
） （2）圆的一般方程：
DE1
D
2
?E
2
?4F
圆心（-
2
，-
2
）半径
2

点与圆的位置关系的 判断方法：根据点与圆心的距离
d
与
r
在大小关系判断
直线与圆的位置关系判断方法
（1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。 d=r 为相切，d>r为相交， d离。适用于已知直线和圆的方程判断二者关系，也适用于其中有参数，对参数谈论的问题。利 用这种方
法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长，以及当直线与圆相离时，圆上的点到直线的 最远、
最近距离等。
（2）代数法：由直线与圆的方程联立得到关于x或y的一元二次方程, 然后由判别式△来判断。△=0为
相切，△>0为相交，△<0为相离。利用这种方法，可以很简单的求 出直线与圆有交点时的交点坐标。
4．圆与圆的位置关系判断方法
（1）几何法：两圆的连心线长为
l
，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
1）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
相离；2）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
外切；
3）当
|r
1
?r
2
|?
l?r
1
?r
2
时 ，圆
C
1
与圆
C
2
相交；4）当
l?|r
1
?r
2
|
时，圆
C
1
与圆
C
2
切；
5）当
l?|r
1
?r
2
|
时，圆
C
1
与圆
C
2
含；
（2）代数法：由两圆的方程联立得到关于x或y的一元二次方程, 然后由判别式△来判断。△=0为外
切或切，△>0为相交，△<0为相离或含。若两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。
5. 直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系

选择题
1．圆
(
x?
1)
2
?
(
y?
3)
2
?
1
的切线方程中有一个是
A．
x
－
y
＝0 B．
x
＋
y
＝0 C．
x
＝0

D．
y
＝0
（ ）
（ ）
2．若直线
ax?2y?1?0
与直线
x?y?2? 0
互相垂直，那么
a
的值等于
.

.
A．1 B．
?
C．
?
22
1
3
2

3
D．
?2

（ ）
3．设直线过点
(0 ,a),
其斜率为1，且与圆
x?y?2
相切，则
a
的值为
Ａ．
?4
Ｂ．
?22
Ｃ．
?2
Ｄ．
?2

4．平面
?
的斜线
AB
交
?
于点
B
，过定点
A
的动直线l
与
AB
垂直，且交
?
于点
C
，则动点
C
的轨迹
是
A．一条直线
（ ）
B．一个圆 C．一个椭圆 D．双曲线的一支
（ ） 5．参数方程
?

?
x?2
（
?
为参数）所表示的曲线是
?
y?tan
?
?cot
?
B．直线 A．圆 C．两条射线 D．线段
6．如果直线
l
1
,l
2
的斜率分别为二次方程
x
2
?4x?1?0
的两个根，那么
l
1
与
l
2
的夹角为（ ）
A．
?
?
??
B． C． D．
3468
7．已知
M?{(x,y)|y?9 ?x
2
,y?0}
，
N



（ ）
?{(x,y)|y?x?b}
，若
MIN??
，则
b?

A．
[?32,32]

C．
(?3,32]

B．
(?32,32)

D．
[?3,32]
< br>22
8．一束光线从点
A(?1,1)
出发，经
x
轴反射到圆
C:(x?2)?(y?3)?1
上的最短路径是



A．4

B．5
（ ）
C．
32?1
D．
26

22
9．若直线
ax?2by?2?0(a,b?0)
始终平分圆
x?y?4x?2y? 8?0
的周长，则
的最小值为
A．1

B．5

12
?

ab
（ ）
C．
42
D．
3?22

10．已知平面区域
D
由以
A
?< br>1,3
?
、
B
?
5,2
?
、
C?
3,1
?
为顶点的三角形部和边界组成.若在区域
D
上有无 穷
多个点
?
x,y
?
可使目标函数
z?x?my
取 得最小值，则
m?
（ ）
A．
?2
B．
?1
C．
1
D．4

10
2000
?910
2001
?9
1 0
2000
?110
2001
?1
,Q?
2002
11、设
M?
2001
，则
M
与
N、
P
与
Q
的大小关系
,N?
2002
，
P?
200110?10010?100
10?110?1
为 ( )
.

.
A.
M?N,P?Q
B.
M?N,P?Q


C.
M?N,P?Q
D.
M?N,P?Q

12、已知两圆相交于点
A(1,3)和点B(m,? 1)
，两圆圆心都在直线
l:x?y?c?0
上，则
m?c
的值等于
A．-1 B．2 C．3 D．0
13、三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为 ( )
A.15 B.30 C.36 D.以上都不对
22
14、设
m?0
，则直 线
2(x?y)?m?1?0
与圆
x?y?m
的位置关系为 （ ）
A.相切 B.相交
15、已知向量
C.相切或相离 D.相交或相切
与
n
的夹角为
60
?
，则直线
r r
r
m?(2cos
?
,2sin
?
),n?(3cos< br>?
,3sin
?
),
若
m
?
l:xcos< br>?
?ysin
?
?
11
?0
与圆
C:(x? cos
?
)
2
?(y?sin
?
)
2
?< br>的位置关系是（ ） A．相
22
5
,则满
2
交但不过圆心 B．相交过圆心 C．相切 D．相离
16、已知圆
O:(x?3)?(y?5)?36
和点
A(2,2),B(?1,?2)
,若点
C
在圆上且
?ABC
的面积为
足条件的点
C
的个数是 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
17、若圆
C
1
:(x?a)
2
?(y?b)2
?b
2
?1
始终平分圆
C
2
:(x?1)< br>2
?(y?1)
2
?4
的周长,则实数
a,b
应满足
的关系是 ( )
A．
a
2
?
2
a?
2
b?
3
?
0
B．
a
2
?2a?2b?5?0

C．
a
2
?
2
b
2
?
2
a?
2
b?< br>1
?
0
D．
3a
2
?2b
2
?2a?2b?1?0


22
18、在平面,与点
A(1,2)
距离为1, 与点
B(3,1)
距离为2的直线共有 ( )
A.1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

填空题
1、直线2
x
－
y
－4=0上有 一点
P
，它与两定点
A
(4，－1)，
B
(3，4)的距离 之差最大，则
P
点坐标是______
2、设不等式
2x?1?m( x?1)
对一切满足
m?2
的值均成立，则
x
的围为 。
3、已知直线
l:x?y?4?0
与圆
C:
?
x?1< br>?
?
?
y?1
?
?2
，则
C
上各点 到
l
的距离的最大值与最小值之
差为 。
22
2
.

.
1
?
x?2?t< br>?
?
2
4、直线
?
(t为参数)
被圆
x2
?y
2
?4
截得的弦长为______________。
?
y??1?
1
t
?
?2
5、已知圆
M:(x?c os
?
)?(y?sin
?
)?1
，直线
l:y?kx，以下命题成立的有___________。
①对任意实数
k
与
?< br>，直线
l
和圆
M
相切；
②对任意实数
k
与
?
，直线
l
和圆
M
有公共点；
③对任意实数?
，必存在实数
k
，使得直线
l
和圆
M
相切
④对任意实数
k
，必存在实数
?
，使得直线
l
和圆
M
相切
6、点
A
(－3，3)发出的光线
l
射到
x
轴上被
x
轴反射，反射光线与圆
C:x?y?4x?4y?7?0
相切，
则光线
l
所在直线方程为____ __。
7、直线
y?
22
22
m
x
与圆
x
2
?y
2
?mx?ny?4?0
交于
M
、
N
两点，且
M
、
N
关于直线
x?y?0
对称，< br>2
则弦
MN
的长为 。
228、过圆
x?y?4
一点
A(1,1)
作一弦交圆于
B、C两点,过点
B、C
分别作圆的切线
PB、PC
，两切
线交于点< br>P
，则点
P
的轨迹方程为 。
解答题
1、设数列
?
a
n
?
的前
n项和
S
n
?na?n(n?1)b
，
(n?1,2,L)
，
a
、
b
是常数且
b?0
。
（1）证明：
?
a
n
?
是等差数列；
（2）证明 ：以
?
a
n
,
（3）设
a?1,b?
?
?
S
n
?
?
1
?
为坐标的点
P
n< br>，
(n?1,2,L)
落在同一直线上，并求直线方程。
n
?
1
，
C
是以
(r,r)
为圆心，
r
为半径的圆< br>(r?0)
，求使得点
P
1
、
P
2
、
P
3
都落在圆
C
2
外时，
r
的取值围。









2 2
2、求与圆
x?y?
5
外切于点
P(?1,2)
，且半径 为
25
的圆的方程


.

.




3、如图，已知圆心坐标为
M(3,1)
的圆
M
与
x
轴及直线
y?3x
均相切，切点分别为
A
、
B
，另一圆
N
与圆
M
、
x
轴及直线
y?3x
均相切，切点分别为
C
、
D
。
（1）求圆
M
和圆
N
的方程；
（2）过
B
点作
MN
的平行线
l
，求直线
l
被圆
N

截得的弦的长度；











22
4、如果实数
x
、
y
满足
(x?2)?y?3
，求
y
的最大值、
2 y?x
的最小值。
x




5、已知圆
C:(x?1)?(y?2)?25
，直线
l:(2m?1)x?(m?1)y?7m?4? 0
，
(m?R)
。
（1）证明：不论
m
取什么实数，直线
l
与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆
C
截得的弦长最小时
l
的方程.







22
6、已知
O< br>为原点，定点
Q(4,0)
，点
P
是圆
x?y?4
上 一动点。
22
（1）求线段
PQ
中点的轨迹方程；
.

.
（2）设
?POQ
的平分线交
PQ
于< br>R
，求
R
点的轨迹方程。









7、如图所示，过圆
O:x?y?4< br>与
y
轴正半轴的交点
A
作圆的切线
l
，
M< br>为
l
上任意一点，再过
M
作圆
的另一切线，切点为
Q
，当点
M
在直线
l
上移动时，求三角形
MAQ
的垂 心的轨迹方程。









8、已知圆
M:x?(y?2)?1
，
Q
是
x< br>轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点，





1．C．圆心为（1，
?3
），半径为1，故此圆必与
y
轴（
x
=0）相切，
选C.
2．D．由
A
1
A< br>2
?B
1
B
2
?0
可解得．
3．C．直线和圆相切的条件应用，
x?y?a?0,?2?
a
,?a??2
,选C;
2
4． A．过点A且垂直于直线AB的平面与平面
?
的交线就是点C的轨迹，故是一条直线.
5．C．原方程
?
?
求动弦AB的中点P的轨迹方程。
22
22
?
x?2

?
|y|?2
6．A．由夹角公式和韦达定理求得．
.

.
7．C．数形结合法，注意
y?9?x
2
,y? 0
等价于
x?y?9(y?0)
．
8．A．先作出已知圆C关于x轴对称的 圆
C'
，问题转化为求点A到圆
C'
上的点的最短路径，即
22|AC'|?1?4
．
9．D．已知直线过已知圆的圆心（2，1），即
a?b?1
．
所以
1212b2a
??(?)(a?b)?3???3?22
．
ababab
10．C．由
A
?
1,3
?
、
B?
5,2
?
、
C
?
3,1
?
的坐标位 置知，
?ABC
所在的区域在第一象限，故
x?0,y?0
.由
z? x?my
得
y??
1z1
x?
，它表示斜率为
?
.
mmm
z
最小，此时需
?
1
?k
AC
?< br>1?3
，即
m?
1；
m
m3?1
z
（2） 若
m?0
，则要使
z?x?my
取得最小值，必须使最小，此时需
?
1
?k
BC
?
1?2
，即
m?
2，
m
m3?5
与
m?0
矛盾.综上可知，
m?
1.
（1）若
m?0
，则要使
z?x?my
取得最小值，必须使
11解 ：设点
A(?1,?1)
、点
B(10
2001
,10
20 00
)
、点
C(10
2002
,10
2001
)< br>，则
M、N
分别表示直线
AB、AC

的斜率，BC
的方程为
y?
1
x
，点
A
在直线的下方， ∴
K
AB
?K
AC
，即
M
＞
N
；
10
同理，得
P?Q
。 答案选B。 仔细体会题中4个代数式的特点和“数形结合”的好处
12解：由题设得：点
A,B
关于直线
x?y?c?0
对称,
k
AB
?
?41
? ???1?m?5
；
m?1k
l
线段
AB
的中点
(3,1)
在直线
x?y?c?0
上，
?c??2?m?c?3，答案选C。
13解：设三角形的另外两边长为
x
,
y
,则
?
0?x?11
?
?
0?y?11
；注意“=”号，等于11的边可以多于一条。
?
x?y?11
?
点
(x,y)
应在如右图所示区域： < br>当
x
=1时，
y
=11；当
x
=2时，
y< br>=10,11；当
x
=3时，
y
=9,10,11；当
x< br>=4时，
y
=8,9,10,11；当
x
=5时，
y
=7,8,9,10,11。以上共有15个，
x
,
y
对调又有15个。
再加(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11， 11），共36个，答案选C。
14解：圆心
(0,0)
到直线的距离为
d ?
∵
d?r?
1?m
，圆半径
r?m
。
2
1?m1
?m?(m?1)
2
?0
，
22
∴直线与圆的位置关系是相切或相离，答案选C。
urr
m?n 6(cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
)1
rr
?
15解：
u
?cos(
?
?
?
)?cos60
0
?
，
2?32
|m|?|n|
.

.
圆心
C( cos
?
,?sin
?
)
到直线
l
的距离
d?
|cos(
?
?
?
)
?
12
|
?
1
??r
，
22
?
直线与圆相离，答案选D。 复习向量点乘积和夹角余弦的计算及三角函数公式
16解:由题设得：
AB?5
，< br>Q
S
?
ABC
?
5
，
?
点
C
到直线
AB
的距离
d?1
,
2
?
l:4x?3y?3?0

?
l
2
:4x?3y?7?0
直线
AB
的方 程为
4x?3y?2?0
,与直线
AB
平行且距离为1的直线为
?< br>1
得：圆心
O(3,5)
到直线
l
1
的的距离
d
1
?6?r
,到直线
l
2
的距离为
d< br>2
?4?r
,

?
圆
O
与直线
l
1
相切；与直线
l
2
相交,
?
满足条件的点
C
的个数是3，答案选C
22222
??
17解：公共弦所在的直线
l
方程为：
?
(x?1)?(y?1)- 4-(x?a)?(y?b)-b-1
?
????
=0
，
即：
2(1
?a
)
x?
2(1
?b
)
y? a?
1
?
0
，
2
?
圆
C
1始终平分圆
C
2
的周长，
?
圆
C
2
的 圆心
?
?1,?1
?
在直线
l
上,
??2(1? a)?2(1?b)?a
2
?1?0
，即
a
2
?2a?2b ?5?0
，答案选B。
18解：直线
l
与点
A(1,2)
距离为1，所以直线
l
是以A为圆心1为半径的圆的切线，
同理直线
l
也是以B为圆心2为半径的圆的切线，即两圆的公切线，
QAB?5?3
，
?
两圆相交，公切线有2条，答案选B。
想一下，如果两圆相切或相离，各有几条公切线？
填空题1解：
A
关于l
的对称点
A
′，
A
′
B
与直线
l< br>的
交点即为所求的
P
点。得
P
(5，6）。
想一 想，为什么，
A
′
B
与直线
l
的交点即为所求的
P
点？
如果
A、B
两点在直线的同一边，情况又如何？
2解：原不等式变换为
(x?1)m?(1?2x)?0
，
设：
f (m)?(x?1)m?(1?2x)
，
(?2?m?2)
，按题意得：
f( ?2)?0,f(2)?0
。
2
?
7?13?1
?
2x? 2x?3?0
即：
?
。
??x?
2
22
?
?
2x?2x?1?0
2
2
3解： 圆心
C
?
1 ,1
?
到直线的距离=
1?1?4
1?1
?22?r?2
，
?
直线与圆相离，

?
C
上各点到
l< br>的距离的最大值与最小值之差=
2r
=
22
。
4解：直线 方程消去参数
t
得：
x?y?1?0
，圆心到直线的距离
d?
.
12
，弦长的一半为
?
2
2

. 2
2
?(
2
2
14
，得弦长为
14
。
)?
22
5解：圆心坐标为
M
?
?cos
?
,sin
?
?


d?
－kcos
?－sin
?
1＋k
2
1＋k
2
sin（
?＋
?
）
＝?sin(
?
?
?
)?1?r
，所以命题②④成立。
2
1＋k
仔细体会命题③④的区别。
6 解：光线
l
所在的直线与圆
C
关于
x
轴对称的圆
C
'
相切。圆心
C
'
坐标为
?
2,?2
?< br>，半径
r?1
，
Q
直线过点
A
(－3，3)，设< br>l
的方程为：
y?3?k(x?3)
，即：
kx?y?3k?3?0< br>
圆心
C
'
到直线
l
的距离
d?
2 k?2?3k?3
k
2
?1
?1
，
?12k
2?25K?12?0

43
或
k??
，得直线
l
的方程：
4x?3y?3?0
或
3x?4y?3?0
。
34m
7解：由直线
y?x
与直线
x?y?0
垂直
?m?2
，由圆心在直线
x?y?0
上
?n??2
，
2
解 得：
k??
圆方程为
(x?1)?(y?1)?6
，圆心为
?
?1,1
?
，圆心到直线的距离
d?
22
?1?1?0
1 ?1
?2
，
?
弦
MN
的长=
2r
2?d
2
?26?2?4

8解：设
P(x
0
, y
0
)
,根据题设条件，线段
BC
为点
P
对应圆上 的切点弦，
?
直线
BC
的方程为
x
0
x?y0
y?4
,
QA
点在
BC
上，
?x
0
?y
0
?4
,
即
P
的轨迹方程为：
x?y?4
。 注意掌握切点弦的证明方法。
1、设数列
?
a
n
?
的前< br>n
项和
S
n
?na?n(n?1)b
，
(n?1,2 ,L)
，
a
、
b
是常数且
b?0
。
（1）证明：
?
a
n
?
是等差数列；
（2）证明 ：以
?
a
n
,
（3）设
a?1,b?
?
?
S
n
?
?
1
?
为坐标的点
P
n< br>，
(n?1,2,L)
落在同一直线上，并求直线方程。
n
?
1
，
C
是以
(r,r)
为圆心，
r
为半径的圆< br>(r?0)
，求使得点
P
1
、
P
2
、
P
3
都落在圆
C
2
外时，
r
的取值围。
1解：（1）证明：由题设得
a
1
?S
1
?a
；当
n
≥2时，
a
n
?S
n
?S
n?1
?
?
na?n(n?1)b
?
?
?
(n?1)a?(n?1) (n?2)b
?
?a?2(n?1)b
，
.

.
a
n
?a
n?1
?
?
a?2(n?1)b
?
?
?
a?2(n?2)b
?
?2b
。
?
所以
?
a
n
?
是以
a
为首项，
2b为公差的等差数列。证毕；
（2）证明：∵
b?0
，对于
n
≥2，
k
Pn
P
1
?
S
n
?
?
S
1?
na?n(n?1)b
?a
?
?1
?
?
?< br>?1
?
(n?1)b1
n1
??
??
a
?? ??

a
n
?a
1
a?2(n?1)b?a2(n?1)b 2
?
?
S
n
1
?
?
1
?
为坐标的点
P
n
，
(n?1,2,L)
落在过点
P
的同一直线上，
1
(a,a?1)
，斜率为
2
n
?
∴以
?
a
n
,
此直线方程为：
y?(a?1)?
（3）解：当
a?1,b?
1
(x?a)
，即
x?2y?a?2?0
。
2
1
?
1
?
1,0、P
时，得
P
??
12
?
2,
?
、P
3
?
3,1
?
，都落在圆
C
外的条件是
2
?
2
?
①
②
③

?
(r?1)
2
?r
2
?r
2
?
(r? 1)
2
?0
?
?
1
2
?
17
22
?
?
(r?1)?(r?)?r

?
?
r
2
?5r??0

2
4
?
?
222
2
?
?
?
(r?3)?(r?1)?r< br>?
r?8r?10?0
由不等式①，得
r
≠1
由不等式②， 得
r
＜
55
－
2
或
r
＞+
2
22
由不等式③，得
r
＜4－
6
或
r
＞4+
6

再注意到
r
＞0，
Q
1＜
5 5
－
2
＜4－
6
=+
2
＜4+
6

22
5
?
使
P
1
、
P
2
、
P
3
都落在圆
C
外时，
r
的取值围是(0，1) ∪(1,
－
2
)∪(4+
6
,+∞)。
2
22< br>2、求与圆
x?y?
5
外切于点
P(?1,2)
，且半径为< br>25
的圆的方程
?
(a?1)
2
?(b?2)
2< br>?(25)
2
?
a??3
?
2解一：设所求圆的圆心为
C(a,b)
，则
?
b
，
?
?
2
1
）
?
b?6
?
?
LL（
?
a?1

?
所求圆的方程为
(
x?
3)
?
(y?
6)
?
20
。 注：因为两圆心及切点共线得（1）式
22
uuur
1
uuur
1
解二：设所求圆的圆心为
C(a ,b)
，由条件知
OP?OC?(?1,2)?(a,b)

33

?
?
?
a??3
22
，所求圆的方程为
(
x?
3)
?
(
y?
6)
?
20
。
?
b?6
仔细体会解法2，利用向量表示两个圆心的位置关系，同时体现了共线关系和长度关 系，显得更简洁明快，
.

.
值得借鉴。
3、如图，已知 圆心坐标为
M(3,1)
的圆
M
与
x
轴及直线
y ?3x
均相切，切点分别为
A
、
B
，另一圆
N
与圆
M
、
x
轴及直线
y?3x
均相切，切点分别为
C
、
D
。
（1）求圆
M
和圆
N
的方程；
（2）过
B
点作
MN
的平行线
l
，求直线
l
被圆
N

截得的弦的长度；
3解：（1）由于圆M
与
?BOA
的两边相切，故
M
到
OA
及OB
的距离均为圆
M
的半径，则
M
在
?BOA
的角平分线上，同理，
N
也在
?BOA
的角平分线上，
即
O、M、N
三点共线，且
OMN
为
?BOA
的角平分线，
?
M
的坐标为
M(3,1)
，
?M
到
x
轴的距离为1，即：圆
M
的半径为1，
?
圆
M
的方程为< br>(x?3)
2
?(y?1)
2
?1
；
设圆
N
的半径为
r
，由
Rt?OAM~Rt?OCN
，得：
OM :ON?MA:NC
,
21
??r?
3
，
OC?33，
?
圆
N
的方程为：
(
x?
33)
2
?
(
y?
3)
2
?
9
；
3?r r
（2）由对称性可知，所求弦长等于过
A
点的
MN
的平行线被圆< br>N
截得的弦长，
即
此弦所在直线方程为
y?
3
(< br>x?
3)
，即
x?3y?3?0
，
3
圆心
N
到该直线的距离
d?
33?3?3?3
1?3
?
3
22
，则弦长=
2r?d?33

2
?
33
?< br>?
注：也可求得
B
点坐标
?
?
2
,
2
?
，得过
B
点
MN
的平行线
l
的方程< br>x?3y?3?0
，再根据圆心
N
到
??
直线
l的距离等于
3
，求得答案
33
；还可以直接求
A
点或< br>B
点到直线的距离，进而求得弦长
2
y
的最大值、
2y?x
的最小值。
x
y
22
4解：（1）问题可转化为求圆
(x?2)?y?3
上点到原点的连线的斜率< br>k?
的最大值。
x
22
4、如果实数
x
、
y
满足
(x?2)?y?3
，求
设过原点的直线方程为
y?kx，由图形性质知当直线斜率取最值时，直线与圆相切。
得：
?2k?0
?
x
?
?3
，
?k??3
，
?
??
?3< br>
k
2
?1
?
y
?
max
22?
?
x??2?3cos
?
（2）
Qx,y
满足
(x?2)?y?3
，
?
?

?
?
y?3sin
?
.

.
?2 x?y??4?23cos
?
?3sin
?
??4?15sin(
?
?
?
)

?
?
2x?y
?
min
??4?15
。
注意学习掌握解（2）中利用圆的参数方程将关于
x,y
的二元函数转化为关于角?
的一元函数，从而方便
求解的技巧。
5、已知圆
C:(x?1)?( y?2)?25
，直线
l:(2m?1)x?(m?1)y?7m?4?0
，
(m?R)
。
（1）证明：不论
m
取什么实数，直线
l
与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆
C
截得的弦长最小时
l
的方程.
5解： （1）解法1：
l
的方程
(x?y?4)?m(2x?y?7)?0
，
(m?R)

22
?
2x?y?7?0,
?
x?3,
即
l
恒过定点
A(3,1)

?
?
?
?< br>x?y?4?0,y?1,
??
圆心坐标为
C(1,2)
，半径
r?5
，
AC?5?r
，
∴点
A
在圆
C
，从而直线
l
恒与圆
C
相交于两点。
(4m?3)
2
?
0

解法2：圆心到直线
l的距离
d?
，
d?5??
2
2
5m?6m?2
5m?6m?2
|3m?1|
2
?d?5?5?r
，所以直线
l恒与圆
C
相交于两点。
（2）弦长最小时，
l?AC
，
Q
k
AC
?
1?212m?13
??
，
?kl
?
2
，
???2?m??

3?12m?14
代入
(2m?1)x?(m?1)y?7m?4?0
，得
l
的方程为
2x?y?5?0
。
注意掌握以下几点：（1）动直线斜率不定，可能经过某定点；（2） 直线与圆恒有公共点
?
直线经过的定
点在圆，此结论可推广到圆锥曲线；（3）过圆一 点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦。
22
6、已知
O
为原点 ，定点
Q(4,0)
，点
P
是圆
x?y?4
上一动点。
（1）求线段
PQ
中点的轨迹方程；
（2）设
?POQ
的 平分线交
PQ
于
R
，求
R
点的轨迹方程。
6解： （1）设
PQ
中点
M(x,y)
，则
P(2x?4,2y)
，代入圆的方程得
(x?2)?y?1
。
22
（2）设
R(x,y )
，其中
y?0
，
P(m,n)
，由
PROP
21
???
，
RQOQ42
3x?4
?
m?
?
?
2
，代入圆方程
x
2
?y
2
?4
并化 简得：
?
?
n?
3y
?
?2
.

.
4
?
16
?
2
(y?0)。当
y
=0时，即
P
在
x
轴上时，
?POQ< br>的平分线无意义。
x??y?
??
3
?
9
?
（1）本题的解法称作相关点转移法求轨迹，其核心是找到未知与已知动点之间的坐标关系；（2）处理“角< br>平分线”问题，一般有以下途径：①转化为对称问题②利用角平分线性质，转化为比例关系③利用夹角相等。
7、如图所示，过圆
O:x?y?4
与
y
轴正半轴的交 点
A
作圆的切线
l
，
M
为
l
上任意一点， 再过
M
作圆
的另一切线，切点为
Q
，当点
M
在直线
l
上移动时，求三角形
MAQ
的垂心的轨迹方程。
7解：设
Q(x
1
,y
1
)，AM
边上的高为
QB，MQ
边上的高为
AC
，连接
OQ，MQ?OQ，

当
k
OQ
?
0
时，
k
MQ
??
22
2
1
k
OQ
??
x
1
y
，A(0,2)，k
AC
?
1
,

y
1
x
1
y
1
?
l:y?2?x
?
x
1
?x
?
AC
x
?
?
?
?
1
?
y
1
? y?2

?
l:x?x
1
?
QB
QQ(x,y?2 )
在
x
2
?y
2
?4
上，
?x
2
?(y?2)
2
?4
,
当
k
OQ
?0
时，垂心为点
B
，也满足方程，而点
M
与点
N
重合时，不能使
A，M，Q
构成三角形。
?
?MAQ
的垂心的轨 迹方程为：
x
2
?(y?2)
2
?4(x?0)
。
8、已知圆
M:x?(y?2)?1
，
Q
是
x
轴上的动点 ，QA，QB分别切圆M于A，B两点，
求动弦AB的中点P的轨迹方程。
22
8解：连接MB，MQ，设
P(x,y)，Q(a,0)
，
Q
点M，P，Q在一直线上，得
?
2
2y?2
?
L
①
?ax
由射影定理得
|MB|?|MP|?|MQ|
，即：
x
2
?(y?2)
2
?a
2
?4?1L
②
7
?
1
?
①式代入②式，消去
a
，得
x< br>2
?
?
y?
?
?
L
③，
416< br>??
7
?
13
?
从几何图形可分析出
y?2
，又由③式得
?
y?
?
???y?2
(y?2)
，
4
?
162
?
1
?
7
?
?
动弦 AB的中点P的轨迹方程是：
x
2
?
?
y-
?
?， (y?2)
。
416
??
.
2
2
2